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数学基礎論・数理論理学 その14 (994)
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1
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2012/09/29 02:02:32
数学基礎論は、素朴集合論における逆理の解消などを一つの動機として、
19世紀末から20世紀半ばにかけて生まれ、発展した数学の一分野です。
現在では、証明論、再帰的関数論、構成的数学、モデル理論、公理的集合論など、
多くの分野に分かれ、極めて高度な純粋数学として発展を続けています。
(「数学基礎論」という言葉の使い方には、専門家でも若干の個人差があるようです。)
応用、ないし交流のある分野は、計算機科学の諸分野や、代数幾何学、
英米系哲学の一部などを含み、多岐にわたります。
(数学セミナー98年6月号、「数学基礎論の学び方」
http://www.math.tohoku.ac.jp/~tanaka/intro.html
或いは 岩波文庫「不完全性定理」 6.4 数学基礎論の数学化 などを参照)

従ってこのスレでは、基礎的な数学の質問はスレ違いとなります。
他のスレで御質問なさるようにお願いします。

前スレ
数学基礎論・数理論理学 その13

なおSTSあるいはTTTと名乗る者のレスは
きちんとした数学的理解に基づかず無意味な内容です。
このことは本人も認めています。(前スレの900以降など)
STSあるいはTTTと名乗る者の相手をすることは
荒らし行為に当たりますのでご注意ください。
コメント3件


2
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2012/09/29 02:14:28
1乙

3
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2012/09/29 03:50:58
でかしたぞ、1よ

4
132人目の素数さん[]   投稿日:2012/09/29 10:50:48
          __ノ)-'´ ̄ ̄`ー- 、_
        , '´  _. -‐'''"二ニニ=-`ヽ、
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.     |   \ ∠イ  ,イイ|    ,`-' |      頭が良くて数学が出来てかっこいい人。それが必要条件よ。
     |     l^,人|  ` `-'     ゝ  |        さらに Ann.of Math に論文書けば十分条件にもなるわよ。
      |      ` -'\       ー'  人          一番嫌いなのは論文数を増やすためにくだらない論文を書いて
    |        /(l     __/  ヽ、           良い論文の出版を遅らせるお馬鹿な人。
     |       (:::::`‐-、__  |::::`、     ヒニニヽ、         あなたの論文が Ann of Math に accept される確率は?
    |      / `‐-、::::::::::`‐-、::::\   /,ニニ、\            それとも最近は Inv. Math. の方が上かしら?
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132人目の素数さん[]   投稿日:2012/09/29 16:41:42
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132人目の素数さん[sage]   投稿日:2012/09/30 00:45:47
書き込まないと言いながらどうせすぐに現れるんだろう、STSのやつは。
コメント1件

7
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2012/09/30 06:23:33
>6
これまでの経緯から想像するとその通りだろうね。
だからこそ>1はよくやったと思う。スルーするしか対処法ないからね。
もっともコテを替えられたらどうしようもないんだけど。

8
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2012/09/30 07:55:17
スルーしてたんだがあからさまに自演してるしな
本当に手に負えないよ

前スレで名無しで書き込んでた奴いるのか?
コメント1件

9
132人目の素数さん[]   投稿日:2012/09/30 08:30:40
なんか雰囲気が文keiっぽいな。

10
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2012/09/30 13:07:27
前スレ875でTTTに晒し上げ食らってた……しかも古いやつ。
俺はTTTじゃないからね。

11
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2012/09/30 19:38:15
>8
まさか前スレの自分以外の書き込みは全部TTTの書き込みだと思って叩いてたとか?
そこまでいくとちょっと極端だよ

12
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2012/09/30 20:18:11
TTTは自分のスレに対してもレスしていたから、そのことじゃね?

13
132人目の素数さん[]   投稿日:2012/10/01 17:21:45
そんな事言ってる間にSTSより面白いこと書けよ

14
132人目の素数さん[]   投稿日:2012/10/01 22:33:41
数学者は「存在する」という言葉で何を表現してるんですか。
コメント1件

15
132人目の素数さん[]   投稿日:2012/10/01 23:59:24
「ある性質を持つものが存在する」は「その性質が矛盾しない」と同義です。
コメント1件


16
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2012/10/02 00:00:20
ω<κ<2^ωとなるような基数κは存在しますか?
コメント1件

17
132人目の素数さん[]   投稿日:2012/10/02 00:14:50
>14
色んな意味づけができるので、一つの意味だけを取り上げるとかえって実情と掛け離れる。

18
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2012/10/02 00:18:58
>15
同義である場合もそうでない場合もある。

19
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2012/10/02 10:48:01
>16
基数ってなんすか

20
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2012/10/02 22:16:22
基数とは順序数αであって、αよりも小さな順序数とは一対一対応が存在しないようなもののことです

21
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2012/10/02 22:51:46
アレフゼロとかのこと?

22
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2012/10/02 23:21:38
アレフ0は基数の一例ですね
アレフの活字が無いのが惜しいのだが

23
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2012/10/04 00:26:13
意味わからん(^^;;

これって大学何年レベルなの?

自分はまだコンパクト集合くらいまでしかやってないからな_| ̄|○

24
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2012/10/04 01:01:57
微積も線形代数も使わないマニアックな分野なので
一年生の時から或る意味大学院レベルの勉強ができるのであります

25
132人目の素数さん[]   投稿日:2012/10/04 01:30:47
集合論を深くやらない大学って多いんだろうか?
集合論を扱った本なら大抵基数は載ってると思うんだが

26
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2012/10/04 02:11:11
等濃度の定義はやるけど基数の定義はやらないよ
同値関係なんだから似たようなものじゃん、と思うかもしれないけどさに非ず。

厄(a)と厄(b)が同じ ⇔ a△b := (a-b) ∪ (b-a) が有限
みたいな同値関係だと、さすがに海のものとも山のものとも分からない代表元を
選んで来ちゃう厄(x)を導入して大丈夫なのか不安に思うでしょ?

こういう厄介な関数が存在しても矛盾はしないわけだが、それを言うのは学部の知識じゃ無理

(要はNBG + Global Choiceがあれば良い。
でもこれの整合性を示すには、強制法を使わないと証明が大変な
NBGのZFからの相対無矛盾性と、
任意のproper class C と V は一対一対応するという定理が要るはず)
コメント1件

27
132人目の素数さん[]   投稿日:2012/10/04 06:19:42
>26
厄(・)は何を意味してるの?

28
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2012/10/04 09:17:52
厄(・):V→Vは無定義術語で、
条件(厄):「厄(a)と厄(b)が同じ ⇔ a△b := (a-b) ∪ (b-a) が有限」
を満たすクラス関数とします。
つまり(厄)を満たすもの、というのが定義です。
等濃な集合の同値類を取るのと同じ操作をした訳です。
コメント1件

29
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2012/10/05 01:02:48
ロジック関係やったことない人だと>不安に思うでしょ?
って別に不安に思わない気がしてきた(汗

ところで北田均先生が「数理解析学概論」という本を新しく出したのが
生協に売ってたんだけど、立ち読みした範囲だと
不完全性と集合論に関する間違いは発見できなかった。
最近は新井先生の教科書みたいな本
(ただしこの本は、テクニカルな間違い・ミスプリがかなり多いので
新しく買うときは第3刷を買いましょう)も出て
理解しやすいようになったから或る程度ご理解されたのかなあ。

30
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2012/10/05 17:23:51
ABC予想が解かれたかもしれんぞ! PART2

こんな話があるがこのスレ的にはどうなの?

31
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2012/10/05 20:52:54
ユニバースの話じゃなくてそれ以前のIVの定理1.10が
(abc予想と)Uniform Serre Open Image予想なるものを仮定すると
成り立っていないようだって言われてるんじゃなかったっけ?

>その前までの数論的な部分については指摘されていない。
これは明らかに間違いです。

たぶん全然ロジック知らない人が、前スレの
もっちーの公理の数え方がおかしいという話を、
これが問題点なのか!とトンデモナイ勘違いしたとかそういう話なのではw
前スレのあれは、望月先生の権威がどうとかに関係なく
こんなのは誰が見たって揚げ足取りですよね、って話ですよw
コメント2件

32
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2012/10/06 02:22:51
>たぶん全然ロジック知らない人が、前スレの
>もっちーの公理の数え方がおかしいという話を、
>これが問題点なのか!とトンデモナイ勘違いしたとかそういう話なのではw
お前やっぱかなーりズレてるわ
どういうお花畑脳だとこう解釈できるんだよw
コメント2件

33
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2012/10/06 06:28:06
>32
お花畑ってことは自分にとっておめでたい解釈ってことですよね?
>32さんがおかしいと指摘しているその解釈が仮に正しかったとすると
どうして31の自説(>31の最後の2行)を補強することになるのか
理解できてるってことですか?
もしそうなら教えて下さい。
コメント1件

34
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2012/10/06 07:15:23
アスペの考えることを理解しようなんて時間の無駄
その時間で噂の望月論文でもお経のように唱えてた方がまし

35
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2012/10/06 18:28:55
>33
「超難問を解いた論文・著者にケチをつけているように見られておまいらバカね」って言いたいんじゃないの?
これを権威を借りようとしていると言わずして何というのか
得てしてこういうことは本人が一番気づけないんだな

36
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2012/10/06 20:20:42
いや望月先生みたいなマトモな研究者の論文が
初歩的な勘違いしてる可能性が限りなく低いのは、数学のリテラシーがあれば誰でも分かるから
コメント1件

37
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2012/10/06 20:48:40
>36
おっしゃることはその通りだがそれがいまの話とどんな関係が?

38
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2012/10/06 22:21:54
宇宙際の論文は俺も見てみたが基礎論の部分で間違いというのは
ZFCGがZFCの保存拡大になっているというところじゃないの?
ZFCGは前スレのZFC+Uのことだから、ロジシャンなら誰にでも分かる明らかに間違い。
この間違いが他の部分に本質的な打撃を与えたりしないとは思うけど
もっちーが基礎論の部分に関して初歩的な勘違いしているのは否定しようのない事実。

39
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2012/10/06 23:59:22
つーかZFC+UとZFCは同じ言語なんだから保存拡大って正しい正しくない以前に型エラーじゃん。
初歩的もいいとこでほんとにそんなバカなことが書いてあるのかよと
ダウンロードしたまんま開いてなかった論文を見てみたよ。確かに書いてある。
というかこれって前スレ830が引用した箇所のすぐ近くなんだけど
前スレ830=>31はこんな初歩的な間違いにも気づかずに
得意になって「望月先生は〜」なんて引用してたんか?アホだろ。

40
36[sage]   投稿日:2012/10/07 00:04:35
ありゃ本当だ……失礼しました。
「(†)はZFCから独立である」みたいな問題記述だったら
ロジックの専門家でもやっちゃうことがあるし、その否定が正しい訳でもないんですが
conservative extentionって書いちゃったら(ZFCが矛盾していない限り)偽ですね。

ネットで手に入りやすい参考資料
・ http://math.stanford.edu/~feferman/papers/BernaysLecture3.pdf の特にスライド8あたり(同名の論文あり)
・ http://arxiv.org/pdf/0810.1279v2.pdf (もっと詳しい)

mathoverflowの
"Set theory for category theory beginners"ってトピックみたら
ShulmanさんとかHamkinsさんとかが普通に答えててワロタ

41
36[sage]   投稿日:2012/10/07 00:11:03
話はちょっと逸れますけど私、代数幾何の教科書で有名なR. ハーツホーンが
「不完全性」の定義について吉永良正と同じように酷い勘違いしてるのも見たことあるんですよね…
自然に読者を誤解させるような用語法を使ってるロジシャンも酷いと言えば相当に酷いのですが。

Springer社のUTMの"Geometry : Euclid and beyond"(和訳あり)にこういう文章があります
> 最後に,公理系は完全であるかと言う問題がある.すなわち,公理系のす
>べてのモデルでなりたつ命題は,公理系から結果として証明されるか,とい
>う問題である.再びゲーデルは,相応に豊富な任意の公理系が,完全ではあり
>得ないことを示している.              (R.ハーツホーン「幾何学」 p.83)

望月先生もハーツホーンも「初歩的」なミスをしているのは
たぶん、普通の数学者は統語論と意味論の区別ができないからだと思います。
小平邦彦先生もこの区別が分かっていなかったフシがあります。

代数幾何学者がZFCなどの集合論について何かしら書いたものを読むときには
そもそも、Grothendieck学派の人達自身がZFCからはみ出した
Grothendieck宇宙の公理がどこで必要になるのかちゃんと分かってたのかどうかとか、
そのレベルで疑問符付きでやらないとダメなのかもしれません。
コメント3件

42
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2012/10/07 03:02:29
もっちーの威を借る論法は破綻かよw

43
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2012/10/07 08:20:44
噂の望月論文、問題の保存拡大とか書いてある後のところ読むと
「一つの宇宙を固定してその中で作業するのが集合論なのに対し
同じ論理式を異なる宇宙で解釈させるのががspecies理論だ」
みたいなこと書いてあるけど、こりゃ集合論者も真っ青だなw

44
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2012/10/07 09:53:49
集合論がどういう研究なのか全く分かってないで書いてるね。
なんか「数学では答えは一つだけど現実社会でははそうじゃない」
って言われたときのあの脱力感。

45
132人目の素数さん[]   投稿日:2012/10/07 10:11:59
最先端の研究者は使えそうなものは何でも使うからね。
きちんと身につけてから使おうとしたら勉強だけで終わってしまう。

46
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2012/10/07 10:22:11
他のスレ(VIPとかニュー速系も含めて)では望月先生マンセーのノリなのに
ここだけは望月先生をdisるスレになってるね!

47
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2012/10/07 10:44:32
こんな話題性のある論文でZFCやZFCGを取り上げてくれているんだから
本当なら歓迎したいし個人的な本音としてはディスりたくなんかないさ。
しかしロジックの部分の内容が余りに的外れで擁護のしようが(ry

48
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2012/10/07 10:45:20
俺の2chの書き込みが破綻したのは、まあどうでもいいんだが
もっちーの論文の信頼性が微妙に破綻しかけてることのほうがまずい

もっちーはDrakeを一応持ってるみたいだから、巨大基数とは何か、
みたいなことは或る程度知ってると思う

たぶん代数幾何学者は集合論には興味を持って勉強しようとするだろうけど、
一階述語論理についてきちんと勉強しようという気にはならないんだと思う(数学者的には、そらそうだわな)

集合論の言語は< =, ∈>であって保存拡大かどうかは
言語を意識的にfixして考えないといけない、とか
公理的な集合論を勉強するときはコンパクト性定理とかL-S定理とか
完全性定理と不完全性定理を知っていることは
基礎知識として仮定されていることが多い、とかそういうところで躓くんだと思う
コメント1件

49
132人目の素数さん[]   投稿日:2012/10/07 10:51:50
俺は数覚を頼りに色んな道具を使うから、下々の者はあとで合理化してくれ、って感じかな

50
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2012/10/07 10:54:54
>48
そういうところで躓いてたとしてもDrakeの本をさらっとでも見たら
「一つの宇宙を固定してその中で作業するのが集合論なのに対し
同じ論理式を異なる宇宙で解釈させるのががspecies理論だ」
なんて誤解はしないんじゃないか?
絶対性がどうとか、モデルに相対化させる記法とかさんざん出てくるんだから。

51
132人目の素数さん[]   投稿日:2012/10/07 10:55:44
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132人目の素数さん[]   投稿日:2012/10/07 10:56:58
やっぱりなんだかんだ言っても集合論は論理学なんだよね

53
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2012/10/07 11:00:59
「ZFCGがZFCの保存拡大」って間違った主張をしているのは
ABC予想をZFCGで証明した後その主張からZFCの定理であると言うため?
だとするとかなり致命的なんじゃないの?
コメント1件

54
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2012/10/07 11:01:52
なんかinteruniversalっていうネーミング自体
本当に大丈夫なのか心配になってくるよね

55
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2012/10/07 11:02:41
>53
abc予想はその前の節で証明されていることになっているはず
コメント1件

56
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2012/10/07 11:06:34
>55
だとすると何故必要もないのに、自分がよく知らない世界に立ち入って
怪しい理解に基づいた主張をするんだろう?

57
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2012/10/07 11:36:49
同じ言語上の二つの理論に対して保存拡大と言うなんて
(しかも原文だと conservative extensionality になってる)
どう贔屓目に見ても保存拡大の概念を理解していないし
一階述語論理の言語とか理論とかを分かっているとは思えない

58
132人目の素数さん[]   投稿日:2012/10/07 12:42:32
          __ノ)-'´ ̄ ̄`ー- 、_
        , '´  _. -‐'''"二ニニ=-`ヽ、
      /   /:::::; -‐''"        `ーノ
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      |   |/ / / /| ,ハノ| /|ノレ,ニ|ル' 
     |   |  | / / レ',二、レ′ ,ィイ|゙/   
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     |     l^,人|  ` `-'     ゝ  |        このスレ 馬鹿ばかりね。
      |      ` -'\       ー'  人          
    |        /(l     __/  ヽ、          
     |       (:::::`‐-、__  |::::`、     ヒニニヽ、         
    |      / `‐-、::::::::::`‐-、::::\   /,ニニ、\            
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59
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2012/10/07 15:47:49
もしかして>41
「相応に豊富な任意の公理系」って二階算術のことで、モデルってのは
二階算術としての標準解釈(Henkin解釈ではなく)だったりするのかな
まさかね

60
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2012/10/07 15:49:39
訂正
×二階算術として
○二階述語論理として

61
132人目の素数さん[]   投稿日:2012/10/07 20:03:32
>41
>Springer社のUTMの"Geometry : Euclid and beyond"(和訳あり)にこういう文章があります
>> 最後に,公理系は完全であるかと言う問題がある.すなわち,公理系のす
>>べてのモデルでなりたつ命題は,公理系から結果として証明されるか,とい
>>う問題である.再びゲーデルは,相応に豊富な任意の公理系が,完全ではあり
>>得ないことを示している.              (R.ハーツホーン「幾何学」 p.83)

前半の完全と後半の完全は別の意味で使っているから正しいのでは?
コメント3件

62
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2012/10/07 20:06:48
          __ノ)-'´ ̄ ̄`ー- 、_
        , '´  _. -‐'''"二ニニ=-`ヽ、
      /   /:::::; -‐''"        `ーノ
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63
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2012/10/07 21:30:04
Speciesの理論のところが論理的に間違ってなければ
ただちに無意味であるとか役に立たないとかそういうことは言えないよね
コメント1件

64
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2012/10/07 21:46:07
Speciesの理論がどういった役割をするのかが重要で
保存的拡大の部分は枝葉末節。
コメント1件

65
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2012/10/07 21:46:15
>61
そら無理ってもんだろ

66
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2012/10/07 21:49:12
>64
それでどういう役割を果たすんだい?

67
132人目の素数さん[]   投稿日:2012/10/07 21:53:01
>41
>Springer社のUTMの"Geometry : Euclid and beyond"(和訳あり)にこういう文章があります
> 最後に,公理系は完全であるかと言う問題がある.すなわち,公理系のす
>べてのモデルでなりたつ命題は,公理系から結果として証明されるか,とい
>う問題である.再びゲーデルは,相応に豊富な任意の公理系が,完全ではあり
>得ないことを示している.              (R.ハーツホーン「幾何学」 p.83)

吉永の誤解とは違うね。
吉永は完全性を決定可能性と同義だと誤解していたからね。

ハーツホーンが、例えば自然数論を二階論理上の理論と考えているなら
上記の文章がマチガッテルとはいえないな。
二階論理では、一階論理と違って完全性定理が成立しない。
そしてそれは、ゲーデルの不完全性定理から証明される。
コメント1件

68
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2012/10/07 21:56:04
はいはい、君はそうやって超好意的な解釈持ち出して
「偉い人はやっぱり偉い」って言い続けていればいいよ
コメント1件

69
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2012/10/07 22:05:32
>63
>ただちに無意味であるとか役に立たないとかそういうことは言えないよね
誰かそんなこと言ってたか?
ロジックに関して初歩的な勘違いをしているね、という話しか出てないはずだが

70
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2012/10/07 22:11:11
>61>67は別人?
僅か1時間50分の間に同じ文章の解釈(間違いではない根拠)が
劇的に変わっているんだが同一人物ではあり得ない、よな?

71
61[sage]   投稿日:2012/10/07 22:33:44
別人です。
私はハーツホーンは2つの完全性の違いをきちんと理解している可能性もあるんじゃないと主張しています。
たとえば翻訳者が2種類の完全性を同一のものと勘違いして意訳してしまったという状況もありえます。

72
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2012/10/07 22:54:20
Google booksで原文見つかった。
原著のpp.70, 71。ちょっと広めに引用するけどfinally以降が相当する部分。

While we are discussing axiom systems, there are a few more concepts we should mention.
An axiom system is consistent if it will never lead to a contradiction. That is to say, if it is not
possible to prove from the axioms a statement A and slso to prove its negation not A.
(中略)
Unfortunately, however, the logician Kurt Godel has proved that for any reasonably
rich set of axioms, it will be impossible to prove the consistency of that system.
So we will have to settle for something less, which is relative consistency.
(中略)
Another question about a system of axioms is whether it is categorical. This means, does
it describe a unique mathematical object? OR in other words, is there a unique model
(up to isomorphism) for the system of axioms?
(中略)
Finally, one can ask whether the axiom system is complete, which means, can every
statement that is true in every model of the axiom system be proved as a consequence of the axioms?
Again, Godel has shown that any axiomatic system of reasonable richness cannot be complete.
For a fuller discussion of these questions, see Chapter 51 of Kline(1972) on the foundations of mathematics.

73
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2012/10/08 00:21:44
これだけ近い箇所で同じ単語completeを別の意味で使っているとは通常考えられないよね?
その直前か直後で「同じ単語を別の意味で使っています」と断り書きがあれば別だが、
>61はそういう断り書きを示すことはできないんだよな?
あとはハーツホーンは正しく理解していたが誤ってという可能性だが
これはもう本人の責任であって「間違ってる」と言われても仕方がない話。

74
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2012/10/08 07:38:28
そもそもKline(1972)ってのはおそらく数学史の本なので、
ハーツホーンはcompleteを含め論理学については何も知らないと思う。

75
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2012/10/08 21:50:14
ゲーデル数化が可能な最弱の理論って知られていますか?

76
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2012/10/08 23:34:29
その理論で再帰的可算な理論のコード化が出来るという意味なら
なかなかRobinsonのQとかRとかは良い感じに弱いよ

77
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2012/10/08 23:41:56
RobinsonのQとやらが最弱かどうかはわからないんですか?

78
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2012/10/08 23:50:41
その前に、「ある理論においてゲーデル数化が可能である」ということを、なんとなくではなしに厳密に定義しなきゃ

79
76[sage]   投稿日:2012/10/09 00:18:31
そうなんだよね。そしてそれが大変。

ゲーデル数化は或る意味で多様体の局所座標みたいなものだから
きちんと定義して性質をまとめるのは有意義なんじゃないかな、
とは思うんだが、そういう研究はあまり見たことないな。

知られている中で最弱の〜〜だったらある程度文献を調べるだけで良いんだけどね。

80
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2012/10/09 02:22:47
あと強いとか弱いもちゃんと定義して
その定義に則って最弱なものの存在も示さないとな

81
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2012/10/09 08:23:50
強い弱いはペアノ算術を含む〜〜とかいうときの「含む」で良いんじゃないの。
つまり理論やモデルの解釈関係で良いはず。
こういうinterpretabilityについてはそれなりに研究されてるんじゃないのかな。
コメント2件

82
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2012/10/09 08:29:21
論理式は有限種類の文字の文字列だと見做せるから
文字列 s のコードを G(s) としたときにゲーデル数化ができるというのは
チューリングマシンを用いて s から G(s) が計算でき、
また G(s) から s も計算できる、という定義で良いか。
異なるゲーデル数化同士の関係には再帰理論がそのまま応用できる。

83
82[sage]   投稿日:2012/10/09 08:31:00
なんかダメな気がしてきた
82は無しで

84
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2012/10/09 11:18:47
>81
Hajek-Pudlak に書いてあったと思うけど
Robinson's Q とか Buss' S^2_i とか弱い体系は
全部 mutually intepretable になるはず。
だからその定義だとその辺の体系はすべて最弱。
コメント1件

85
75[sage]   投稿日:2012/10/09 13:42:50
ゲーデル数化というよりも第二不完全性が成り立つ最弱理論は何かという方がわかりやすいですね。
数年前にQより弱いR'_0で第一の方が証明されたというPDFを読んで浮かんだ疑問でした。
コメント1件

86
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2012/10/09 18:00:13
>85
一般の理論Tにたして、何が示せたら第二不完全性定理が示せたことになるのか、
という本質的に全く同じ問題が残るわけだが

87
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2012/10/09 19:28:23

どうも、M_SHIRAISHI氏(つーか、EURMS)の理論」のほうが正しいようだな。


例えば、対偶律は、従来は、 (P⊃Q)⊃(¬Q⊃¬P) で表わされるもののこと
と考えられていたのだっただが、これは、どうやら、誤りだったようだ。

そして、M_SHIRAISHI氏の言う[P(x)⇒/x/Q(x)]⇒/p,q/[¬Q(x)⇒/x/¬P(x)]
こそが【対偶律】を正しく捉えてたものと考えられる。

M_SHIRAISHI氏(たち?)の主張する Logical Reformationは、おそらく、世界を
席巻することとなろう。


http://www.age.ne.jp/x/eurms/Ronri_Kaikaku.html

88
82[sage]   投稿日:2012/10/09 20:56:46
要はゲーデル数みたいなものを考える、というだけなら
0または1に当たるものとsuccessor Sがあれば良い
そのゲーデル数の性質がどれだけ証明できるか、ということなんだよね

第二不完全性定理を(知られているやり方で)証明するためには
帰納法がある程度必要になる、というのがコンセンサスかと
コメント1件

89
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2012/10/10 15:13:57
それなんてコンセンサス?
RobinsonのQとか帰納法が全くないにもかかわらず
第二不完全性定理が証明できるわけだが。
何個か前のスレでもこの話題出てなかった?
コメント1件

90
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2012/10/10 18:36:39
>81が指摘しているように
解釈可能関係で同値なものは第二不完全性の観点からは区別する必要はない。
そして>84が指摘しているように
帰納法が全く入っていない体系(Qなど)と帰納法のある体系がこの意味で同値になることがある。
つまり

***帰納法の有無は第二不完全性に影響しない***

わけなのだけれど、ということは>88のいう
>第二不完全性定理を(知られているやり方で)証明するためには
>帰納法がある程度必要になる、というのがコンセンサスかと
はどんな素人間のコンセンサスかよ、という話になる。
コメント1件

91
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2012/10/10 19:06:17
えっ、マジ?
第一不完全性定理のメタ証明を理論Tの中で形式化するためには
Tが数学的帰納法の公理を持ってないといけないんじゃないの??

92
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2012/10/10 20:07:32
たしか「数学基礎論講義」の第二不完全性定理の証明のところで
第一と違ってΣ1式について帰納法を仮定していることに注意すること、
とかそういうこと書いてたような

93
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2012/10/10 20:34:47
このスレのその10で、
ゲーデル数化には最低でもx^log(y)程度の演算が必要とあったんだけど、これの情報元が不明。
またゲーデル数化の可能なIΣ1+Ω1がQで解釈可能なのでQは第二が成り立つとあったんだけど、これの情報元も不明。
それから弱い限定算術の体系(S^i_2とか)は、自分の無矛盾性の証明どころか、
自分よりも弱い体系の無矛盾性も証明できないので、どれが弱い理論なのかよくわからないのでは?
いったい何が正しいのか分からないから、できれば情報元を提示してほしい。

94
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2012/10/10 20:48:17
ロジシャン一般向けの教科書だと大抵第一と第二で違う条件を仮定して証明していることが多くて、
http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~kenkyubu/kokai-koza/terui.pdf
の18ページ脚注も
>実際には、PA ほど強力な証明能力は必要ではなく、高々Σ1 論理式に関する
>帰納法が使用できれば十分である。(
となってるので第二は帰納法が無ければ証明出来ない、と認識してる人が多いんだと思う。

ただHajek & Pudlakの最後あたりとか、Bussの"First-Order Proof Theory of Arithmetic"
(Handbook of Proof Theoryの第二章)とかだとQに対して第二不完全性が証明してある。
限定算術について本格的に勉強したことある人はQでもOKということを知ってるんだと思う。
en.wikipedia.orgのQの記事にも、Qを含む理論に対して第二が証明できるよと
ちゃんと書いてあって文献も示してある。さすが英語版。

ただ>90さんの言うように或る弱い算術の理論の中で
別の算術の理論を解釈するというやり方だとちょっと反則な感じがしないでもない。
コメント1件

95
132人目の素数さん[]   投稿日:2012/10/10 21:34:43
超準解析では、0はstandard、nがstandardならn+1はstandard、しかしnonstandardな自然数が存在する。
ネルソンのように超準解析を経由して帰納法に疑いを持つのは理解できる。

96
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2012/10/10 21:51:21
Hajek & Pudlakの最後あたり
http://projecteuclid.org/euclid.pl/1235421934

Bussの"First-Order Proof Theory of Arithmetic"
http://www.math.ucsd.edu/~sbuss/ResearchWeb/handbookII/ChapterII.pdf

en.wikipedia.orgのQの記事
http://en.wikipedia.org/wiki/Robinson_arithmetic

97
132人目の素数さん[]   投稿日:2012/10/10 22:04:19
>68
何拗ねてんのw

私は代数幾何とか知らんから
ハーツホーンが偉いかどうか
なんて知らんよw

98
132人目の素数さん[]   投稿日:2012/10/10 22:06:45
だいたい二階論理では、一階論理と違って完全性定理が成立しない
というのは常識であって知らない奴はモグリ

99
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2012/10/10 22:14:11
数学やっててハーツホーン?誰それ?って感じだったらそっちの方が怪しがられるぞ
東大でも京大でも数学科学部生に「ハーツホーン読んだことある?」って言ったら普通通じる
物理学科でも通じる人のが多いかも

100
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2012/10/10 22:43:45
ハーツホーン?
あんたがいて、ぼくがいた。


101
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2012/10/10 23:23:24
可証性述語のLoebの性質ってQでも証明できるの?

102
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2012/10/10 23:35:36
S^1_2とかいうBASICの拡張理論で可動条件が証明されて
QでS^1_2を解釈して第二を示している(ように見える)。

コメント3件

103
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2012/10/11 01:59:47
>102
>S^1_2とかいうBASICの拡張理論で可動条件が証明されて
「とかいう」は余計だってのw
限定算術で一番有名かつ重要なのがS^1_2だ

104
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2012/10/11 12:17:13
やってることは、うまい論理式C(x)を見つけてくると
Qの中で{x|C(x)}がS^1_2のモデルになる。
つまりこのクラスに相対化した帰納法はQで証明できる。
ZFCやZFC-InfはPAを含むから第二不完全性が成立つ、
と言った時の「含む」は
ZFC-Infの中で{x|Ord(x)∧x<ω}がPAのモデルになる
という意味だったのと同じこと。
前者は反則で後者はOKとするような条件は聞いたことがない。

105
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2012/10/11 19:41:37

どうも、M_SHIRAISHI氏(つーか、EURMS)の理論」のほうが正しいようだな。

例えば、対偶律は、従来は、 (P⊃Q)⊃(¬Q⊃¬P) で表わされるもののこと
と考えられていたのだっただが、これは、どうやら、誤りだったようだ。

そして、M_SHIRAISHI氏の言う[P(x)⇒/x/Q(x)]⇒/p,q/[¬Q(x)⇒/x/¬P(x)]
こそが【対偶律】を正しく捉えてたものと考えられる。

M_SHIRAISHI氏(たち?)の主張する Logical Reformationは、おそらく、世界を
席巻することとなろう。


http://www.age.ne.jp/x/eurms/Ronri_Kaikaku.html

106
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2012/10/11 20:20:18
このコピペ初見から数年以上たってるけど
いまだに席巻どころかロジシャンの話題の端にものぼらないな
コメント1件

107
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2012/10/11 23:05:33
反則と言うと語弊があるが、ZF^-のなかでより強い集合論である
ZFC+V=Lのモデルを作って議論したりするのと同じ話だと考えると
地の文のなかで何かを示すのとちょっとやってることが違う気がする
集合論のなかで自然数論を標準的に解釈する場合はあまり気にはならないんだけどね。
(勿論、その集合論の算術的命題についての健全性とか、気にすべきことが無い訳ではない)

この場合でもモデルの存在と無矛盾性が同値とかいうときの無矛盾性に含まれる
可証性述語だと考えて良いのだろうか、とか
無矛盾性が体系の無矛盾性をちゃんと保証しているだろうかとか、
そういう点でもちょっと考慮すべき点が増える。
Craigの補題(補間定理ではなくてφ∧φ∧……∧φを考えるやつ)とかの方が
余程「それってありかよ!?」という感じなので大した問題じゃないけどね。

それにしてもうまいやり方があるもんだね
コメント1件

108
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2012/10/12 13:51:06
して、一般の理論Tに対して、
何が示せたら第二不完全性定理が示せたことになるんだね?

109
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2012/10/12 19:13:13
>106 :132人目の素数さん:2012/10/11(木) 20:20:18.30
> このコピペ初見から数年以上たってるけど
> いまだに席巻どころかロジシャンの話題の端にものぼらないな

数年単にではなくて、数千年単位で見なければナランと想われ (-。-)y

http://www.age.ne.jp/x/eurms/Ronri_Kaikaku.html

110
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2012/10/12 19:55:48
御大は偉大なり。御大は偉大なり。御大は偉大なり。・・・・

111
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2012/10/13 06:50:41
>107
「ZFCはPAを含む」と言ったあとすぐに「ZFはV=Lを含まない」と言うと
「これだけ近い箇所で同じ単語『含む』を別の意味で使っているとは通常考えられないよね?
その直前か直後で『同じ単語を別の意味で使っています』と断り書きがあれば別だが」
なんて批判されるので気をつけないとな

112
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2012/10/13 07:56:50
今日は決定性公理の日らしいので決定性公理について語ろう!

113
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2012/10/13 20:52:16
決定性公理はQと矛盾するの?

114
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2012/10/13 20:56:00
独立だよ。

115
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2012/10/13 21:18:35
独立性はどのように証明しますか?
コメント1件

116
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2012/10/14 00:25:32

117
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2012/10/14 07:17:27
Con(ZF+AC) -> Con(ZF+notAD)
Con(ZF+AC) & Con(ZF+notAC)
Con(ZF) -> Con(Q)
Con(Q+AC) & Con(Q+notAC)


118
132人目の素数さん[]   投稿日:2012/10/15 22:00:07
>115
http://logic.wikischolars.columbia.edu/file/view/Jech%2C+T.+J.+%282003%29.+Set+Theor...
の14章で選択公理が独立なこと、33章で選択公理から決定性公理の否定が証明されることを示す。
http://logic.wikischolars.columbia.edu/file/view/Kunen%2C+K.+%281980%29.+Set+Theory....
の4章演習問題にZF-InfとPAの無矛盾等価性がのってる。

119
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2012/10/17 09:50:46

120
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2012/10/17 15:08:43

121
132人目の素数さん[]   投稿日:2012/10/17 23:11:04
論理学で
「∀x,A(x,y)=A(x,z)→y=z」
とあったのですが
写像f:(0,1)^2→Rをf(x,y):=x[y] (但し,[]はガウスの記号)
と定義すると
∀x∈(0,1)に対して,f(x,0.1)=f(x,0.2)=0ですが
0.1≠0.2なので「∀x,A(x,y)=A(x,z)→y=z」どおりになっていないと思うのですが、、
私の例は何処がおかしいのでしょうか?
コメント1件

122
132人目の素数さん[]   投稿日:2012/10/17 23:32:03
>121
書名プリーズ

123
132人目の素数さん[]   投稿日:2012/10/17 23:40:47
すみません。
「∀x,A(x,y)=A(x,z)→y=z」
は置換公理の一部(十分条件)でした。
どうもおさわがせしました。
コメント1件

124
あのこうちやんは始皇帝だった[ahokoutei@omaesine.co.jp]   投稿日:2012/10/18 00:36:09
          __ノ)-'´ ̄ ̄`ー- 、_
        , '´  _. -‐'''"二ニニ=-`ヽ、
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     |     l^,人|  ` `-'     ゝ  |        何時もおんなじ事を書く
      |      ` -'\       ー'  人           馬鹿で無能のこうちゃんは
    |        /(l     __/  ヽ、            やっぱり只の糞キチガイ
     |       (:::::`‐-、__  |::::`、     ヒニニヽ、           ネコも大して変わらない   
    |      / `‐-、::::::::::`‐-、::::\   /,ニニ、\            反論出来ないこうちゃんは
   |      |::::::::::::::::::|` -、:::::::,ヘ ̄|'、  ヒニ二、 \             誰もが認めるクズでカス
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125
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2012/10/18 07:33:48
>123
納得しているけど、あなたの書き込みを見る限り論理学の基本ができていない。
コメント1件

126
あのこうちやんは始皇帝だった[ahokoutei@omaesine.co.jp]   投稿日:2012/10/18 08:32:53
          __ノ)-'´ ̄ ̄`ー- 、_
        , '´  _. -‐'''"二ニニ=-`ヽ、
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     |     l^,人|  ` `-'     ゝ  |        何時もおんなじ事を書く
      |      ` -'\       ー'  人           馬鹿で無能のこうちゃんは
    |        /(l     __/  ヽ、            やっぱり只の糞キチガイ
     |       (:::::`‐-、__  |::::`、     ヒニニヽ、           ネコも大して変わらない   
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132人目の素数さん[]   投稿日:2012/10/18 14:11:57
>125
指摘は具体的に

128
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2012/10/18 14:15:52
できない理由があるんだ、察してやれ

129
あのこうちやんは始皇帝だった[ahokoutei@omaesine.co.jp]   投稿日:2012/10/18 16:43:27
          __ノ)-'´ ̄ ̄`ー- 、_
        , '´  _. -‐'''"二ニニ=-`ヽ、
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130
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2012/10/18 22:18:06
みなさん論理学のテキストとかって購入してます?
私は結構WEBに落ちてるんでipodなんかで読みますね。

131
132人目の素数さん[]   投稿日:2012/10/19 01:00:20
実はペアの算術のげー出る数かのFullga以下のmendelsonにのってる
http://page.mi.fu-berlin.de/raut/logic3/announce.pdf

132
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2012/10/19 01:36:13
そりゃペアノ算術はすごく強いから(とかいうと普通の数学者は卒倒するよなあw)
コメント1件

133
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2012/10/19 02:12:57
PAより弱い理論の次数がΠ^0_1クラスの基底になるかは興味深いが...

134
132人目の素数さん[]   投稿日:2012/10/19 07:01:08
          __ノ)-'´ ̄ ̄`ー- 、_
        , '´  _. -‐'''"二ニニ=-`ヽ、
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      |   |/ / / /| ,ハノ| /|ノレ,ニ|ル' 
     |   |  | / / レ',二、レ′ ,ィイ|゙/   私は只の数ヲタなんかとは付き合わないわ。
.     |   \ ∠イ  ,イイ|    ,`-' |      頭が良くて数学が出来てかっこいい人。それが必要条件よ。
     |     l^,人|  ` `-'     ゝ  |        さらに Ann.of Math に論文書けば十分条件にもなるわよ。
      |      ` -'\       ー'  人          一番嫌いなのは論文数を増やすためにくだらない論文を書いて
    |        /(l     __/  ヽ、           良い論文の出版を遅らせるお馬鹿な人。
     |       (:::::`‐-、__  |::::`、     ヒニニヽ、         あなたの論文が Ann of Math に accept される確率は?
    |      / `‐-、::::::::::`‐-、::::\   /,ニニ、\            それとも最近は Inv. Math. の方が上かしら?
   |      |::::::::::::::::::|` -、:::::::,ヘ ̄|'、  ヒニ二、 \
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135
132人目の素数さん[]   投稿日:2012/10/19 12:00:47
>132
なにその歪んだ選民意識

136
132[sage]   投稿日:2012/10/19 18:03:42
いや、どっちかというと
限定算術の研究とかすごい辺境の地なんじゃないかと

137
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2012/10/19 20:26:54
http://www.cs.toronto.edu/~sacook/homepage/book/main.ps
今限定算術って言ったら計算量とか再起理論つながり

138
あのこうちやんは始皇帝だった[ahokoutei@omaesine.co.jp]   投稿日:2012/10/19 20:39:55
          __ノ)-'´ ̄ ̄`ー- 、_
        , '´  _. -‐'''"二ニニ=-`ヽ、
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      |      ` -'\       ー'  人           馬鹿で無能のこうちゃんは
    |        /(l     __/  ヽ、            やっぱり只の糞キチガイ
     |       (:::::`‐-、__  |::::`、     ヒニニヽ、           ネコも大して変わらない   
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139
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2012/10/19 21:02:44
今って何十年前から今なんだよ

140
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2012/10/20 01:05:38
今世紀くらい
コメント2件

141
132人目の素数さん[]   投稿日:2012/10/20 05:23:22
すみません。ちょっと質問させてください。

置換の公理だけは"図式"を用いてしか定義できないのでしょうか?
コメント1件

142
あのこうちやんは始皇帝だった[ahokoutei@omaesine.co.jp]   投稿日:2012/10/20 07:37:42
          __ノ)-'´ ̄ ̄`ー- 、_
        , '´  _. -‐'''"二ニニ=-`ヽ、
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     |     l^,人|  ` `-'     ゝ  |        何時もおんなじ事を書く
      |      ` -'\       ー'  人           馬鹿で無能のこうちゃんは
    |        /(l     __/  ヽ、            やっぱり只の糞キチガイ
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143
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2012/10/20 13:01:51
QがCon(Q)を証明できないことはシェファードソンらによって直接的に証明された。
これは可動条件が証明されないということを示す。
次にウィルキーらがIΣ0+expまでQを拡張してさえ、Con(Q)が証明できないことを示した。

コメント2件

144
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2012/10/20 13:18:40
>141
クラスという言葉を用いて良いなら有限個の公理に纏めることは可能。
集合についての言及だけしか使えないなら、ZFの公理を
有限個に置き換えることは不可能であることが分かっています。
ZFの公理で無限個あるのは置換公理(または分出公理)だけですから
公理図式という形で定義するしかない、ということになろうかと思います。

集合論の普通の教科書には大抵載っています。
「集合と位相」の教科書じゃないので注意すること。

145
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2012/10/20 13:19:39
置換公理って言ってる人に最後は蛇足だったな

146
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2012/10/21 01:52:16

147
132人目の素数さん[]   投稿日:2012/10/21 06:35:12
>145
どうも有難うございます。

148
米系留学生[sage]   投稿日:2012/10/21 23:03:48
とにかく数学に関する本はここにすべてある。
http://en.bookfi.org/
ウェブ上でもダウンロードも可能。
洋書は高いから欧米のストゥーデントはみんなここか図書館で勉強してるんだ。

149
132人目の素数さん[]   投稿日:2012/10/25 00:57:32
私的メモ

計算量クラスが大量に載ってる
http://www.cs.princeton.edu/theory/index.php/Compbook/Draft#model

150
馬と鹿と豚さん[馬鹿豚]   投稿日:2012/10/25 07:19:12
          __ノ)-'´ ̄ ̄`ー- 、_
        , '´  _. -‐'''"二ニニ=-`ヽ、
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      |   |/ / / /| ,ハノ| /|ノレ,ニ|ル' 
     |   |  | / / レ',二、レ′ ,ィイ|゙/   
.     |   \ ∠イ  ,イイ|    ,`-' |      このスレ馬と鹿と豚さんばかりね。
     |     l^,人|  ` `-'     ゝ  |        
      |      ` -'\       ー'  人          
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    |      / `‐-、::::::::::`‐-、::::\   /,ニニ、\            
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151
132人目の素数さん[]   投稿日:2012/10/26 09:28:00

152
132人目の素数さん[]   投稿日:2012/10/26 09:34:00
私的メモ
nonclassical logic part2
http://www.fenrong.net/events/msj2.pdf
http://www.dcs.kcl.ac.uk/staff/dg/P.pdf
(700 page over

153
132人目の素数さん[]   投稿日:2012/10/26 09:39:37
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http://citeseerx.ist.psu.edu/index

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132人目の素数さん[]   投稿日:2012/10/27 02:08:38
私的メモ
lamda culc
ページ数ぱない
http://www.cs.ru.nl/~henk/book.pdf

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あほこうちゃんは馬サシ鹿ジンギスカン豚カツだった[aho@bakaton.co.jo]   投稿日:2012/10/27 02:53:29

          __ノ)-'´ ̄ ̄`ー- 、_
        , '´  _. -‐'''"二ニニ=-`ヽ、
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      |   |::/ / / |  | ||  | | ,ハ .| ,ハ|
      |   |/ / / /| ,ハノ| /|ノレ,ニ|ル' 
     |   |  | / / レ',二、レ′ ,ィイ|゙/   
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     |     l^,人|  ` `-'     ゝ  |        このスレは馬と鹿と豚ばかりね。
      |      ` -'\       ー'  人            
    |        /(l     __/  ヽ、          
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132人目の素数さん[]   投稿日:2012/11/03 19:08:18
「可動条件」って言葉このスレで初めて見たんだけど
どの本で使ってる用語法?

157
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2012/11/03 21:07:39
工学の本ではよく出てくるな。

158
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2012/11/03 23:03:50
工学の本ではLoebの条件のことを「可動条件」と呼ぶのか?

159
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2012/11/03 23:05:42
あぁそれ俺の意訳

160
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2012/11/04 01:00:03
我流用語を断りなしに使うのはトンデモの特徴って誰かが言ってたな
(このスレだったと記憶している)

161
132人目の素数さん[]   投稿日:2012/11/04 17:14:22
可導性条件というのがよく使われるが
一発で変換できないので可動条件と言ってるだけだよ。
コメント2件

162
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2012/11/04 19:46:43
田中教授の数学基礎論講義って本読んだことある方いますか?
とりあえずこの本で勉強していきたいと思ってるのですが・・・
コメント2件

163
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2012/11/04 20:20:44
>162
何を勉強したいかによると思います。
現在、数学基礎論が数学全体のなかで、どのような意味をもっているか、
そして、どのようにつながっているかということから考えると、著者
(田中一之教授)の考え方は狭すぎると思います。
書いてあることはきちっとしていると思います、多くは本人でないから
かもしれませんが。
コメント1件

164
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2012/11/04 21:04:24
>多くは本人でない
あなたもそんなゴーストライターの一人?
コメント1件

165
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2012/11/04 21:05:35
不完全性定理の解説書としては良いかもしれないけど、
論理学の初学者が独習できるだろうか。
MENDELSONの本のように、ここの定理の証明過程をきちっと書いた本を読むべきだろう。

166
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2012/11/04 21:22:59
>164
田中さんは著者ではなく編著。
つまり元請。実際の執筆は下請けの鹿島・角田・菊池3名。

167
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2012/11/04 21:43:08
>161
それを「我流用語を断りなしに使う」というんだろ

168
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2012/11/04 21:48:12
誤変換を敢えて放置したものを我流用語とは普通呼ばないと思うが…w
コメント1件

169
132人目の素数さん[]   投稿日:2012/11/04 22:20:16
>168
読む人の手間はお構いなし、なのは良くない
コメント1件

170
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2012/11/05 00:32:26
>162です,レス下さった方々ありがとうございます

まだペーペーですが敢えていうなら逆数学やりたいなと思ってます
まずはゲーデル,ゲンツェンによる三大定理(?)をしっかり勉強してからですね

ありがとうございました
コメント1件

171
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2012/11/05 00:52:04
>170
最近では構成的逆数学というのもあるみたいだよ
ま焦らずしっかり勉強するのがいいと思うよ

172
132人目の素数さん[]   投稿日:2012/11/05 01:36:44
>163
>現在、数学基礎論が数学全体のなかで、どのような意味をもっているか、
>そして、どのようにつながっているか

横レスですがこの辺りの事情について
非専門家でもわかるような文献を挙げてくれると有り難く思います
コメント1件

173
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2012/11/05 02:01:46
>172
割とよい本です。

確かさを求めて―数学の基礎についての哲学論考
M. ジャキント
http://www.amazon.co.jp/dp/4563003700/

コメント1件

174
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2012/11/05 02:21:58
>173
数学全体のなかで?

175
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2012/11/05 15:40:53
>169
誤変換を放置したせいで読むひとの手間が多いのを我流用語というのか?

176
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2012/11/05 16:41:19
誤変換を放置したせいで誤変換前の単語が想像できなくなれば我流用語でしょうね

177
訂正[]   投稿日:2012/11/05 17:33:14
>120
>143
×可動条件
○可導性条件

178
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2012/11/05 18:45:17
「可動条件」が「可導性条件」の誤変換なら読みは同じってことだよな?
「可動」は「かどうせい」と読むのか?それとも「可導性」の「性」は黙字?

179
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2012/11/05 19:23:09
何故そこまで食らいつくのかわからん
誤変換と脱字が同時に起こっている、と認めさせることがそれほど重要なのか?

180
132人目の素数さん[]   投稿日:2012/11/05 22:11:54
重要

181
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2012/11/05 22:47:57
誤変換などではなく意図的な我流用語だと認めさせたいのではないだろうか

182
177[]   投稿日:2012/11/05 22:55:57
訂正
×>120
>102

183
132人目の素数さん[]   投稿日:2012/11/05 22:59:21
>102だけなら単なる誤変換
しかし>140でまた独自の用語を使用
>161で意味不明の釈明

184
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2012/11/05 23:09:25
今世紀 は独自の用語なのか? 言いがかりのように見うけられるが
コメント1件

185
183[]   投稿日:2012/11/06 06:48:24
>184
間違えた
>140ではなくて>143だった
人を批判してる場合じゃないな

186
132人目の素数さん[]   投稿日:2012/11/09 21:15:41
(A●B)●C=A●(B●C)
(●は排他的論理和xor)

の証明方法を教えて下さい
コメント1件

187
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2012/11/10 01:56:34
AとBの排他的論理和は(A∨B)∧¬(A∧B) と書き直すことができる。
コメント1件

188
御令嬢様[sage]   投稿日:2012/11/10 05:37:45
          __ノ)-'´ ̄ ̄`ー- 、_
        , '´  _. -‐'''"二ニニ=-`ヽ、
      /   /:::::; -‐''"        `ーノ
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     |   |:::::/ /     |  | | | |  |
      |   |::/ / / |  | ||  | | ,ハ .| ,ハ|
      |   |/ / / /| ,ハノ| /|ノレ,ニ|ル' 
     |   |  | / / レ',二、レ′ ,ィイ|゙/   私は只の数ヲタなんかとは付き合わないわ。
.     |   \ ∠イ  ,イイ|    ,`-' |      頭が良くて数学が出来てかっこいい人。それが必要条件よ。
     |     l^,人|  ` `-'     ゝ  |        さらに Ann.of Math に論文書けば十分条件にもなるわよ。
      |      ` -'\       ー'  人          一番嫌いなのは論文数を増やすためにくだらない論文を書いて
    |        /(l     __/  ヽ、           良い論文の出版を遅らせるお馬鹿な人。
     |       (:::::`‐-、__  |::::`、     ヒニニヽ、         あなたの論文が Ann of Math に accept される確率は?
    |      / `‐-、::::::::::`‐-、::::\   /,ニニ、\            それとも最近は Inv. Math. の方が上かしら?
   |      |::::::::::::::::::|` -、:::::::,ヘ ̄|'、  ヒニ二、 \
.   |      /::::::::::::::::::|::::::::\/:::O`、::\   | '、   \
   |      /:::::::::::::::::::/:::::::::::::::::::::::::::::'、::::\ノ  ヽ、  |
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189
186[]   投稿日:2012/11/10 12:17:22
>187
だからそれを使って証明をしろということなんですが
コメント1件

190
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2012/11/10 12:20:49
「証明」の意味がはっきりしないが、どのみち命題論理の式なら機械的に証明できるでしょ

191
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2012/11/10 13:13:39
真偽表を使ってやったら簡単

192
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2012/11/10 13:16:42
>189
できたところまでを書いてみろ。 わからない所がどこなのかが逆にわからん。

193
132人目の素数さん[]   投稿日:2012/11/10 13:57:27
>186
A●BをA+B(mod2)に読み替える

194
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2012/11/10 14:47:14
>189
>190の通りだな。どのレベルが必要なのかはっきりしなきゃ答えようが無いわ。
単なる確認なら真偽表で十分。

195
132人目の素数さん[]   投稿日:2012/11/17 22:03:46
ふちの先生を尊敬します

196
132人目の素数さん[]   投稿日:2012/11/18 00:37:15
          __ノ)-'´ ̄ ̄`ー- 、_
        , '´  _. -‐'''"二ニニ=-`ヽ、
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     |     l^,人|  ` `-'     ゝ  |        このスレ 馬と鹿と豚ばかりね。
      |      ` -'\       ー'  人          
    |        /(l     __/  ヽ、          
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197
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2012/11/18 01:03:47
F先生ねえ…日本の集合論者といえば一番に名前が上がる人だし
日本集合論の権威と言ってもいいかもね。
数学者は権威を嫌うけど。

198
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2012/11/29 15:58:55
かきこみがぱったり途絶えてしまっているがここの常連さんたちは規制にでも遭ったのか?

199
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2012/11/29 17:58:26
つまり全ては○○○の自演だったんだよ!

200
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2012/11/30 13:28:21
スレを盛り上げようと定期的にネタを投下する奴がいるんだが
同じネタの使いまわしで段々飽きてきたのさ。

201
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2012/12/04 16:38:50
凄まじい。既成政党を打破とか言ってるけどお前のとこが一番独善的
共産党やナチスより酷い妙ちくりんな集団
前科者も複数紛れて、いかにも大阪らしい

無党派さん[] 投稿日:2012/12/03(月) 21:55:03.05 ID:3W6Dp3GZ [11/13]
http://www.jiji.com/jc/c?g=pol_30&;k=2012120300800

維新 比例名簿の登載順位は次の通り。
(丸囲み数字は順位。同一順位の重複立候補者名は省略。前=前職、元=元職、新=新人。敬称略)
 【北海道=4人】(1)重複候補3人 (4)米長知得(新)
 【東北=11人】(1)小熊慎司(新)=福島4区 (2)重複候補2人 (4)重複候補8人
 【北関東=18人】(1)上野宏史(新)=群馬1区 (2)石関貴史(前)=同2区 (3)重複候補14人 (17)植竹哲也(新)(18)仲田大介(新)
 【南関東=20人】(1)小沢鋭仁(前)=山梨1区 (2)松田学(新) (3)重複候補16人 (19)田中甲(元) (20)横田光弘(新)
 【東京=22人】(1)石原慎太郎(元) (2)今村洋史(新) (3)山田宏(元)=東京19区 (4)重複候補18人 〔22〕上村昭徳(新)
 【北信越=10人】(1)中田宏(元) (2)重複候補8人 (10)堀居哲郎(新)
 【東海=14人】(1)藤井孝男(元) (2)今井雅人(前)=岐阜4区 (3)重複候補11人 (14)近藤浩(元)
 【近畿=40人】(1)東国原英夫(新) (2)西村真悟(元) (3)重複候補8人 (11)三宅博(新) (12)重複候補28人 〔40〕喜多義典(新)
 【中国=8人】(1)重複候補6人 (7)藤井昇(新) (8)谷本彰良(新)
 【四国=7人】(1)重複候補4人 (2)重複候補2人 (7)大内淳司(新)
 【九州=19人】(1)松野頼久(前)=熊本1区 (2)重複候補17人 (19)黒仁田典之(新)

マスコミに踊らされる前に、中身見たほうがいいな

202
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2012/12/06 19:26:35
話もどるけどさ
結局、可導性条件って証明できるものなの?なんかどの教科書見てもちゃんと書いてないんだけど
コメント1件

203
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2012/12/06 23:34:47
D1とD2についてはちゃんと書いてると思うけど
あと新井敏康の数学基礎論にはかなりきちんと書いてあるとか聞いたような
それからD3についてはSmorynskiとかBoolosの本とかが参考文献に挙げられてる本が多いはず

204
132人目の素数さん[]   投稿日:2012/12/09 17:26:32
>202
shoenfiledの本にのってる
ウェブだと
http://www.staff.science.uu.nl/~ooste110/syllabi/godelmoeder.pdf

205
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2012/12/09 18:01:41
お二人方さんきゅー
紹介してくれた本見てみます

206
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2012/12/15 18:00:45
前原昭二「数学基礎論入門」を読んでいるのですが、以下の練習問題が解けません。

 、y∀x( F(x) → x=y)
◆、x∀y( F(x)∧F(y) → x=y)

問題は、,鉢△同値であることを示せ、です。
□,呂錣るのですが、逆がわかりません。

どなたかヒントでもいただけたら・・・

207
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2012/12/15 18:59:23
きっちりとした証明は公理と推論規則の選び方に依存するので概略だけ

∀x( F(x) → x=y) と F(x)∧F(y) を仮定として(∀に関する推論規則を用いることなく)
F(x) → x=y と F(x) が出てきて、従って x=y が出てくる。

├ ∀x( F(x) → x=y) → ( F(x)∧F(y) → x=y)

├ ∃z∀x( F(x) → x=z) → ( F(x)∧F(y) → x=y)

├ ∃z∀x( F(x) → x=z) → ∀x∀y( F(x)∧F(y) → x=y)

├ ∃y∀x( F(x) → x=y) → ∀x∀y( F(x)∧F(y) → x=y)

208
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2012/12/15 19:47:25
回答ありがとうございます。

1行目から2行目の変形がよくわかりません。もう少し説明お願いします。

209
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2012/12/15 20:12:31
ごめん間違えた

∀x( F(x) → x=z) と F(x)∧F(y) を仮定として(∀に関する推論規則を用いることなく)
F(x) → x=z と F(x) が出てきて、従って x=z が出てくる。
F(y) → y=z と F(y) が出てきて、従って y=z が出てくる。
x=z と y=z から x=y が出てくる。

├ ∀x( F(x) → x=z) → ( F(x)∧F(y) → x=y)

├ ∃z∀x( F(x) → x=z) → ( F(x)∧F(y) → x=y)

├ ∃z∀x( F(x) → x=z) → ∀x∀y( F(x)∧F(y) → x=y)

├ ∃y∀x( F(x) → x=y) → ∀x∀y( F(x)∧F(y) → x=y)

210
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2012/12/15 23:46:29
>F(x) → x=z と F(x) が出てきて、従って x=z が出てくる。
>F(y) → y=z と F(y) が出てきて、従って y=z が出てくる。
>x=z と y=z から x=y が出てくる。

その下の論理式との対応がよくわかりません・・・

211
36[sage]   投稿日:2012/12/16 14:17:13
望月先生の論文のちょっと上で出てた箇所は直してありますね
speciesの定義以降は見てないですが
コメント1件

212
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2012/12/17 06:39:50
>211
その箇所は自分の能力を越えると認めているね

213
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2012/12/17 08:44:14
Barry CooperのComputability Theoryの二版って
2011年に出ることになっているようですが、
amazonでも他のサイトでも見つかりません
どうせ買うなら二版が良いんですが何時出るんでしょうか?

214
206[sage]   投稿日:2012/12/18 23:15:56
やっとわかりました。ありがとうございます。

215
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2012/12/25 09:51:19
kindle頼んだから今度からいつでもどこでもlogicの論文読める!まだカスだが頑張るぜ!

216
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2012/12/31 04:33:41
universe, metacategory のあたりの話題はこのスレでは
スルーされますか?

217
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2012/12/31 14:35:17
metacategoryって要は公理論的な圏論のことでしょ?
どこに意義があるの?

218
216人目の素数さん[sage]   投稿日:2013/01/01 04:51:54
あ どうも216です
217様 レスありがとうございます
意義というほどのおおげさなものは・・・
216の萌えストライクゾーンが公理論と圏論とにまたがっておりまして
・・・これだと書き込みの理由にはならんのでしょうが
「なら圏論スレへ」
「あちらは痛すぎますので」
つうことです 年明け早々ご迷惑をおかけしております 

219
132人目の素数さん[age]   投稿日:2013/01/02 21:11:18
          __ノ)-'´ ̄ ̄`ー- 、_
        , '´  _. -‐'''"二ニニ=-`ヽ、
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     |     l^,人|  ` `-'     ゝ  |        このスレには馬と鹿と豚さんばかりね。
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    |        /(l     __/  ヽ、          
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220
132人目の素数さん[age]   投稿日:2013/01/26 14:55:18
          __ノ)-'´ ̄ ̄`ー- 、_
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     |   |  | / / レ',二、レ′ ,ィイ|゙/   私は只の数ヲタなんかとは付き合わないわ。
.     |   \ ∠イ  ,イイ|    ,`-' |      頭が良くて数学が出来てかっこいい人。それが必要条件よ。
     |     l^,人|  ` `-'     ゝ  |        さらに Ann.of Math に論文書けば十分条件にもなるわよ。
      |      ` -'\       ー'  人          一番嫌いなのは論文数を増やすためにくだらない論文を書いて
    |        /(l     __/  ヽ、           良い論文の出版を遅らせるお馬鹿な人。
     |       (:::::`‐-、__  |::::`、     ヒニニヽ、         あなたの論文が Ann of Math に accept される確率は?
    |      / `‐-、::::::::::`‐-、::::\   /,ニニ、\            それとも最近は Inv. Math. の方が上かしら?
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221
132人目の素数さん[]   投稿日:2013/01/26 16:48:39
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     |     l^,人|  ` `-'     ゝ  |        さらに Ann.of Math に論文書けば十分条件にもなるわよ。
      |      ` -'\       ー'  人          一番嫌いなのは論文数を増やすためにくだらない論文を書いて
    |        /(l     __/  ヽ、           良い論文の出版を遅らせるお馬鹿な人。
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222
132人目の素数さん[]   投稿日:2013/02/21 04:58:24
証明論的意味論ってなんぞ

223
狢 ◆yEy4lYsULH68 [age]   投稿日:2013/02/21 10:16:25
>589
詳しい説明を頼みますがな。ちゃんとカキコして下さいまし〜ん。

ケケケ狢

>589 名前:132人目の素数さん :2013/02/20(水) 15:29:26.89
> >587
> >何だか蔑みの様にも、また見下しの様にも見えませんかね。
>
> 持ち上げるような学校ではないと思うが
> 入るのにほとんど頑張る必要が無い大学の学科なのだし
> 俺の知人の阪大基礎工あがりのカスは
> ただの性犯罪者だ
>
コメント1件

224
216人目の素数さん[sage]   投稿日:2013/02/21 12:08:56
>223 名前:狢 ◆yEy4lYsULH68 様へ
なんか年月日やレス番号が混乱してませんか・・・589はどこのスレ
でしょう前スレはDAT落ちしてますし2013/02/20(水) 15:29:26.89
にはこのスレは誰も書き込んでいないと思うのですが?
コメント1件

225
狢 ◆yEy4lYsULH68 [age]   投稿日:2013/02/21 15:30:54
>224
まあそういう事もアルでしょう。私は唯単にこのコピペを馬鹿板焼却の
材料として利用しているだけです。近々、また別のものに入れ替えます
ので、今暫くお待ち下さい。


コメント1件

226
216人目の素数さん[sage]   投稿日:2013/02/21 17:31:11
>225
はい諒解いたしました次回バージョンを期待します(〜〜)

227
狢 ◆yEy4lYsULH68 [age]   投稿日:2013/02/21 17:54:50
そうですか、なるほど。



>595 名前:132人目の素数さん :2013/02/20(水) 20:56:54.96
> >590
> 好みの女性を見るとムラムラして
> 触りまくることで有名なやつだったな
> 名字は増田って奴だがしらんか?
>
> 増田は痴漢以外にも飲尿療法にも凝ってるそうで
> よく紙コップにおしっこして
> その場で飲んで、その日の体調について語ってた。
> 気持ち悪かった。
>

228
216人目の素数さん[sage]   投稿日:2013/02/21 20:52:56
猫さんのことですか?
飲尿療法の話は初見です
まあ2chの数学関連板は猫さんのおかげで
いくらかは質が高くなった面もありますしねえ
AA過投のパターンよりは評価しますよ
で狢さんは他のコテハンつかったりするんでしょうか?
(うっかり見当違いな対応すると笑われそうなのでvvvvvv)

229
132人目の素数さん[]   投稿日:2013/02/22 03:05:10
見え見えの一人芝居もお終いにしてはどうだろうか?
コメント1件

230
216人目の素数さん[sage]   投稿日:2013/02/22 06:54:59
>229さんへ
早朝(深夜?)からご苦労様です
しばらく書き込んでくれるひとがいなくてどうしたのか
と思ってました 狢(貉?)さん≒猫さんらしいのですが
それは私216人目の素数とは別人28号です
文体でたぶん読み取れると思いますが

それはそうとこのスレの常連さん達どこへいってるんですか?
私待ちくたびれて「数学の哲学」板で遊んでました
みんな帰ってきてくれないかなあ
こうなったらスレタイスレさん(TTTさん?)でもおkなんでwww
貉さんvsTTTさんvs非因果的ブラックボックスさん
とかいうバトルロイヤル読んでみたいよー(〜〜)/♭

231
132人目の素数さん[]   投稿日:2013/04/24 18:53:26
東大出版から出た「記号論理学入門」ってどうなん?
コメント1件

232
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2013/04/24 23:40:15
・数理論理学(ロジック)とは?

 「ZFC + 可測基数の存在」……(M)
は無矛盾である、と言うと必ず突っ込みが入り、
Mは無矛盾ではない、と言っても当然突っ込まれ、
Mが無矛盾であることが証明できる、と言っても必ず突っ込まれ
Mが無矛盾であることは証明できない、と言っても必ず突っ込まれる、

そんな微妙な命題を扱うギザギザハートな分野です
コメント2件

233
132人目の素数さん[]   投稿日:2013/04/25 07:18:14
>232
微妙な命題なんかどこの分野にもあるわい
コメント2件

234
132人目の素数さん[]   投稿日:2013/04/25 10:43:20
よくわかんねえな…

235
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2013/04/25 21:09:30
>233
2〜3分野での例を出してもらえないだろうか。

236
132人目の素数さん[]   投稿日:2013/04/26 11:30:23
物理学でも美学でも数学の他の分野でも予想はされるけど、
証明も実証もされないものは腐るほどあるだろ。

237
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2013/04/26 22:56:45
それらは微妙な命題なせいで証明も実証もされないのか?

腐るほどあるなら、2〜3でいいので実例を出してもらえないか?
コメント1件

238
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2013/04/27 10:59:04
>231
清水義夫の?
哲学出身の人だから説明がていねいでわかりやすいよ

239
132人目の素数さん[]   投稿日:2013/04/27 20:40:49
未解決問題で探れば?
意識のハードプロブレム始め、問題がそもそも何なのか、
定義から難しい問題がいくらでも世の中には転がっている。
基礎論の物なんか初歩的にすぎない。
お前は物を知らなすぎ。知識も探索力もない、馬鹿すぎ。
コメント2件

240
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2013/04/27 20:49:24
つまりなにもあげられないんですね
コメント1件

241
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2013/04/27 21:25:22
>240は煽るだけで何の生産性も生み出さない屑

242
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2013/04/28 13:59:53
昨日行われた書泉のイベントの足立恒雄の講演会に行った人いませんか?
もしいたら様子を教えてください。ちょっと行けなかったもので。

243
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2013/04/29 05:46:17
>233
で、結局具体的にはなにも知らないものを
いくらでもあるなんて言っちゃったの?
コメント3件

244
132人目の素数さん[]   投稿日:2013/04/29 06:14:37
>243
悔しいのか

245
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2013/04/29 06:18:30
質問されたら煽られたと逆切れして人格否定を始める。
だれが悔しいのかはよく考えてみるといい。

246
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2013/04/29 12:28:32
白本でテストでカットがでるとか背理法がでるとかいう問題の問題自体間違ってるけど。
問題の訂正のしかたがわかるやついる??
結構間違い多いけどここだけはどう考えてもどこが間違ってるのかわからないんだよな。

247
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2013/04/29 22:26:44
>243は憶測で「なにも知らない」と勝手に決めつけ、それを前提にして質問をしているので無意味である
コメント1件

248
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2013/04/30 02:15:15
>247
>243がそのように感じるかどうかはさておき>237も先んじてそれを決めつけているとでも?
あまりにものらりくらりと逃げ続けてまともな返答をしないから煽りが入ったのではないか?

249
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2013/04/30 11:53:29
横だが、オレでも「いくらでもある」と言っちゃうだろうな
具体的に探そうとすると凄く大変だろうが
ないと思ってる奴がいるとは思えんから、大変だと分かってて具体例を要求したんだろ?

250
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2013/04/30 21:29:48
誰一人具体例を挙げられないものがほんとうにいくらでもあるのか?
あったとしても、あまり研究されていないところにひっそりとってくらいじゃないの?

251
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2013/04/30 21:53:43
ていうかさ、
>239
>未解決問題で探れば?
>意識のハードプロブレム始め、
ちゃんと具体例挙げてんじゃん、検索ワードも教えてくれてるし
これで逃げ続けてるとか、いちゃもんとしか思えないんだけど

252
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2013/04/30 22:10:56
>251
それ命題ちゃう

253
132人目の素数さん[]   投稿日:2013/04/30 22:42:59
で、肝心の>232の(M)はどう捉らえればいいの?

254
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2013/05/01 07:14:38
ただし可測基数の定義の標準は今後このスレで管理するものとする  (M+)
でおk?

255
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2013/05/02 23:49:09
俺は237じゃないけど、

>239
可測基数の存在は、別に未解決じゃないよ。
将来的にどう解決されるということもない。
ただ、真でも偽でもないし独立だと言い切ることもできず、
(実際には矛盾していると思ってるまともな学者はいないけど)
論理的には矛盾している可能性が残る、それだけ。

あと哲学の命題を持ってきてもっと微妙だとか言われても……
数学の中でどういう分野か、というつもりだったのに
永田町の政治力学はもっと繊細精妙かつダイナミックだ、みたいなズレた話されても困る

256
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2013/05/03 15:38:09
「論理学をつくる」でいわゆるcutting
Γ|=A かつ A,Δ|=B ならば Γ,Δ|=B
を証明するときに(p70)、
AがΓ、Δ、Bのいずれにも含まれていない原子式を含んでいる場合、
Γ、Δ、Bが含んでいる原子式への真理値割り当てVを考えても
そのVがAの原子式に真理値を割り当てるとはかぎらないという理由で、
Aの原子式への真理値を補ったVプラス、を考えるのだけれど、
新しい論理式に出会うたびにVを拡大するのはめんどいのでは?
はじめから人工言語Lに備わる”すべての”原子式への真理値割り当てVを考えてはだめなのか?

257
132人目の素数さん:[]   投稿日:2013/05/08 23:51:17  ID:kYzPZy/E!
最近,クラスなるものを知りました。

集合全体の集まりは典型的な(非集合な)クラスの例かと思ってましたら,これは宇宙と呼ばれる真クラスでクラスではないのだそうです。
それでなるべくシンプルな非集合なクラスの例をお教え下さい。

258
あぼーん[あぼーん]   投稿日:0000/00/00 00:00:00
あぼーん

259
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2013/05/10 00:23:36
>これは宇宙と呼ばれる真クラスでクラスではないのだそうです。
真のクラスproper classはクラスですよ。
クラスであって特に集合ではないものをproper classと呼びます。
ですからV:=(集合全体の集まり)はクラスの例です。

ただ、もっと根本的なproper classの例としては
R = {x; x ∈x} = (自分自身に属さないような集合全ての集まり)
があります。

260
132人目の素数さん:[]   投稿日:2013/05/10 12:53:22  ID:NEbGzGwV!
ご回答誠に有難うございます。

metaclassの中にはproper classと集合の2種類しかないのですね。metaclassから上はもう無くて,
proper classとして典型的な例が集合全体の集まり(宇宙)とラッセルパラドクス(クラス抽象体)が先ず挙げれるのですね。そのほかにもproper classは色々とあるらしい。

単にclassと言ったらproper classの可能性もあるのですね。

class(proper class,集合)の要素は常に集合なのですよね? 集合以外の要素を含むclass(これはもはやproper classでしょうが)ってどんなのがあるのでしょうか?
もし簡単な例があれば是非お教え下さい。
コメント1件

261
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2013/05/10 14:56:59
宇宙って圏論とかにでてくるけどさー。
集合論の本で宇宙が詳しくのってるやつ教えてくりくり

262
あぼーん[あぼーん]   投稿日:0000/00/00 00:00:00
あぼーん

263
132人目の素数さん[]   投稿日:2013/05/11 08:34:00  ID:aYtAiUS9!
>261

公理的集合論「田中尚夫」のp52です。
コメント2件

264
あのこうちやんは始皇帝だった[shikoutei@chine.co.jp]   投稿日:2013/05/11 19:43:32
 無職のクソガキども!  大変なコトになるな!

憲法改正だ! 96条を改正して、その後9条を改正、そして何条を改正すると思う?
18条だ! これで、国家総動員法が出来て、お前ら無職のクソガキは、真っ先に徴兵!
おまえたちは、頭デッカチの虚弱児・ひ弱だから、最下等兵! すぐ戦死だ!
アハハハハハハハハハハ!!!!!!!!!!!!!!!!!!

265
あぼーん[あぼーん]   投稿日:0000/00/00 00:00:00
あぼーん

266
132人目の素数さん[]   投稿日:2013/05/12 20:52:01
>263
変わったタイトルと著者名だなw

267
132人目の素数さん[]   投稿日:2013/05/13 00:35:47
数学板なのに>260とか>263にはIDが表示されてるのは何故なの?
コメント1件

268
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2013/05/16 13:51:01
公理的集合論は絶版なようなので
復刊 公理的集合論には宇宙は乗ってますか?

269
132人目の素数さん:[]   投稿日:2013/05/19 01:43:59  ID:2fcKR6l/!(2)
すいません。

「∀x∈Aに対してf(x)∈B」という命題はもしA=φの場合は偽なのでしょうか? それとも真なのでしょうか?
"∀x∈A"そのものが偽だから「∀x∈Aに対してf(x)∈B」は真かなぁと思ったりしてるのですが。。

どなたかお教え下さい。
コメント1件

270
132人目の素数さん[]   投稿日:2013/05/19 02:45:02
>269
「対して」を論理記号で書いたらすぐにわかる

271
132人目の素数さん[]   投稿日:2013/05/19 02:50:22  ID:2fcKR6l/!(2)
ええっ? すいません。"対して"は論理記号でどのようにかけるのでしょうか?

「∀x(x∈A→f(x)∈B)」でしょうか?
A=φならx∈Aは常に偽なので, (x∈A→f(x)∈B)は常に真ですよね。
従って, A=φの時は「∀x∈Aに対してf(x)∈B」は真ですか?

272
132人目の素数さん[]   投稿日:2013/05/19 02:50:29
∀x∈A(P(x))は∀x(x∈A⇒P(x))の略記だからA=φのときは自動的に真

273
132人目の素数さん[]   投稿日:2013/05/30 11:53:58
濃度がアレフ1の集合の具体例って何かあるんでしょうか
(「具体例」の意味が曖昧ですみませんが
「自然数の集合」とか「実数の集合」みたいな感じで)
コメント1件

274
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2013/05/30 15:09:07
有理数全体の集合Qの部分集合で部分順序として整列集合となっているもの全体について順序同型なもの同士を同一視したもの。
コメント1件

275
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2013/05/31 20:33:46

276
273[]   投稿日:2013/05/31 23:10:13
>274
ありがとうございます
ところで、こういう例や証明が載っている文献ってあるんでしょうか

277
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2013/06/01 10:15:33
からかわれてることに気付きなさい

278
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2013/06/01 10:46:01
証明論的意味論ってなんですか?

279
132人目の素数さん[]   投稿日:2013/06/01 14:41:28
自明だよねえ

280
132人目の素数さん[]   投稿日:2013/10/08 14:54:00
あげ

281
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2013/10/22 16:46:35
>273
可算順序数全部の集合(まんまや)

282
132人目の素数さん[]   投稿日:2013/11/01 17:13:48
現在、田中一之『ゲーデルに挑む』などを読んで不完全性定理の勉強をしております。
そこで質問なのですが、体系Pの記号列をゲーデル数化すれば、
体系Pの論理式や証明は全て1つの自然数に対応するのに、それにも関わらず
自然数から自然数への関数(再帰的関数)に対応する、体系Pの述語とは何なのでしょうか?
ここのところが分からず、再帰的関数の例や表現定理がすんなり入ってきません。
コメント1件

283
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2013/11/01 21:09:14
「体系P」で何を指してるのか良く分からない

あと「対応」でどういう対応を指しているのかも不明瞭
特に再帰的関数に述語が対応すると述べている後ろの方の「対応」

284
132人目の素数さん[]   投稿日:2013/11/02 01:13:59
>282
3〜4行目が何を言いたいのか全然分からない。

285
132人目の素数さん[]   投稿日:2013/11/02 10:28:11
282です。言葉足らずで申し訳ありません。
体系Pというのは、ゲーデルが不完全性定理の原論文で用いているもので、
おおよそペアノの公理と1階述語論理を合わせてできる形式体系です。
(ほかに、内包公理や外苑性公理がある)

ゲーデルは、体系Pの原子記号に自然数を割り当て、その後素数のベキ乗を用いて
体系Pの有限列(論理式)、体系Pの有限列の有限列(証明図)に自然数を割り当てます。

すると、そのあとに、ゲーデルは、「原子記号や原子記号の列の間の関係Rが与えられると、
これにたいして、自然数の間の関係R’がとれる」と述べています。
(Rは原子記号を変数に、R’は自然数を変数にもつ)
この部分の意味がわかりません。
一体、この関係Rとは具体的にどのようなものなのかがわからないのです。

まだまだうまく言えてない部分があると思いますが、どうぞよろしくお願いいたします

286
132人目の素数さん[]   投稿日:2013/11/02 10:53:02
285です。訂正です。
関係Rの変数は原子記号ではなく、原子記号または原子記号の有限列でした。

287
132人目の素数さん[]   投稿日:2013/11/02 11:28:12
たとえば○○という式は△△という式のxにaを代入したものである、というのは2つの記号列の関係だよね。
またある式の列がある式の証明になっている、というのは「記号列の列」と「記号列」との関係になっている。

まだまだ例は挙げられると思うけど、布団の中で書いているのでここまで。

288
132人目の素数さん[]   投稿日:2013/11/02 11:47:50
英語版なので多少言葉使いが変わってるかもしれませんが、

ゲーデルはまずすべての論理式に自然数が割り当てられることを説明しました。
それは、体系Pで使われる記号に自然数を割り当て、
その自然数のベキを使って論理式に自然数を割り当て、
その自然数のベキを使って証明過程を数列と考え証明されるすべての論理式に自然数を割り当てました。
これで体系Pから出てくる論理式すべてに自然数が割り当てられました。

次にゲーデルは公理とか変数とか論理式という
人が考えている概念を自然数を変数にもつ述語でつくれないかと考えています。
例えばR(A)で「論理式Aは公理である」というようなものです。
しかし論理式Aは記号列であって自然数を変数にもつ述語に代入できません。
そこで、先ほどの論理式と自然数の割り当てをΦとおくと、
論理式Aとそれに割り当てられた自然数nについてΦ(A)=nと書けます。

このとき以下の2つが同値になるようにしようといっているんです。

1)R’(x_1,…,x_n) が自然数x_1,…,x_nについて成り立つ
2)x_1=Φ(A_1) のとき、R(A_1,…,A_n) が論理式A_1,…,A_nについて成り立つ

で最終的に「証明可能」なんかも述語として定義していくのです。
(実際にはその定義の前に原始再帰の説明が張り込んでいます。
ゲーデル論文で1、・・・46(くらい)まで
列挙されているものがR’となります。)

289
132人目の素数さん[]   投稿日:2013/11/02 12:39:30
とはいえオントロジーや記述論理など
件のRやAを直接扱う機構は存在しています、

290
132人目の素数さん[]   投稿日:2013/11/02 12:50:30
287さんと288さん、回答ありがとうございます。

ということは、287さんが挙げた例の「代入したものである」、「証明になっている」や、
288さんが挙げた例の「論理式である」以外にも、
形式体系Pの、記号列と記号列の関係であればいいのでしょうか?

例えば、「論理式Aは変数を含まない」をR(A)で表したり、
「論理式Aは論理式Bの否定である」をR(A,B)で表してもよいのでしょうか?

288さんの解説の部分におけるゲーデル論文で、少し分からない点があります。
288さんは最後に、「ゲーデル論文で列挙されているのが関係R´」と述べられています。
ということは、ゲーデルが1から46で行っているのは、
自然数から自然数への関数を定義していると考えればよいのでしょうか?
コメント1件

291
132人目の素数さん[]   投稿日:2013/11/02 13:22:22
関係を関数と思うこともできるけど、わざわざそう思う必要はない
「xとyを7で割った余りは等しい」とか「x+5はyより大きい」をxとyの関数と思っているの?

292
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2013/11/02 13:56:32
内包公理や外延性公理があるのに一階なのかよ、というのはおいといて、
その部分は多分記号列とそのゲーデル数を同一視することで、
記号列の性質を自然数の性質と同一視しよう、と言ってるんじゃないの

293
288[]   投稿日:2013/11/02 16:34:50
>290
>例えば、「論理式Aは変数を含まない」をR(A)で表したり、
>「論理式Aは論理式Bの否定である」をR(A,B)で表してもよいのでしょうか?

そうです。

私が読む限りは、単に論理式Aと論理式Bの間の関係を表す述語を考えるときに、
論理式のまま扱えないからそのゲーデル数を論理式と思って使いましょう
といっている程度の話だと思います。

>ということは、ゲーデルが1から46で行っているのは、
>自然数から自然数への関数を定義していると考えればよいのでしょうか?

関数と述語は違います。1から46は述語を作っています。
関数は単なる値でしかないので、succ(0)みたいな数値と変わらないです。
succ(0)>0のように「真偽が決まる」ようになったものが述語です。

294
132人目の素数さん[]   投稿日:2013/11/02 17:24:33
291さん、292さん、293さん回答ありがとうございます。
関係Rについて、ずいぶん理解が進んだと思います!
ですが、今まで、関数、関係、述語などを混同していました。
基礎からもう少し考えてみようと思います。
またよろしくお願いいたします。
(すぐまた質問してしまうかも・・・)

295
132人目の素数さん[]   投稿日:2013/11/05 17:34:30
294です。
田中一之『ゲーデルに挑む』での再帰的関数のところに関する質問です。
ゲーデル論文において、1から46の関数を列挙するとき、
例えば13番目では、「Neg(x)は、xの《否定》」とあります。
※ただし、《》はメタ数学的概念の算術的表現です。(本書p57より)


これは、「関数Neg()に自然数xを代入してできる関数値Neg(x)は、
自然数xに対応する形式体系Pの記号列Aの否定¬Aに対応する自然数」
との解釈でよいのでしょうか?

なにぶん下手な文章ですが、お時間あれば回答お願いいたします。

296
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2013/11/05 21:54:58
それで良いと思います

297
132人目の素数さん[]   投稿日:2013/11/06 16:45:50
296さん回答ありがとうございます。
はじめは、見知らぬ用語がたくさん出てきて困惑したのですが、
このスレのおかげで少しずつ理解が進んできたように思います。
また、よろしくお願いいたします。

298
132人目の素数さん[]   投稿日:2013/11/16 13:30:16
述語論理の完全性定理の証明を追っているのですがどうもわからないことが
あります。
というのは、∃x.P(x)が現れると、∃x.P(x)→P(c/x) を追加して...
というのはいつも出てくるのですが、∀x.P(x)の場合の考慮があまり表面に
出てこないのはなぜなのでしょうか?
特に、∀x∃y.P(x,y) のような場合にどうするんだろうというのが気になる
のですが。
どなたか教えていただけないでしょうか?
コメント1件

299
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2013/11/16 18:33:22
∀x∃y.P(x,y)は¬∃x.¬∃y.P(x,y)と同じだから後者を考えれば良い
コメント1件

300
132人目の素数さん[]   投稿日:2013/11/16 20:10:58
>299
後者を考えれば良い、とはどういうことなのですか?後者とは?
コメント1件

301
132人目の素数さん[]   投稿日:2013/11/16 21:15:00
>300
AはBと同じだから後者を考えれば良い、と言ったとする
後者とはBのこと
Bを考えれば良いと言っている
コメント1件

302
132人目の素数さん[]   投稿日:2013/11/16 21:31:00
>301
¬∃x.¬∃y.P(x,y) を考えれば良いということなのですね?
それが分からないという質問だったのですが。どう考えればよいのでしょうか?
∃y...をどう考えればよいかは分かるのですが、¬∃x...をどう考えればよいのか分かりません。
∃yと¬∃xは、随分違いますよね

303
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2013/11/17 13:49:33
専門家じゃないんであくまで俺の理解の範囲で、なんだが・・・

完全性定理(モデル存在定理)を示すためにΓを拡大してるわけで
最終的にモデルを構築することが目的

∃xψ(x) という形の文が真に なるためには、具体的に ψ(a)

304
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2013/11/17 13:56:45
途中で送信してもうた

∃xψ(x) という形の文が真に なるためには、具体的に ψ(a) が真になるような対象 a が必要

Γ∪{∃xψ(x)} が無矛盾っていうのは、単に、「Γと∃xψ(x)を仮定して矛盾がみちびかれることは無いよ」って意味だから
これだけでは、構造を入れたときに ∃xψ(x) が真になる保証はない

なので、実際に ψ(a) になる,っていう文をいれとかなきゃならない、ってことなんじゃないかな

∀xψ(x) の場合は、対象が無くても別に問題ないので、存在を考える必要がないんだと思う
コメント1件

305
132人目の素数さん[]   投稿日:2013/11/17 19:04:57
>304
コメントありがとうございます。

>∃xψ(x) という形の文が真に なるためには、具体的に ψ(a) が真になる
ような対象 a が必要

これは了解

>∀xψ(x) の場合は、対象が無くても別に問題ないので、存在を考える必要がないんだと思う

対象は無いということはなくて、少なくともさっき∃xψ(x)のところで入れた
aはあるわけですよね。すると、∀xφ(x)が出てきたときには、φ(a)とすると
いうような考慮が必要だと思うのです。
ただ対象が有限のうちはこのようにやっていけばよいでしょうが,
∀x∃yφ(x,y)のようなのが現れたときは、対象が一気に無限になることもあり
得るでしょうが、そのときはどう考えるのでしょうか?
とにかくそういうふうに、∃のときより∀の時の方が難しそうなのですが、
∀の時のことがあまり説明されていないのがよく理解できないのです。
どこか考え違いしているのでしょうが

306
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2013/11/17 19:35:49
∀x.P(x)が公理の帰結である場合は
単に任意の要素 c に対して P が成り立つように P の解釈を決める
(つまり P = 対象領域とする)だけじゃなかったっけ
コメント1件

307
132人目の素数さん[]   投稿日:2013/11/17 20:36:50
>306
>∀x.P(x)が公理の帰結である場合は
>単に任意の要素 c に対して P が成り立つように P の解釈を決める
そういってしまえばそうなのですが、それが∀x∃y.Q(x,y)の形のときには
悩ましくないですか?任意の要素xのそれぞれに対して、Q(x,y)となるyを
作らないといけなくなって、そうやって作ったy達すべてに対して,また
Q(y,z)となるzを作って...というふうにずっと続きませんか

308
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2013/11/17 21:23:14
それを1,2,3,・・・・・・と任意の自然数回繰り返したものを集めると
それが閉じているということが証明の一つのポイントだったような

309
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2013/11/17 21:47:52
Γの極大無矛盾な拡大をΓ+として、(¬(A ∈ B) を A /∈ B と書く)

 {∃xφ(x) ∈ Γ+ ⇔ ∃xφ(x) が真} すなわち {∃xφ(x) /∈ Γ+ ⇔ ∃xφ(x) が偽}・・・☆
が成り立つように構造が入っている、とすると

∀xφ(x)∈Γ+ ⇔ ¬∀xφ(x) /∈ Γ+ (Γ+は極大無矛盾)
          ⇔∃x¬φ(x) /∈ Γ+ (書き直しただけ)
          ⇔∃x¬φ(x)は偽  (☆)
          ⇔¬∃x¬φ(x)は真
          ⇔∀xφ(x)は真   (書き直しただけ)

なので、☆が成り立つ理論を作ってうまく構造を入れてやれば
∀が頭に付く文についてもOKになるので
∃が頭に付く文だけ付け加えることを考えればいいんじゃないのかな

うーん、もっとちゃんと勉強しないとダメだな俺

310
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2013/11/17 22:58:11
∀x∃y.Q(x,y) に関してだけど

Q(y,z)って何?引数の順序には意味があるんだから位置変えちゃだめでしょ
任意の 閉項a に対して ∃yQ(a, y) がなりたって、
ある 閉項b について Q(a, b) がなりたったら、そこでおしまい

既にQはすべての変数に閉項が代入されてるから、もう何も探す必要はないよ
コメント1件

311
132人目の素数さん[]   投稿日:2013/11/17 23:37:38
>310

もちろん引数の順序を変えているのではないです。
∀x∃y.Q(x,y) が公理にある場合、その公理に従えば、最初にQ(a,b)とすれば、
後は、Q(b,c), Q(c,d), Q(d,e),...となりますよね?

>ある 閉項b について Q(a, b) がなりたったら、そこでおしまい
>既にQはすべての変数に閉項が代入されてるから、もう何も探す必要はないよ

だからそうは思えないんです
コメント1件

312
132人目の素数さん[]   投稿日:2013/11/18 00:14:18
>311
>∀x∃y.Q(x,y) が公理にある場合、その公理に従えば、最初にQ(a,b)とすれば、
後は、Q(b,c), Q(c,d), Q(d,e),...となりますよね?


意味不明
コメント1件

313
132人目の素数さん[]   投稿日:2013/11/18 00:28:58
>312
あれ?伝わりませんか?
Q(a,b) とすれば、このbも、∀x∃y.Q(x,y) における∀xのカバー範囲に入るので、
先のaと同様にQ(b,c)としなければいけなくなり、そうすると、その次は、
cについても同様に...という意味だったのですが

314
TTT[]   投稿日:2013/11/18 07:48:47
なんか迷走してるね具体例考えるといいよ

たぶん疑問に思ってるのは
言語が定数記号aしか持たないとき、
∀x∃y.Q(x,y) に対してxにaを代入したとき
∃y.Q(a,y) となるので、これが成り立つような定数を新たに言語に投入して
∃y.Q(a,b) としてみた
そしてあたらしく言語に投入したbを
∀x∃y.Q(x,y) のxに代入したらまた
∃y.Q(b,y) のyに代入するべき定数記号を言語に投入しなければならばいという主張だと思う
これはモデル側では一階述語論理のタブロー法の決定不能性の原因になる
でも構文論ではまったく問題ない
なぜなら∀x∃y.Q(x,y)という形の命題があった場合は
q(x)=y という論理的同値な関数をつくることができるので、
新しくqを投入した言語が保存拡大となり問題なくなる
結局∃ではじまる命題だけ考えればよい

なぜ∃の考慮が必要なのかというと、
例えば言語に定数記号がaとbしかなかった場合、
考察対象の理論から証明もその否定も証明できない命題Aがあるとする
このとき (x=a∧A)∨(x=b∧¬A) を B(x) とおく
すると B(a)∨B(b) が証明可能になる(恒真命題になってる)
よって
∃xB(x)∨∃xB(x)
∃xB(x)
といった証明ができる
けれども B(a)、B(b) などは証明できない
そうすると定義上∃xB(x)は真にならない
よって証明できるが真にはならない、つまり完全性が満たせない
コメント1件

315
132人目の素数さん[]   投稿日:2013/11/18 08:48:35
>314
コメントありがとうございます。

>たぶん疑問に思ってるのは
そのとおりです。

コメントを読んで少し分かってきました。
でもまだわからないことも多いです。

>でも構文論ではまったく問題ない
ここは正確な表現ではないんでしょう?ここはモデルを作ろうとして
いる所ですから

>結局∃ではじまる命題だけ考えればよい
これは随分飛躍しているように感じます

>q(x)=y という論理的同値な関数
これはスコーレム関数のことですね
ここの処理こそキモではないかと感じます

>なぜ∃の考慮が必要なのかというと
∃の考慮が必要な理由はすぐわかります。ここの説明は複雑すぎませんか?

結局、やっぱり、∀については結構考慮しないといけないのですよね。
なぜふつう、TTTさんのコメントのようなことを書いていないのでしょうか?

316
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2013/11/18 09:34:42
>そしてあたらしく言語に投入したbを
>∀x∃y.Q(x,y) のxに代入したらまた
>∃y.Q(b,y) のyに代入するべき定数記号を言語に投入しなければならばい

いや、それは、投入すればいいだけの話じゃないの?
というか、そういう風に順々に拡大していってるはずだけど

317
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2013/11/18 22:45:14
ハゲタカ外資ファンドに食い尽くされる商業施設
運営会社責任者は虚偽説明
商業施設トリアス久山 外資ファンドを取り巻く失望と疑念
http://www.data-max.co.jp/2013/10/07/post_16455_dm1504_2.html

318
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2013/11/21 00:20:46
>298
∀x.P(x)の場合は、述語論理の公理に

∀x.P(x) → P(a)

があるから改めて何かする必要はない。
コメント2件

319
132人目の素数さん[]   投稿日:2013/11/23 00:14:00
>318
答えになっとらんと思うぞ

320
132人目の素数さん[]   投稿日:2013/11/27 22:36:06
いやいや >318 の答が正確かつ簡潔だと思います。
欲しい性質は
(1) ∃x.A(x)がΓの要素ならば、あるaに対してA(a)がΓの要素。
(2) ∀x.B(x)がΓの要素ならば、どんなbに対してもB(b)がΓの要素。
の二つで、(1)は自動的には成り立たないから定数をじゃんじゃん無限個追加するんです。
(2)は述語論理の公理から自動的に成り立つ(Γが極大無矛盾なら)ということ。

ついでに言うと、ヘンキン定数を用いたこの証明は理解するのが難しい
ということでしょうね。
定数を増やさない証明手法の方が優れているかと。

321
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2013/11/27 23:11:08
背景について

19世紀末に、イギリスの電気技師ヘビサイドはある特定の微分方程式を他公式方程式に変換してとく非常に実用的な計算方法を発見した。
しかし彼の方法は理論的厳密さにかけていたので当初はあまり評価されなかった。
その後ブロムヴィッチによりヘビサイドの方法は18-19世紀初頭にてすでにオイラーやラプラスにより発見されていた積分変換およびその逆変換による解法と結び付けられ、数学的に厳密に定式化された。
現在では彼らが定義した積分変換はラプラス変換と呼ばれ、電気工学、機械工学、制御工学など工学の広範で広く活用されている。

322
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2013/11/27 23:12:54
工学の真髄は数学的に思考にやどるってやってて思うね
逆に数学科の方々は数学をどう思ってるんですか

323
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2013/11/27 23:14:22
非公式方程式?
多項式方程式○
失礼

324
132人目の素数さん[]   投稿日:2013/11/27 23:33:18
いや駄目だと思う。
B(x)=∃y.C(x,y)として∀x∃y.C(x,y) の場合を考える。
(2)を適用すると、
∀x∃y.C(x,y)がΓの要素ならば、どんなxに対しても∃y.C(x,y)がΓの要素
となる。
これに対して(1)を適用すると、
どんなxに対してもあるdに対してC(x,d)がΓの要素
となるよね。
しかしこの「どんなxに対してもあるdに対してC(x,d)がΓの要素となる」
なんていう表現は駄目だよね。dがxに依存するというのが見えにくいよね
コメント1件

325
132人目の素数さん[]   投稿日:2013/11/28 12:43:10
>324
変数と定数をごっちゃにしてないか?
コメント1件

326
132人目の素数さん[]   投稿日:2013/11/28 13:41:26
>325
「どんなb」というのも変なのでxにしておいた。
とにかく、∀x.B(x) なんていうんじゃなく、∀x∃y.C(x,y) の場合にどうするかを
具体的に示してやらないといけないんじゃないか?
∀の場合は簡単という答の中になんでスコーレム関数のことが出てこないの?
コメント1件

327
132人目の素数さん[]   投稿日:2013/11/28 20:37:15
>326
完全性定理の証明にヘンキン定数じゃなくてスコーレム関数を使うの?
コメント1件

328
狸 ◆2VB8wsVUoo [age]   投稿日:2013/11/28 21:23:19
馬鹿板撲滅の実行にノッペラ蕎麦じゃなくてテイノウ菌愚が出るの?

ケケケ狸

329
狸 ◆2VB8wsVUoo [age]   投稿日:2013/11/28 21:32:17
馬鹿板崩壊の救済にフクメン出前じゃなくてノータリン禁愚で決まり?

コココ狸

330
132人目の素数さん[]   投稿日:2013/11/28 23:09:14
<><301
消えろ!!低能!!

331
狸 ◆2VB8wsVUoo [sage]   投稿日:2013/11/29 08:20:29


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332
132人目の素数さん[]   投稿日:2013/11/29 09:58:25
>327
両方使う
コメント1件

333
狸 ◆2VB8wsVUoo [sage]   投稿日:2013/11/29 13:05:28
サヨカ。馬鹿蕎麦も低脳菌愚も、両方必要なのか。なるほど。

ケケケ狸

334
132人目の素数さん[]   投稿日:2013/11/29 18:44:38
君らそもそも数学できるのか?

335
132人目の素数さん[]   投稿日:2013/11/29 20:49:57
できたらこんなもんやってないだろ

336
狸 ◆2VB8wsVUoo [sage]   投稿日:2013/11/29 20:57:01
そういう事やわナ。


337
132人目の素数さん[]   投稿日:2013/11/29 22:44:22
>332
その両方使う証明方法が載っている文献を教えてくれませんか。
(ヘンキン定数しか使わない証明およびヘンキン定数すら使わない証明しか知らないので)

338
132人目の素数さん[]   投稿日:2013/12/05 00:13:48
「1づつ引いていけばいずれ0に到達すること」というのをペアノの公理系に付け加えれば
ωなどを含まない標準的自然数の集合が定義できるんじゃないかと思うのですが、
これってどこか間違ってますか?教えてください。

339
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2013/12/05 02:09:14
それと帰納法の公理はほぼ同じことを言ってます

あと、超準な要素を含まない標準的自然数の集合を定義できると言いたいのであれば
まず「1ずつ引いていけばいずれ0に到達する」をωなどに言及しないで
直接的に論理式で表現しないといけないですが、
実際やってみると案外難しいのが分かると思います。
コメント1件

340
132人目の素数さん[]   投稿日:2013/12/05 09:22:59
>339
コメントありがとうございます。
>それと帰納法の公理はほぼ同じことを言ってます
私が言ってるのは、逆方向の帰納法ですね
>超準な要素を含まない標準的自然数の集合を定義できると言いたいのであれば
そう言いたいのですが
>実際やってみると案外難しい
再帰的に定義すれば簡単に定義できると思うのですが、
しかし標準的自然数の集合を定義できるとすれば、多分不完全性定理を含む
多くのことが崩壊するでしょうから、どこがどう間違っているのか分らないの
です。再帰的定義のところが間違いなのでしょうか
コメント1件

341
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2013/12/05 09:57:33
書いてみなされ

342
132人目の素数さん[]   投稿日:2013/12/05 10:22:25
Prolog風に書くとすれば、
Nat(x) :- x=0.
Nat(x) :- x=y+1, Nat(y).

343
339[sage]   投稿日:2013/12/05 20:45:18
自然数論の形式的な論理式がどういうものかご存知ですか?
これは案外不自由なもので、まずこれを知らないと、
そもそも「標準的自然数」とは何なのかも理解できません。

ここでやらないといけないのは与えられた数から1ずつ引いていくプログラムじゃなくて
「"いずれ"0に到達できる」ということを表現した形式的な論理式です。
342は、「"いずれ"0に到達できる」、ということを表現できていないように思います。
「有限回の操作後いずれ0になる」の意味なんて明らかだ、というのは
「標準的自然数」の定義なんて明らかだ、誰でも知ってるから敢えて書く必要ない、
というのと似たようなことです。

>再帰的定義のところが間違いなのでしょうか
仰るとおりです。「案外難しい」というか、実際やってみるとできません。
不完全性定理周りでは「明らかに」できそうなことが実はできないことがわかる、
というようなことは良くあります。だから不完全性定理の証明では、
自明臭いことを延々と実際に書いて確かめたりします。
コメント2件

344
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2013/12/05 21:11:47
数学基礎論の勉強を始めたいのですが、どういう本がオススメですか?

345
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2013/12/05 21:39:26
今復刊されてる「数学基礎論講義」はかなり良いよ
コメント1件

346
132人目の素数さん[]   投稿日:2013/12/05 21:45:43
>343
>自然数論の形式的な論理式がどういうものかご存知ですか?
一応分っているつもりです。
>そもそも「標準的自然数」とは何なのかも理解できません。
まずは、あの0,1,2,3,...のことだという理解でよいのではないですか?
>342は、「"いずれ"0に到達できる」、ということを表現できていないように思います。
Nat(x) <==> x=0 ∨∃y.(x=y+1 ∧ Nat(y))
と書いた方がよかったかもしれません。
<==>ですから、これでωはNatの集合から排除できると思います。
そしてこの式は、「"いずれ"0に到達できる」ことも言っていると思うのですが。
「"いずれ"0に到達できる」ということをメタレベルで表現しているのではありませんが、その必要はないですよね?
>>再帰的定義のところが間違いなのでしょうか
>仰るとおりです。
上のように少し補正しましたが、どこで間違っているのかまだ分かりません。
コメント1件

347
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2013/12/05 21:48:43
>345
ありがとうございます

348
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2013/12/05 22:11:58
Natって自然数じゃなくて整数なんだ
コメント1件

349
132人目の素数さん[]   投稿日:2013/12/05 22:24:31
>348 ?

350
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2013/12/05 22:37:20
整数には0もあるし前者もある。

351
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2013/12/05 22:42:17
>346
Nat(x)は、xの前者yで、yもNatであるようなものが必ず存在する、
ということしか言っていませんから、
これでは順序型としてω+Z・Q
みたいな、ωの後にZと順序同型のブロックがずっと続くような構造を排除できていませんし、
実際超準モデルは順序集合としてはそういう構造になります。
http://www.math.uchicago.edu/~kach/mathematics/slides1may2004.pdf
コメント1件

352
132人目の素数さん[]   投稿日:2013/12/05 23:19:22
>351
>Nat(x)は、xの前者yで、yもNatであるようなものが必ず存在する、
>ということしか言っていませんから、
いいえ、それに加えて、「"いずれ"0に到達できる」ことも言っていると思いますが。
というのは、お分りと思いますが、上記の中の「yもNatである」の部分に対しても
Nat(y) <==> y=0 ∨∃z.(y=z+1 ∧ Nat(z))
が適用されて、さらにそのうちの「zもNatである」の部分に対しても・・・
となりますから。
ですから、0に到達しないωはここのNatには入らないと思うのです。
(ご紹介のスライドは後で勉強してみます)

353
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2013/12/05 23:57:13
整数に対して
Int(x) <==> x=0 ∨∃y.(x=y+1 ∧ Int(y))
をみたすIntという性質を考えても、
整数に対して1を引き続けるといずれ「最初の数」あるいは 0 に到達する、
というような結論はでないから、少なくともペアノ算術の他の公理を使うこと無しに
Natの定義だけで352みたいな結論は出て来ない。

あと、超準モデルは
{0、1, 2, 3, ……  …… , w-3, w-2, w-1, w, w+1, w+2, w+3, …… }
みたいな構造をしていて整列集合じゃないから、
全ての標準自然数より大きいような最小の元 ω は存在しない

ωの後にZと順序同型のブロックが続くというのは、
{ω}のあとにブロックが続くという意味じゃなくて
{0、1, 2, 3, …… }(最大元はない)の後に続くという意味だからね
コメント1件

354
132人目の素数さん[]   投稿日:2013/12/06 08:56:17
>353
後半部は分るのですが、
>いずれ「最初の数」あるいは 0 に到達する、というような結論はでないから
がまだ分りません。
Nat(x) <==> x=0 ∨∃y.(x=y+1 ∧ Nat(y))
をちょっとベタに展開してみますと、例えば
Nat(3) <==> Nat(2) <==> Nat(1) <==> Nat(0) <==> 真
Nat(-1) <==> Nat(-2) <==> Nat(-3) <==> 永遠に続く
Nat(w) <==> Nat(w-1) <==> Nat(w-2) <==> 永遠に続く
となります。
ここの永遠に続くをどう扱うかが問題なのかもしれません。
真としてもよいし、偽としてもよいのですが、真にするとしても
Nat(3) <==> Nat(2) <==> Nat(1) <==> Nat(0) <==> 真
でいう真とは明らかに区別できます。
なので、標準的自然数を定義することはできるのではないかと相変わらず思うのです。
コメント1件

355
132人目の素数さん[]   投稿日:2013/12/06 09:11:54
負数について考える必要はないと思いますが、みなさん「整数...」とおっしゃるので
入れておきました

356
132人目の素数さん[]   投稿日:2013/12/06 09:44:58
カルケドン定数つき単項述語論理なら定義できたと思う
S除去で→を削って食って手法
コメント1件

357
132人目の素数さん[]   投稿日:2013/12/06 11:54:53
>356
へー。なにか読めるものありますか?

358
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2013/12/06 12:14:09
整数どころか複素数でも成り立つのに。

359
132人目の素数さん[]   投稿日:2013/12/06 15:15:34
ギュープラタンのホロノミー原理とか中間次数開裂問題とかが有名
まぁギュルタンとかソロベイとかが今はやってると思う
まとまった本はないのでQ理論とか入子算術体系PL2_ωをあたるといいと思う

360
132人目の素数さん[]   投稿日:2013/12/06 17:21:08
デタラメを書いてるかも知れない、と思わせる文体。

361
132人目の素数さん[]   投稿日:2013/12/06 18:08:23
実数の理論内部では自然数は定義できないとかの話をふと思い出した。

362
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2013/12/06 19:44:08
>ここの永遠に続くをどう扱うかが問題なのかもしれません。
そうです。

>明らかに区別できます。
>343で述べたように、その「明らか」が実は明らかどころか間違っています。

「意味論semantics」と「構文論syntax」の違い、とか
メタ理論と対象の理論(地の理論)の違いとか、そういう話は聞いたことありますか?
標準的自然数の定義はメタ理論的には可能と言ってよいですが、
対象理論のなかではできないのです。

>しかし標準的自然数の集合を定義できるとすれば、
>多分不完全性定理を含む多くのことが崩壊するでしょう
これは正しいのですが、こっちの「定義」は対象理論の中での定義でなければなりません。
つまりペアノ算術の論理式で定義するという意味です。この意味での定義は不可能です。
コメント1件

363
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2013/12/06 21:57:09
というか
>真としてもよいし、偽としてもよいのですが
ってどういうことよ
真か偽かは好き勝手に選ぶようなものじゃないよ
コメント1件

364
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2013/12/06 22:56:42
x^2-y^2=s sが素数の時(√s<x<(s+1)/2)の範囲において第一象限で格子点を通らない
(x+iy)^2=s-2ixy
{ √[x^2+y^2]*e^(i*arctan(y/x)) }^2 = √[s^2+4(xy)^2]*e^(i*-arctan(2xy/s))
√[x^2+y^2]=√[s^2+4(xy)^2] x^2-y^2=s
e^(i*2*arctan(y/x))=e^(i*-arctan(2xy/s))
2*arctan(y/x)=2Aπ+φ
-arctan(2xy/s)=2Bπ+φ
2*arctan(y/x)+arctan(2xy/s)=(A+B)π    
Sに整数を代入し上記の指揮を満たす整数xと整数yが(√s<x<(s+1)/2)と(0<y<(s-1)/2)に存在しない時Sは素数

365
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2013/12/06 22:58:58
                           ∧,,∧
                         r(   ´n
                   ./    ? >   ,/    ∧,,∧
   数学人だあーーーーっ ? >   〜'oー、_) ? r(   n)
                   .>          ?  `/  ?
   逃げろーーーーーーっ! .>           〜'し -一┘
                   .>                  ∧,,∧
/∨∨∨∨∨∨∨∨∨∨∨∨\                 ( ´・ω)
                                   〜、/  っっ
                            ? ∧,,∧    └ー-、ぅ
     ?              ? ? ?  ? ? 〉、´・ω・))
                  ∧ ,,∧      > \/´
        ?_n        (´・ω・`)  ? 〜'?-一┘
? ?   ∧,, ∧ノ ? ?     c'   っ
    c('・ω・`)っ      〜(_,'ーo'

366
132人目の素数さん[]   投稿日:2013/12/07 10:44:17
わっ でも逃げずにやってきましたw

>362
標準的自然数を定義できると主張したいのでなく
私の論法のどこが間違いかを知りたかったのです。
私のあの定義は対象レベルの定義のつもりです。
(そもそも対象とメタの区別というのも分かりにくいですね)

>363
真とも偽とも決まらないと言えばよかったでしょうか
例えば、a = (a => 真) の場合なら、aは真と決まりますが、
a = (a ∧ 真) の場合は、aの真偽は決まりませんね
コメント1件

367
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2013/12/07 13:18:08
>366
「充足する」という意味?

368
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2013/12/07 13:35:56
普通は、N(x)である、という性質を定義するのに
N(y)という性質を使ったら定義にならないよね。
大抵well-definedにならないのだけど、帰納的定義の場合は
特別にそういうことができる。
Nat(x) <==> x=0 ∨∃y.(x=y+1 ∧ Nat(y))
ではマトモな定義になっていないということ。

369
132人目の素数さん[]   投稿日:2013/12/07 14:01:42
特別に? マトモな?

370
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2013/12/07 14:41:42
たとえば
Gが群であるとは、
「乗法・で閉じたGの任意の部分集合 H が群になっていること」
と定義したりしたら、これ自体は正しい命題ではあるけど全然定義になってないでしょ。
〜〜は群である、ということ自体を定義の中で使ってるから。

帰納的定義というのはその種の特殊なことをやっている。
>340で「逆向きの帰納法」と言ってるけどそんなものはない。
整列集合とか整礎的半順序では
大きくなる方向と小さくなる方向は本質的に非対称で、
帰納法は逆向きには成立しない。
コメント2件

371
132人目の素数さん[]   投稿日:2013/12/07 15:16:54
>370
言ってる気持ちは勿論よく分かってます。自己定義は定義にならないとか。
だけど、Natの定義はそうではないですし、マトモでないとしても、
どうマトモでないかがわからないというのが今の場面なので

372
132人目の素数さん[]   投稿日:2013/12/07 15:20:10
Natの定義がそうでないというあなたの脳内感覚を数学にしてみて

373
132人目の素数さん[]   投稿日:2013/12/07 15:48:37
見ればわかるでしょ?
左辺はNat(x)で右辺はNat(y)
群の例の場合は,左辺も右辺もまったく同じ「群」
コメント3件

374
132人目の素数さん[]   投稿日:2013/12/07 15:53:26
ちょっと間違ったけど、群の例は、
Nay(x) = Nat(x) や Nat(x) = Nat(x-1) のようなもの

375
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2013/12/07 16:15:28
>どうマトモでないかがわからない
帰納的定義がwell-definedであるというのは
自明じゃなくてちゃんと証明しないといけない命題。
Natの定義はwell-definedであることも要証明なんだけど、
この証明はやってみると全然できない。
実は理論が無矛盾である限り決して証明できないのだが、
これは不完全性定理などから分かることで、
矛盾してしまう以上できない、という説明しかないんじゃないかな。

{x: not x ∈ x} はなぜ集合でないか、が根本的には
ラッセルの逆理が生じて矛盾するから、としか説明できないのと同じ。
クラスみたいに大きなモノの集まりは累積的集合になれない、
とかいうのは後付けの理屈でしか無い。
コメント1件

376
132人目の素数さん[]   投稿日:2013/12/07 16:18:58
>373
見てわかるのは君の脳内でだけだから数学にして

377
132人目の素数さん[]   投稿日:2013/12/07 18:14:56
>375
それで、私のNatの定義がどうマトモでないかへの答えは、
ここのどこに書かれていますか?
マトモかどうかは分らないというのが答えなのでしょうか?

それから
>Natの定義はwell-definedであることも要証明なんだけど、
>この証明はやってみると全然できない。
まさかそんなことないでしょ?

378
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2013/12/07 19:39:22
>Natの定義がどうマトモでないか
これから定義するべきNat自身を使って
Natを定義しているところ。

整礎関係に対する帰納的定義の場合は、これがきちんと唯一のものを定めているということの
証明が、集合論の教科書にちゃんと書いてあります。
ペアノ算術の場合の、帰納的な関数や述語の定義ができるということの証明は
一階算術の表現能力があまりないのでβ関数とか中国剰余定理とかを
使ってかなりテクニカルな証明をします。たぶんあなたは読んだことないと思います。

>373
xが群であることをGrp(x)と書くことにすると
>370に書いたのは
Grp(x) :⇔ ∀y⊆x Grp(y)
ですよ。
「左辺はGrp(x)、右辺はGrp(y)だからちゃんと定義になってます。
見れば分かるでしょ?」とか言われても、
「はぁ?意味不明……」と思いませんか。
Nat(x)の場合との違いが私には分かりません。

それから、私は「逆向きの帰納法」が何を意味するのか分からなくて
私にとっては明らかでも何でもないから
まずあなたが、それが何なのか説明して下さい。
与えられた数から1ずつ引き続けるプログラムなんか
出されても何の説明にもなってません。
コメント1件

379
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2013/12/07 19:49:02
>366で対象レベルの定義と言ってるし、
不完全性定理と矛盾するのが分からないとも言っているんだから、
一階算術のなかで定義しないといけないんだよ。

仮にwell-definedである保証がないことに眼をつぶって
算術にNatという無定義述語と
Nat(x) :⇔ x=0 ∨∃y.(x=y+1 ∧ Nat(y))
という公理を加えても、
超準モデル
{0、1, 2, 3, ……  …… , w-3, w-2, w-1, w, w+1, w+2, w+3, …… }
のうち、最初の普通の自然数の部分だけでNatが成り立つモデルと
wを含むもっと大きな部分でNatが成り立つモデルが必ず両方存在してしまう。

>354で言っている「明らかに区別できます。」はメタレベルでの話で、
メタで区別できても対象レベルのなかで論理式で区別できないと意味が無い。
でもそういう区別をできる論理式は決して作れない。
コメント1件

380
132人目の素数さん[]   投稿日:2013/12/07 20:45:41
>378
>>Natの定義がどうマトモでないか
>これから定義するべきNat自身を使って
>Natを定義しているところ。
ということは、帰納的定義はマトモでないと言っているのですね。
しかしこれは、その直後で
>整礎関係に対する帰納的定義の場合は、
というように、帰納的定義は認めているようなのと矛盾するのではないですか?
唯一のものを定めていないからマトモでない、というのならまだ分りますが、
Nat自身を使ってNatを定義すること自体はOKですよね。

381
132人目の素数さん[]   投稿日:2013/12/07 20:55:33
>379
>最初の普通の自然数の部分だけでNatが成り立つモデルと
>wを含むもっと大きな部分でNatが成り立つモデルが必ず両方存在してしまう。
それらのモデルのうち一番小さいの、というのは駄目なんですか?

382
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2013/12/07 20:57:37
二階の論理でも使うの?

383
132人目の素数さん[]   投稿日:2013/12/07 20:58:43
モデルに言及する時点でメタになるということかな?

384
132人目の素数さん[]   投稿日:2013/12/07 21:08:54
メタなんていうより二階って言った方が明確だろ

385
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2013/12/07 21:45:45
>唯一のものを定めていないからマトモでない、というのならまだ分ります
今の場合はほぼそういうことなのでそういう風に解釈してくれれば良い。

>それらのモデルのうち一番小さいの、というのは駄目なんですか?
二階算術ならその方法なら良いよ。そして不完全性とも矛盾しない。
Nat(x) :⇔ x=0 ∨∃y.(x=y+1 ∧ Nat(y)) だとその内容を表現できてない。
Natがモデル全部の中の変な部分集合になってる可能性が残る。

一階の算術であれば、そういうことは表現できない。

最初の「1ずつ引いていけばいずれ0に到達する」というのとは違う感じだけどね。
コメント1件

386
132人目の素数さん[]   投稿日:2013/12/07 23:04:06
>385
ようやく少し話が合ってきた感じかな
途中「Nを使ってNを定義することはできない」なんてナイーブなことを言う人が
出てきたので困ったと思ったのですが。
>最初の「1ずつ引いていけばいずれ0に到達する」というのとは違う感じだけどね。
なんでも出発はそれくらいの一次近似から始まるんじゃないですか

387
385[sage]   投稿日:2013/12/07 23:21:45
いやナイーブなのはあれで定義になってると思って
>373みたいな意味不明なこと書いてるアンタですがな

こっちが、定義になってないけど
「Natという無定義述語とNat(x) :⇔ x=0 ∨∃y.(x=y+1 ∧ Nat(y))
という公理を加える」 という意味に好意的に解釈してるのに
ナイーブな奴には分からん高等な定義をしてるんだぜ、みたいなのやめれ

>「Nを使ってNを定義することはできない」
定義にならない、とかマトモじゃない、というのは「定義することは出来ない」ではなくて
「定義が指すものが存在して唯一に決まる保証が無い」ということ。最初からそう言っている。

388
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2013/12/07 23:34:26
当人以外はわかって見てあげているからまあええんじゃね

389
132人目の素数さん[]   投稿日:2013/12/07 23:35:46
「私以上にナイーブな」という意味でしたw
>「Natという無定義述語とNat(x) :⇔ x=0 ∨∃y.(x=y+1 ∧ Nat(y))
>という公理を加える」 という意味
ここはもともとそういう意味で言いましたよ。そしてナイーブな定義のつもりでした。
それに高等なことは好きじゃないんですw
>最初からそう言っている。
そうでしたか。そうは聞こえなかったものですから。あるいは他の人だったかもしれません。

390
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2013/12/07 23:42:20
しかし、ちょっとアレな人でも頑張って長く話せば数学の会話は成立するもんだね

391
132人目の素数さん[]   投稿日:2013/12/07 23:44:21
数学なんてやってないでしょ・・・

392
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2013/12/07 23:45:25
まあ確かに
でも標準モデルは定義できるのか定義できないのかどっちなんだって
算術の超準モデルのこと勉強したら気にはなるよね

393
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2013/12/18 10:43:09
M→_p N_1, M→_ηp N_2 ⇒N_1→_ηp L ,N_2→_p L を満たすLが存在することを証明してください。
ちなみに→_ηpと→_pのチャーチ・ロッサー性は満たすことを仮定してよいです。
お願いします。
コメント1件

394
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2013/12/18 10:45:20
(S_λ)_CLを計算してから
(S_λ)_CL x
を計算したいんですけど、
計算が複雑すぎて途中でわからなくなります。
計算したことのある人ありますか?
できたら計算お願いします。
あるいは他の方法でできたよというひともお願いします。
コメント2件

395
132人目の素数さん[]   投稿日:2013/12/18 16:57:31
何大学の何先生の何という教科書を使った何という名前の講義のレポート問題か、
ちゃんと明らかにした方が答を教えてもらえると思うよ。
コメント1件

396
393[sage]   投稿日:2013/12/18 18:16:18
>393は自力で解けました。

>394は解けません、
計算機とかないですか?

397
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2013/12/18 18:21:24
>395
エスパーうざいよ。
全部外れだしwww

398
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2013/12/18 23:06:07
S_λと書いたら当然それだけで意味は通じるものと思ってるんだよね

399
132人目の素数さん[]   投稿日:2013/12/19 09:55:43
>394
λxλyλz.xz(yz) を標準的な方法でSとKだけのコンビネーターに変換して,
その後ろに x を付けてリダクションせよ,ということかな?
複雑にはなるけれども単なる計算問題なので、
定義を理解して括弧の付き方に注意して慎重に進めればできると思いますが。

400
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2013/12/19 10:25:50
言うのとやるのは大違いなんだよな。
パーサー書くしかないのか・・・
ああ、メンドクセ・・

401
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2013/12/20 08:59:09
例えばΓにaが含まれればΓトaとΓトa/ Γトaxという規則があるとします。
このときaがトに含まれているときΓトa/Γ,bトaを証明しなさいと言う問題があったとするじゃないですか。
するとΓトa/Γトax/Γトaxx/・・・
と永遠に続くだけで証明できませんよね。
むしろΓ,bにaが含まれているから始めの規則によってΓ,bトaが成り立つじゃないですか。
でも/を使わずに導いたのに/をつかってΓトa/Γ,bトaとして良い理由がわかりません。
コメント3件

402
132人目の素数さん[]   投稿日:2013/12/20 09:48:14
何言ってんだ。藪から棒に。

403
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2013/12/20 09:52:30
質問なんですけど・・・

404
132人目の素数さん[]   投稿日:2013/12/20 10:03:26
>401
ごめんな。トは|-のことか?1行目の後半意味わからん。aがトに含まれている、も意味分からん

405
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2013/12/20 10:07:24
aがトに含まれているは aがΓに含まれてるの間違いで
Γトa/ Γトaxのいみは
Γトa
_____
Γトax

の横書きです。

406
132人目の素数さん[]   投稿日:2013/12/20 10:09:45
axって?

407
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2013/12/20 10:12:22
aのあとにxを続けたものです。

408
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2013/12/21 06:55:15
左卜全

409
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2013/12/21 07:57:21
やめてケレ、やめてケレ

410
132人目の素数さん[]   投稿日:2013/12/21 18:51:26
定義がわからないのでまったくの想像ですが、もしかして
証明しなさい、と言われていることは
「Γ|-a から Γ,b |-a を規則で導け」
 ではなくて
「Γ|-a が成り立つならば Γ,b |-a も成り立つことを示せ」
なのでしょうか??

いずれにしても、問題を出した >401 さんがちゃんと定義を書いてくれないと
誰も正確には答えられないと思います。

411
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2013/12/21 22:12:21
シークェント計算か何かのことを言っており、
(1) Γが式の集合で a∈Γ であるなら Γ|-a、
(2) Γ|-a であるならば Γ|-a, x
が成り立っているときに Γ|-a であるなら Γ,b |- a
であることを示したいのなら(1)のみを使って示せば良い。
シークェント計算でシークェントの間にある横線は、
それを使って示すとか使わないで示すという話じゃなくて
(2)の「であるならば」の略記に近いものだと思う。

あと他の人も言ってるけど教科書などに書かれていることを
そのままきちんと人に伝えることができるようになった方がいいと思う。
>401だとかなりエスパーして推測しないと意味が分からない。

412
132人目の素数さん[]   投稿日:2013/12/23 10:38:13
糞論

413
132人目の素数さん[]   投稿日:2013/12/23 13:13:16
ゴミ・ジャップ

414
132人目の素数さん[]   投稿日:2013/12/23 13:29:27
トンスル飲んで消えろ

415
132人目の素数さん[age]   投稿日:2013/12/23 17:19:01
揚げ

416
132人目の素数さん[]   投稿日:2013/12/24 00:04:14
1
2
3
4
5
6
7
8
9
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
0

417
132人目の素数さん[age]   投稿日:2013/12/24 00:20:03
a
b
c
d
e
f
g
h
i
j
k
l
m
n
o
p
q
r
s
t

418
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2013/12/24 09:13:59
SKの定理を演繹定理なしで演繹してとくのはテクニックとかありますか?
コメント1件

419
132人目の素数さん[age]   投稿日:2013/12/24 10:06:31
α
β
γ
δ
ε
ζ
η
θ
ι
κ
λ
μ
ξ
ο
π
ρ
σ
τ
υ
ψ

420
132人目の素数さん[]   投稿日:2013/12/24 15:00:53
来年は国債を空売りし大暴落の年。
大戦争へと突入

421
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2013/12/24 22:16:34
演繹定理の証明は良く分析すると
式変形を実際に書き出せるようになってるから
援用すれば良いんじゃないかと思うけどね
コメント1件

422
132人目の素数さん[]   投稿日:2013/12/25 15:54:58
ShoenfieldのMathematical LogicのP23の問題なのでが

k項真理関数Hが真理関数H_1,..,H_kによって定義可能であるのはHが定義
H(a_1,...,a_n)=・・・
を持つ時である。ただし右辺はH_1..,H_k、a_1...,a_nとカンマ、括弧で作られる。

Hd,nはHd,n(a_1,...,a_n)=T iff 少なくとも一つのiに対しa_i =Tによって定義されそしてHc,nを

Hc,n(a_1,...,a_n) =T iff すべてのiに対してa_i=T

とおくことによって定義される真理関数としよう。
すべての真理関数がH¬とHd,nとHc,nによって定義可能であることを示せ。
(H¬(T)=F、H¬(F)=T)

初歩的な問題ですがわかる方おりましたらよろしくお願いします。
意味はわかるのですが、どう書けばいいのか表記法の点でわからないのです。
コメント1件

423
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2013/12/26 01:34:27
Shoenfieldって内容は割と良いけど表記法が割と古いよね
KleeneとかChurchと現代の本の間くらいの雰囲気
Monkはもう少しだけ現代に近いのかな
コメント1件

424
132人目の素数さん[]   投稿日:2013/12/26 01:52:21
>422
「命題論理のどんな論理式も,
 ¬, ∧, ∨
の三つの論理記号だけで表現できる」
という事実があります。

(1)この事実の証明を何らかの教科書で勉強する。
(2)その証明をShoenfieldの表記法に直す。
で完了です。

425
132人目の素数さん[]   投稿日:2013/12/26 02:20:06
>423
ついでに、あの体系が独特.
ヒルベルト流の一種と言えるが.

426
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2013/12/26 02:39:12
公理の数を少なくするか推論規則を少なくするか、
大抵はどっちかだけどShoenfieldはちょうど間みたいな感じだよね

まあ演繹定理証明して完全性定理示したら後はどの体系でも大差ないが

427
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2013/12/27 09:05:56
(φ∨ψ)∧(φ∨χ)├_HM φ∨(ψ∧χ)
がどうしても解けません。
どうやってやるのか教えてください。
コメント2件

428
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2013/12/27 13:09:33
自己解決しました。

429
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2013/12/27 13:20:33
とおもったら解決してませんでした。

430
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2013/12/27 17:47:13
やっぱり自己解決しました。

431
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2013/12/27 17:49:03
とおもったら解決してませんでした。
コメント1件

432
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2013/12/27 17:50:26
いや解決しました。
むしろこんなに簡単なのに
3時間以上考えても解けなかったのが不思議なくらいです。

433
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2013/12/27 17:56:37
やっぱり解決してませんでした。

434
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2013/12/27 18:23:44
>431,433は偽者です。
完全に解決しました。

435
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2013/12/28 09:31:29
やっぱり解決してませんでした。
お願いします。

436
132人目の素数さん[]   投稿日:2013/12/28 10:57:33
├_HM の定義を明示してくれないと答えようがありません。

勉強を始めたばかりの人は自分の読んでいる本の記述が絶対に見えるかもしれませんが、
論理学の業界では本によってテクニカルタームの定義が異なることが多いんです。

437
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2013/12/28 11:08:47
(S)略
(K)略
(DI) a_i→(a_1∨a_2)
(DE) (a→b)→ (b→c) →(a∨b)→c
(CI) a→b→(a∧b)
(CE) a_1∧a_2→a_i
(MP)
これでいいですか?
あとは量化子の規則なんで関係ないと思います。

438
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2013/12/28 11:10:58
[訂正]
(S)略
(K)略
(DI) a_i→(a_1∨a_2)
(DE) (a→c)→ (b→c) →(a∨b)→c
(CI) a→b→(a∧b)
(CE) a_1∧a_2→a_i
(MP)略
これでいいですか?
あとは量化子の規則なんで関係ないと思います。

439
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2013/12/28 13:20:53
難しくないですか?
みんなやってますか?

440
132人目の素数さん[]   投稿日:2013/12/28 15:04:02
├_HM は →, ∨, ∧ だけの直観主義論理のようですね。
質問者は >418 と同じ人かな?
>421 の人が言っていることと同じですが、
まずは自然演繹で証明を書いて、
そこから「演繹定理の証明の分析」を使って
ヒルベルト流の証明を作るのが正解と思う。
コメント2件

441
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2013/12/28 16:02:04
直感主義じゃないんですけど・・・
とりあえず、答え分かったら書いておいてください。
コメント1件

442
132人目の素数さん[]   投稿日:2013/12/28 19:15:12
直感(直観)主義じゃない、なら何なのでしょう?
あなたの読んでいる本ではこの論理のことを何と呼んでいるのでしょう?
├_HM の H は Heyting ?
M は?
コメント1件

443
132人目の素数さん[]   投稿日:2013/12/28 19:24:57
M は Minimal logic の M かな?
つまり記号 ⊥ はあるけれどもこれに特別な意味
(「矛盾からは何でも出る」という ⊥→φ )
を持たせない、というやつ.

444
132人目の素数さん[]   投稿日:2013/12/28 21:19:54
相手する必要なし

445
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2013/12/28 21:23:01
>441
なのこの態度は

446
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2013/12/28 21:35:36
>難しくないですか?
>みんなやってますか?

447
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2013/12/29 09:54:58
>442
予想だけどヒルベルトミニマルではないのかな。
443の云うとおり爆発律が成り立つことを仮定して無いので
直感主義では無いですな。
まあこの問題の性質上パズル的要素が強いんで
IQが低い奴はいくらやっても解けないということですな。

448
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2013/12/29 10:23:15
本人登場

449
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2013/12/30 10:14:04
>427の問題を解いてみたけど諦めた人いる?

450
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2013/12/31 10:11:53
a∨b→φ∨(ψ∧χ)
最後こんな形になりそうなんだけど
a,bが無いから解けないんですよね。

451
132人目の素数さん[]   投稿日:2014/01/01 02:09:43
>427
できたよ
45行あるけど見たい?
コメント2件

452
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2014/01/01 11:54:45
>451
できてないのみえみえだから要らんわ(〜〜)

453
132人目の素数さん[]   投稿日:2014/01/01 13:15:39
>451
15行目と30行目を書いてくれたらあとは自力で行間を埋めます。

454
427[¬¬]   投稿日:2014/01/01 14:16:44
自己解決しました。
ヒントはメール欄です。

455
132人目の素数さん[]   投稿日:2014/01/01 15:44:26
hmで二重否定使うなよw

いま出先だから後で貼るね

456
132人目の素数さん[]   投稿日:2014/01/01 19:52:40
1 (A→(A∨(B∧C)))→(B→(A∨(B∧C)))→(A∨B)→(A∨(B∧C)) (DE)
2 A→(A∨(B∧C)) (DI)
3 (B→(A∨(B∧C)))→(A∨B)→(A∨(B∧C)) MP,1,2
4 B→(A∨(B∧C)) †
5 (A∨B)→(A∨(B∧C)) MP,3,4
6 A∨B ‡
7 A∨(B∧C) MP,5,6

あとは(†)と(‡)の証明

(‡)は簡単
1 (A∨B)∧(A∨C) (Pres.)
2 (A∨B)∧(A∨C)→(A∨B) (CE)
3 A∨B MP,2,1
コメント1件

457
132人目の素数さん[]   投稿日:2014/01/01 19:58:43
(†)からはいたちごっこ

1 (B→(A∨C)→(A∨(B∧C)))→(B→(A∨C))→(B→(A∨(B∧C))) (Ax.S)
2 B→(A∨C)→(A∨(B∧C)) *
3 (B→(A∨C))→(B→(A∨(B∧C))) MP,1,2
4 B→(A∨C) **
5 B→(A∨(B∧C)) MP,3,4

次に(*)と(**)を導出する

ってやってるけど、自分の出した課題が2chに乗ってたら授業妨害だよねw
同業者としての倫理観としてここまでで、質問は受け付けるよ

458
132人目の素数さん[]   投稿日:2014/01/02 09:34:56
こういう問題で盛り上がっていると,論理学って単なる計算問題と思われそうで寂しい.
コメント1件

459
427[sage]   投稿日:2014/01/02 09:39:35
>456
ありがとございます。
参考にします。

460
132人目の素数さん[]   投稿日:2014/01/02 16:51:10
>458
こういう計算がスラスラできる者通しの会話だと思うと発言に厚みが生じる。

461
132人目の素数さん[]   投稿日:2014/01/02 16:56:48
アイデアはこれ→>440なんだよね

計算問題だと思われるのはさすがに嫌だけど
こういうのを簡単に構成できるような人じゃないと
論理学に向いてないよね

462
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2014/01/02 17:57:19
どっちかというとこういうごちゃごちゃした計算は
寧ろ数学の他の分野には良くあるけどロジックには
少ないというイメージだけどな

あとこういう計算をすらすらできることとロジックの能力は
必ずしも関連しないと思う
前原昭二が講義するときも、この種の計算はノート見ながら板書してたらしいし
コメント1件

463
132人目の素数さん[]   投稿日:2014/01/02 20:08:06
>462
計算なんてつっかえつっかえでいいからね
それを板書でやられたらノートを取ってる側は困る

駄目なのは計算もせずに高いレベルの事をしようとする輩

464
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2014/01/02 22:05:58
いま新版Kunen読んでるけど、第一章が
ほとんど知ってることを長々と繰り返すからダルい

まあ、後で大事になるのを見越して
冪集合の公理と置換公理がどういう風に使われるのか
割と緻密に分析してたりもするから面白いけどね

一方でKoenigの補題とかはどの入門書にも載ってるから
証明省略されたりしてる

465
132人目の素数さん[]   投稿日:2014/01/04 00:19:53
いきなりすごく下がっているけどなぜ?

466
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2014/01/04 00:34:43
共終数で挫折したね
それ以来集合論には触れていない

467
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2014/01/04 00:37:13
あれは使ってるうちに慣れてくしかないと思うよ

468
132人目の素数さん[]   投稿日:2014/01/04 02:53:19
数学基礎論・数理論理学により適性を持っている人が持っている特性は、プログラミングが好きであるとともに、得意であることは含まれますか。

469
132人目の素数さん[]   投稿日:2014/01/04 03:07:08
プログラマーに含まれる人が持っている特性は、数学者に含まれる人が持っている特性と違いがあるような気もします。
プログラマーが持っている雰囲気は、数学者が持っている雰囲気と違いがある気がします。
数学者は学者であるとします。すると、プログラマーは技術者であるとか、実験を補助、支援する職員という気もします。

470
132人目の素数さん[]   投稿日:2014/01/04 03:30:46
数学基礎論・数理論理学を研究することの範囲に、記号の集まりを論理操作することが含まれるとの主観的な印象を持っています。

また、仮に特定の手段によって記号の集まりを論理操作に基づいた文で電子計算機に入力して実行していくことがプログラマーの仕事や作業だとしたら、
数学基礎論・数理論理学により適性を持っている人が持っている特性は、プログラマーやプログラマーに近い人が持っている特性と似ていると思いました。
記号の集まりが並んでいいる、数学基礎論・数理論理学の本から受ける印象は、プログラマーが電子計算機に入力して実行する文から受ける印象と似ていると思いました。

他方、そのプログラマーでないと、その文を電子計算機に入力して実行し、それを実現できないことがあるとのエピソードも見聞します。
そうすると、プログラマーのプログラミングには、技術者や、実験を補助、支援する職員が持っている特性を超えた、学者の要素が存在する場合もある気がします。
プログラマーは学者であるのでしょうか。数学者は学者であるのでしょうか。

数学者もプログラミングをして電子計算機を利用することもあるそうです。ただ、そうだからといって、数学者はプログラマーであるとの文を記述してみましたが、
その文から受ける印象は、その文には誤りが含まれているとの印象です。

471
132人目の素数さん[]   投稿日:2014/01/04 06:54:29
仕事の内容その他の職務に属する作業や行動の観点から見てみて、学者とプログラマーとは、違いがあると思います。
もっとも、両者は同じ部分もあると思います。

プログラマーに類似した特性を持っていない学者が、プログラマーに類似した特性を持っているが前者の学者が持っている特性を持っていない学者や、プログラマーを、
技術者や、実験を補助、支援する職員と、同じように取り扱うのは、どこか間違っていると思いました。

以下の本を読んだとき、わたしは、プログラマーの作業や仕事を具体的に実行できる者を、とても尊敬しました。
人は自分ができることだけを評価するものである。この文を読めば、誰もがそのとおりであると思うかもしれません。ただ、わたしは、本当にそう思いました。

アルゴリズムが世界を支配する (角川EPUB選書) [単行本] クリストファー・スタイナー (著), 永峯 涼 (翻訳)

みなさまはどのように思いますか。

472
132人目の素数さん[]   投稿日:2014/01/04 11:04:32
数学者とは、
たとえば以前に挙げられた(φ∨ψ)∧(φ∨χ)├_HM φ∨(ψ∧χ)といった
具体的な計算が単に出来るだけではなくて,
このような計算を一段高い所から論じて
メタな立場での未知の性質を明らかにする人でしょう.

プログラマーの定義が,単にプログラムが書ける人だととすると
それは「単に計算が出来る人」と同じで学者とは言えないと思います.
コメント1件

473
132人目の素数さん[]   投稿日:2014/01/04 13:04:02
なるほどでした。簡潔かつ明確で、平明かつ少しでも具体的な例を含む、品のある解答を示していただき、ありがとうございました。そのほかの皆さんの解答がありましたら、お教えください。

474
473人目の素数さん[sage]   投稿日:2014/01/04 20:04:38
>472
アルゴリズムが世界を支配する (角川EPUB選書) [単行本] クリストファー・スタイナー (著), 永峯 涼 (翻訳)は駄本としか思えません
世界を支配しているのは希望を持続し続けようと必死にもがいているあなたや私の七転八倒だと思いますよ
もし数理論理学なりプログラミングスキルなりがその七転八倒の戦場になっているにしても
戦場自身あるいは戦場の部分的あれこれが世界を支配したりはできません
たぶんね(〜〜)

475
132人目の素数さん[]   投稿日:2014/01/04 20:14:13
age

476
132人目の素数さん[]   投稿日:2014/01/07 01:29:26
下がってるね

477
427[sage]   投稿日:2014/01/07 09:15:05
>440
ありがとうございます。
その方法でやったら簡単に解けました。
逆に矢印系の問題はその方法のほうが難しいことが分りました。
自然演繹は公理しか使えないから長くなりますね。
横線の横に定理名を書いて省略するのってありですか?

478
132人目の素数さん[]   投稿日:2014/01/10 21:22:50
今年モデル論やる授業ないかな

479
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2014/01/11 00:10:16
>自然演繹は公理しか使えないから長くなりますね。
推論規則の書き間違いかな?

480
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2014/02/06 01:44:08
完全性定理を、「Σ^0_1文を表現可能なΔ^0_1理論は決定不能」のように
簡潔な表現で表すとどうなるか教えてください。

481
132人目の素数さん[]   投稿日:2014/02/08 08:38:06
恒真な論理式全体の集合はRE。
(注意:REは Recursively Enumerable だが、CE (Computably Enumerable)と呼ぶ人も多い)

482
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2014/02/08 09:10:08
いやいやおかしいだろそれ

483
132人目の素数さん[]   投稿日:2014/02/08 11:59:24
まず正確に言うと「一階述語論理の恒真な論理式のゲーデル数を集めた集合がRE」。

完全性定理が示しているのは次の二つの論理式集合が一致する、という事実。
 (1)恒真な論理式を全部集めた集合。
 (2)論理体系(自然演繹とかシーケント計算LKとか)で導出できる論理式を全部集めた集合。
このうち(1)はパッと見REではない(恒真の定義は「すべての解釈で真」なので)。
しかし(2)の条件は「それを結論とする証明図が存在する」なので、これはRE。

484
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2014/02/08 13:44:54
それだけでは「完全性定理」とは言えない
コメント1件

485
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2014/02/08 19:15:51
論理式全体の集合もREですから
コメント1件

486
481, 483[]   投稿日:2014/02/08 20:05:24
>484
はい、これだけでは完全性定理とは言えないですね。
「Σ^0_1文を表現可能なΔ^0_1理論は決定不能」に匹敵する簡潔な表現を完全性定理に対して試みたものです。

>485
論理式全体はREどころかRecursive(計算可能)です。
ここでのポイントは
「恒真な論理式【だけ】を全部集めた集合」はパッと見REでないのに、
「論理体系で導出できる論理式【だけ】を全部集めた集合」は明らかにREである、
という点です。

487
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2014/02/08 21:12:35
あと出しカッコ悪い

488
480[sage]   投稿日:2014/02/10 07:34:14
「一階述語論理(を表す記号)は完全(決定可能)」と言うことはできないのですか

489
132人目の素数さん[]   投稿日:2014/02/10 17:53:40
判定するアルゴリズムは無い。

490
132人目の素数さん[]   投稿日:2014/02/10 22:53:11
>> 488
たぶんここで使っている「完全(決定可能)」とは、
判定アルゴリズムがある、という意味の決定可能ではなく、
どんな閉論理式もそれ自身がその否定が証明できる、という意味の決定可能だと推測します。
しかしいずれも意味としても、
一階述語論理で恒真な(証明可能な)閉論理式全体は「決定可能」ではありません。
コメント1件

491
132人目の素数さん[]   投稿日:2014/02/10 22:57:40
【訂正】
>490
誤>> ...それ自身がその否定が証明できる、...
正>> ...それ自身かその否定が証明できる、...

492
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2014/02/11 15:05:22
なんでこの赤い丸で囲んだところのように定義するのか分かりません

493
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2014/02/11 15:06:09
http://i.imgur.com/yzhDwuv.jpg
P_nでn番目の素数です

494
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2014/02/11 19:06:01
>493
お前は質問を論理的に説明する方法を勉強しろ。
質問を理解するために必要な情報が全然足りない。
コメント1件

495
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2014/02/11 19:56:45
>494
別にお前は答えなくていいよ

補足すると
ゲーデルの不完全性定理について

IsformSeq(x)は 「xは基本論理式から組み上げた論理式の列」
len(x)は「列xの長さ」
x・yは列xと列yを連結させた列

496
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2014/02/11 20:00:02
まあどうせこんなとこで聞いても答えは出ないだろうけど

497
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2014/02/11 20:00:03
論理式の構成列 n の最後の項が x とする
(無駄な項を省いて)構成列をツリー状に配置すれば
len(n’)≦len(x)^2 となるような構成列 n’がつくれる(理由は後述する)ことがわかるので
初めから len(n)≦len(x)^2 を満たす n を選んでおく

また、無駄を省いたことで、構成列 n には x の一部である論理式しか現れないとしてよい

n = [P1]^m1×…×[Plen(n)]^mlen(n) ≦ [P1]^x×…×[Plen(n)]^x ≦ { [Plen(x)^2]^x }^len(x)^2 = [Plen(x)^2]^xlen(x)^2



構成列をツリー状に配置すれば
len(n’)≦len(x)^2 となるような構成列 n’がつくれる理由:

構成列 n を元にして論理式 x を構成するツリーをつくる(ツリーの根に当たるのが x である)
このツリーには x の一部である論理式しか現れない
ツリーを遡るほど論理式は短くなるので、ツリーの高さは len(x) 以下
ツリーの葉(最も基本的な論理式)の個数も len(x) 以下
したがって、このツリーに現れる論理式の個数は len(x)×len(x) 以下である
逆にこのようなツリーを元にして x の構成列 n’がつくれる
コメント1件

498
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2014/02/11 20:46:15
>497
ありがとなす!
あと申し訳ないんだけど、len(n)のn番目の要素をxとすると、その要素は一つだからlen(x)って1になると思うんだけど…
よくわからない

499
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2014/02/11 20:58:13
nは  論理式が  len(n)個並んだ列

xは  記号が  len(x)個並んだ(論理式と呼ばれるタイプの)列

500
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2014/02/12 10:46:17
喪毎ら、何を呆けたこと議論すてんだ。こんバカタレが。w

http://www.age.ne.jp/x/eurms/ にある、エムシラ御大の本を読んでみろ、目から鱗だぞ。

501
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2014/02/12 11:37:07
はいはい。自分の巣にお帰り。

502
132人目の素数さん[]   投稿日:2014/02/12 17:15:05
御大は、生きてるうちから、伝説の人。

503
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2014/02/14 05:03:23
どうも、M_SHIRAISHI氏(つーか、EURMS)の理論のほうが、全面的に、正しいようだな。


例えば、【対偶律】は、従来は (P⊃Q)⊃(¬Q⊃¬P) で表わされるもののこと
と考えられていたのだっただが、これは、どうやら、誤りだったようだ。

そして、M_SHIRAISHI氏の言う[P(x)⇒/x/Q(x)]⇒/p,q/[¬Q(x)⇒/x/¬P(x)]
こそが【対偶律】を正しく捉えてたものと考えられる。

M_SHIRAISHI氏(たち?)の主張する Logical Reformationは、おそらく、世界を
席巻することとなろう。


http://www.age.ne.jp/x/eurms/Ronri_Kaikaku.html
コメント1件

504
Mujina2[sage]   投稿日:2014/02/14 08:27:38
>503
おいおい(〜〜)

505
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2014/02/14 16:12:20
前原昭二 第2不完全性定理の内容的解釈
https://www.jstage.jst.go.jp/article/kisoron1954/20/3/20_3_143/_pdf

上のpdfでは第2不完全性定理を例にとり、論理式の表す「内容」が真偽でも証明可能性でも捉えられないことを指摘しています。
すなわち…

(形式的体系が無矛盾という仮定の下で)
「xは1=2の証明のゲーデル数ではない」を形式化した論理式P(x)と、論理式x=xは、ともに恒等的に真な命題関数を表すが「内容」は異なる。

第2不完全性定理によると∀x(P(x)⇔x=x)は証明できない。
この事実を手掛かりに
  A⇔Bが証明できるとき論理式AとBの「内容」を同一視する
と試みても、A⇔Bが証明できるかどうか(AとBが同じ「内容」かどうか)は形式的体系に依存することになり、不適切である。



第2不完全性定理は、「1=2は証明できない」という「内容」を表す論理式のうちの一つが証明できない、と主張するに過ぎない。
「内容」そのものが証明できないことを示すのが理想であり、そのためには、
原始帰納的述語を全称量化した「1=2は証明できない」という「内容」を、どんな種類の論理式と関連付けるべきかが課題である。
と、筆者は締めくくっています。

この問題の(部分的にでも)解決を試みた文献がもしありましたら、お教えください。
コメント1件

506
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2014/02/14 19:08:27
第二不完全性とか言わなくても
A→AとA→(A∧A)と[(A→B)→A]→Aはどれも真だけど意味が違う訳で。

Loebのderivability conditions(可導性条件、導出可能性条件)が
最初に文献に出て来たのがいつかは分からないけど、
少なくともHilbert Bernaysには既に出て来るし、
最近の教科書には大抵載っている。
ロッサーの可証性述語の「自分より小さなゲーデル数の証明と矛盾しない」、
みたいな余計な条件によってバイパスされて"無矛盾性"が出て来ないための条件だけど、
これで或る程度用は足りてるんじゃないかな。
前原先生はたぶんこれもあまり知らなかったんじゃないかな、と思う。

真偽値とかと違う意味での命題の内包的意味とは何か、というのは
数学よりも哲学よりの話になってくると思う。論理学の話であるのは確かだけど。
コメント1件

507
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2014/02/14 19:33:46
フェルマーの最終定理の証明はスキームの圏などを扱うから
その証明がZFCに収まらないかもしれない、とかいうのは
典型的なロジックに対する無知だよね。

508
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2014/02/14 19:39:49
ACを使うから云々みたいなのも当時見た
コメント2件

509
132人目の素数さん[]   投稿日:2014/02/14 19:48:45
ここにいる人達は圏論的論理学はどう思ってんの?
コメント1件

510
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2014/02/14 20:42:22
>506
回答ありがとうございます。
その三つの可導性条件を、「証明できる」という内容を表す論理式が持つべき条件、と見なせばいいわけですね。
かなりスッキリしました。

511
132人目の素数さん[]   投稿日:2014/02/14 20:47:07
>505
そんなに深く考えないでも、命題の真偽値とその意味内容とは別物だという事は
当たり前の事じゃないの?それらが同じだとすれば、命題には2種類の意味しか
ないという事になっちゃうと思うが?

512
506[sage]   投稿日:2014/02/14 23:24:44
まあ一見当然なんだけどそこを敢えて
命題の外延的意味、Bedeutung, meaningはその真理値だとみなした事が
Fregeの偉かった所だったりする。

まあそれ以後の言語哲学では命題の(内包的)意味Sinn, senseを理解するというのは
その命題がどういうときに正しくてどういうときに
間違っているかを理解することだ、とかそういうことも言われるけどね。
どっちかというと論理学と言うか言語哲学に近いか
コメント1件

513
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2014/02/14 23:29:10
>509
圏論は全然知らないからもうすぐ出るという噂の
圏論の入門書に期待してる

まあAwodeyも持ってるんだけど読む時間が無い
いつかはSheaves in 〜読みたいなあ、とは思う
コメント1件

514
132人目の素数さん[]   投稿日:2014/02/15 11:09:00
>508
まあ、命題の「意味」と言ったら命題そのもの(内包的意味)の事であって、
真理値は文字通り、命題の「(真偽についての)値」に過ぎない、
というのが普通の言葉使いであることは、じいちゃんばあちゃんに聞けばわかる。
それを「(外延的)意味」と言ったりするから、余計な哲学的問題を作って
しまうのじゃないかね?
年俸20億円というのは、田中将大という人間そのものじゃなく、その属性値の
一つに過ぎないよね。

515
132人目の素数さん[]   投稿日:2014/02/15 11:11:21
>508じゃなく>512だった

516
506[sage]   投稿日:2014/02/15 13:30:57
もう数学の話じゃないからこのレスまでにするけど、
「4-2」と「1以上の最小の素数」は内包的なsense(日本語では意義と訳す)は違うけど
述語論理の教科書に出て来る普通のTarski的な意味論を考えたら
その解釈は同じになる。意味論的に同じだということは、その意味は同じだと言っていることになる。

そもそも外延的意味と内包的意義では外延的な意味の方が数学的には扱いやすく、
Fregeがこういう区別を持ちこんで外延的意味の方を主に扱ったから
現代的な記号論理学が発達した訳で、その結果として数理論理学が発達した訳で、
外延的な意味なんか余計な哲学的問題だ!とは言いにくいと思う。
コメント1件

517
132人目の素数さん[]   投稿日:2014/02/15 14:57:47
>516
オレもこれでやめるが
>外延的な意味なんか余計な哲学的問題だ!とは言いにくいと思う。
ちょっと誤解があると思う.オレが言ったのは
「外延的な意味」という言葉使いが不適切だ、という事だった。
それから、「4-2」と「1以上の最小の素数」は内包的にもほぼ同じsenseの
ようにも思う。少なくとも、「内閣総理大臣」と「安倍晋三」程の内包的意味の
違いはないね。

518
132人目の素数さん[]   投稿日:2014/02/15 15:34:15
>圏論は全然知らないからもうすぐ出るという噂の
だれが書いてるの?

519
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2014/02/16 04:37:50
圏論(category theory )なんて、トンだお笑い草だ。w
コメント1件

520
132人目の素数さん[]   投稿日:2014/02/16 08:25:18
>519
どんなとこが?
コメント1件

521
132人目の素数さん[]   投稿日:2014/02/16 08:58:27
>513
詳細希望

522
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2014/02/16 10:24:04
>520

material implication の上に構築された理論など「根無し草」ってことさ。

Goedelの、いわゆる“不完全性定理”とて同じ。w

523
132人目の素数さん[]   投稿日:2014/02/16 10:50:22
>material implication の上に構築された理論
もう少し詳しく。
それに、それが圏論の本質的特徴なのか?
そして不完全性定理が根なし草とも思わないんだが。
コメント1件

524
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2014/02/16 21:41:55
>523
>不完全性定理が根なし草とも思わないんだが

その“証明”の冒頭で、P&amp;(P⊃Q)⊃Q であるとして、B_Russell の material implication
を平然として使っている。

525
[sage]   投稿日:2014/02/16 21:46:48
P&amp;(P⊃Q)⊃Q は、P&(P⊃Q)⊃Q の入力ミスです。御免なさい。

526
132人目の素数さん[]   投稿日:2014/02/19 22:09:32
こういう勘違いしてる奴って多いよなw
コメント1件

527
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2014/02/20 08:27:55
>526

勘違いしてんのはおまえのほうだ。wwww

528
132人目の素数さん[]   投稿日:2014/02/20 09:52:03
どういう勘違いの話をしてるんだ?

529
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2014/02/20 09:53:13
material implication の paradox

530
132人目の素数さん[]   投稿日:2014/02/20 18:50:13
不完全性定理の証明の中でP&(P⊃Q)⊃Qが使われていたら、どうまずいのだ?
そんなの、数学の中では普通に使われていると思うが。
コメント1件

531
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2014/02/21 06:23:44
>530
>そんなの、数学の中では普通に使われていると思うが。

おまえ、アホちゃうか? (^o^)

例えば、高木貞治(著)『解析概論』での定理の証明に
、P&amp;(P⊃Q)⊃Qが 使われている例があったらあげてみろ。
コメント1件

532
132人目の素数さん[]   投稿日:2014/02/21 15:06:40
、高木貞治(著)『解析概論』での定理の証明に、P&amp;(P⊃Q)⊃Qが 使われている例が
一つでもあったらあげてみろ。w

533
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2014/02/21 15:57:32
>531
大雑把にP&amp;(P⊃Q)⊃Q等と言っているけど、
PとQに何か条件を課さなくていいのかい?

534
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2014/02/21 19:30:26
P&(P⊃Q)⊃Qは形式的定理の 一般形(PとQに何も条件を課さない)としては 実質含意のパラドックス的状況を含むけど、
不完全性定理等の 具体的な定理 の証明のために、この形式的定理を 実際に使う場面では 実質含意のパラドックス的状況は含まない。
もちろん、メタレベルの証明でも含まない。
実際に数学の証明を行うときはPとQには必ず内容の関連があるのだから。

535
132人目の素数さん[]   投稿日:2014/02/21 19:50:44
どうなん? >531

536
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2014/02/21 21:02:46
P&amp;(P⊃Q)⊃Q は P&(P⊃Q)⊃Q の入力ミス。 P⊃Q は 〜PvQ と同義とするのが
実質的内含(material implication) で、この解釈は、古代ギリシアの昔から論議を
呼んできた難問中の難問!

537
132人目の素数さん[]   投稿日:2014/02/22 10:53:53
>古代ギリシアの昔から論議を
そういうのは、アキレスと亀と同じく、大体が問題のための問題、
つまり単なる哲学パズルなんだよな
コメント3件

538
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2014/02/22 23:21:39
それ数学の話じゃないから
コメント2件

539
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2014/02/23 07:38:11
>537
>538

バカモン! \(-o-)/

Goedel は Whitehead & Russell の "Principia Mathematica" に基づいて、
”不完全性定理”を得たのだ。

そして、それらの根っこには、material implication の困難が在るのだ。
コメント1件

540
Mujina2[sage]   投稿日:2014/02/23 11:02:21
>539
>Goedel は Whitehead & Russell の "Principia Mathematica" に基づいて、
”不完全性定理”を得たのだ。
って『基づいて』じゃねーだろ どんなDQN向け入門書一冊で書き込みしてるんだよ(〜〜)
コメント1件

541
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2014/02/23 11:29:04
エムシラちゃんは隔離スレがあるんだからそちらだけで書くようにね

542
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2014/02/23 11:55:26
>540

"On Formally Undecidable Propositions of of Principia Mathematica And Related Systems"
by Kurt Goedel

543
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2014/02/23 12:11:36
>538
>それ数学の話じゃないから

何ばボケちょるか(爆笑

メタ数学の話をしてんだぞ。

544
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2014/02/23 12:19:19
>537
>そういうのは、アキレスと亀と同じく、大体が問題のための問題、
>つまり単なる哲学パズルなんだよな

いいや違(tsuga)う。

545
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2014/02/23 14:42:52
また、ハゲがなんか騒いでるな

https://twitter.com/Eukie_M_SHIRAIS

ゲーデルの不完全性定理に、実質含意の問題など関係ない

対角化補題の証明も知らん文系出身のハゲに
不完全性定理が理解できるわけないだろw

>私は、学生時代、経済学や、マネジメント・サイエンス、電算機etcを専攻し、
>物理を専攻したのではないのですが、物理は高校のときから得意でした。

546
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2014/02/23 19:02:06
P⊃Q ⇔ 〜PvQ
としてなんか問題あるんだっけ?

547
132人目の素数さん[]   投稿日:2014/02/23 19:44:15
問題ないよ。
material implication が変だ、というのは
数学での言葉遣いと数学以外での言葉遣いを混同して混乱しているだけだよ。
自分勝手な言葉を創造することは自由だけど、他人には通じないよね。
コメント1件

548
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2014/02/23 22:25:34
>547 etc,

コチ向かば
ソチが呆けてる
春の日だまり


詠み火と知らず 圖

549
M_SHIRAISHI[eurns@hb.tp1.jp]   投稿日:2014/02/24 08:38:35
"material implication" とは B_Russell の“造語”であって、古代ギリシアには概念は在ったが
ことばは無かった。(^o^) 

古代ギリシアでは、フィロンというメガラ派の学者が唱えて大論争となったことが
今に知られている。

550
Mujina2[sage]   投稿日:2014/02/24 11:29:26
誰だ?呼ぶなよ(〜〜)ってか御大ようこそ
ご本人っすね?やーちょっととくしたきぶん
今EudoxosとMelissusやってるんすけど
なんか推奨文献とかうpして戴けませんか?
勝手なリクですんません<(__)>
コメント1件

551
132人目の素数さん[]   投稿日:2014/02/24 23:10:22
>550

コチ向かば
ソチも呆けちょる
春の日だまり


詠み人知らず 圖
コメント1件

552
132人目の素数さん[]   投稿日:2014/02/25 02:16:15

553
M_SHIRAISHI[]   投稿日:2014/02/25 05:36:46
辞書をAから順に覚えるは愚の骨頂!

勝海舟は同じ辞書を2度までも直筆して覚えたのだ。
約100年前の日本人にできたことが現代ないしは
未来の日本人にできないわけがあろうか!?!

おなじまま食って何処(toko)つがう! 
世界に冠たる★日本食★をだ!!!

554
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2014/02/25 11:13:11
ベルトランの逆説に関しての議論で、M.Shiraishi氏が自爆したようなこと
を書いているヤシがいるけど、そいつって、マツシン並みの間抜けだよな(w

M.Shiraishi氏は、「ベルトランの逆説に関しての従来の通説は間違いである
ことに気づいた」と言い出し、「この逆説は、確率の従来の定義が間違って
いたことによるものだ」として、議論を決着させている。

自爆どころか、20世紀の確率論の基礎を覆す、凄い発見というべきだろう。

http://www.age.ne.jp/x/eurms/Bertrand.html

555
Mujina2[sage]   投稿日:2014/02/25 13:21:54
>551
圖 ? 圖(ず)だよね圓(えん)じゃなくて
Gcc1εってことか?よーわからんzzz(〜〜)
コメント2件

556
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2014/02/25 18:41:08
>555

悩む無かれ。万事、楽しむべし。

557
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2014/02/25 21:02:50
入力ミスしたっす。(^o^)

悩む勿れ。万事、楽しむべし。クイズを解くは楽し。
コメント1件

558
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2014/02/25 21:20:03
>555 --->557
>圖 ? 圖(ず)だよね圓(えん)じゃなくて
>Gcc1εってことか?よーわからんzzz(〜〜)

ワロタYo

559
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2014/02/26 11:19:52
>537
>そういうのは、アキレスと亀と同じく、大体が問題のための問題、
>つまり単なる哲学パズルなんだよな

いいや違(tsuga)う。 断じて違う! Thus truly truly We tell YOU !

560
Mujina2[sage]   投稿日:2014/02/26 16:36:47
流れがよめんではないかShIt
誰かクイ圖とパ圖ルを混同してるだろ
日本語では別物だからな
それから つがうどがいっでるしど(559)
ゲーデルの1931年の論文は英訳だしもとの独語のは・・・
あれ?わしレスの相手まつがえでるがも つがっでだらすまねな

561
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2014/02/27 00:33:49
ZFCで理論Tに対して普通の集合のモデルMが存在したら
CON(T)が言えるのに、Tに対して特定のクラスモデル(整礎集合WFとか構成的集合Lとか)が
存在してもCON(T)が言えないのはどうしてですか?
健全性定理の証明のどこに引っ掛かるのか分からず悩んでいます。
コメント3件

562
M_SHIRAISHI[eurns@hb.tp1.jp]   投稿日:2014/02/27 13:21:51
>ゲーデルの1931年の論文は英訳だしもとの独語のは・・・
>あれ?わしレスの相手まつがえでるがも つがっでだらすまねな

"Kurt Goedel Collected Works" Volume I Oxford University Press

pp.144〜194
コメント1件

563
Mujina2[sage]   投稿日:2014/02/27 21:10:10
>562
あ すまねす
そりより561さの話おもしろそだがらながれそっじえもっでぐね(〜〜)

564
M_SHIRAISHI[eurns@hb.tp1.jp]   投稿日:2014/03/01 05:40:56
SeiSei_DouDou to Jitstu_Mei wo nanorei Kon Бакамон!
コメント2件

565
M_SHIRAISHI[eurns@hb.tp1.jp]   投稿日:2014/03/01 05:51:48
21世紀を夢見れる人々は幸せである。新世紀は彼らのものである。

反対に、20世紀に囚われているひとは惨めである。惨敗に次ぐ惨敗が待っている。

566
132人目の素数さん[]   投稿日:2014/03/01 10:37:15
>>

三々七拍子!(San_san_nana ByohShi !)Freeh Freeh TOHOKU,
Sore ! Fre Fre TOHOKU, Fre Fre TOHOKU Fre Fre TOHOKU

567
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2014/03/01 10:42:43
もう一度!

三々七拍子!(San_san_nana ByohShi !)Freeh Freeh TOHOKU,
Sore ! Fre Fre TOHOKU, Fre Fre TOHOKU Fre Fre TOHOKU

568
132人目の素数さん[]   投稿日:2014/03/01 11:17:27
>561
「CON(T)が言える」ってどういうことなのかを
追求(定義?)する必要があるんじゃない?

569
561[sage]   投稿日:2014/03/01 15:50:50
ごめんなさい、教科書を先に読み進めたら
H(κ) |= Γであるとき、H(κ)が集合であることが言えたときと
言えない(クラスであることしか分かってない)ときに
CON(Γ)がどういう意味で帰結したと言えるのかに違いがある、
的な話がきちんと説明されてました。ほぼ>561の答えそのものですね。

先に自分で疑問を持っていろいろ考えて調べたりしたのは無駄じゃなかったですけど。

そもそもCONがメタレベルの言明か、集合としてコードされた
論理式に対応する集合論内のオブジェクトなのか、違いがあるわけですね。

570
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2014/03/01 16:05:38
上の方で、RobinsonのQで第二不完全性定理が示せる、という
お話がありましたけど、Qより弱いRでも第二不完全性定理は示せますか?
ご存知の方教えてください。
コメント1件

571
1[sage]   投稿日:2014/03/01 17:00:55
>1のテンプレを書いたものですけど、今思えば
>素朴集合論における逆理の解消などを一つの動機として
って専門外の人には分かりやすいしヒルベルトの心中に限って言えば
割と正しいかもしれませんが、実際は数学史的には偏った見方ですね。

「集合論・解析学等の数学の基礎付けなどを動機として」
の方が良い気がしてきました。

http://www.shayashi.jp/HistoryOfFOM/papers/gendaishiso.html
>このとき、カントールにはパラドックスという意識はなく、 肯定的にうけとめ集合論最大の発見とさえ書いている。
Cantorは、内包公理が矛盾したとき、理論の破綻と考えるのではなく、
内包公理の否定が導けたと言っていて、実はかなり現代的な理解をしている訳です。
尤も与えられた公理と推論規則の集まりが矛盾した時に、どれを間違っているとみなすか、
という問題はありますし、Quineみたいに
「どれか一つを選ぶ基準なんて全く無いよ」と明言する論理学者も居ますが。
http://www.academia.edu/1703202/_ も参照。

http://taurus.ics.nara-wu.ac.jp/staff/kamo/shohyo/logic-2.html
の「パラドックス史観」の話も参照。
確かに不完全性定理が否定的な残念でガッカリな結果とだけ思われるのに
繋がるとしたら大変困ったことです。ゲーデル自身もロジシャンも、
不完全性定理を最初に勉強した時は「こんな上手い良い定理が成り立つのか!」
と思った人が多いはずです。
コメント1件

572
Mujina2[sage]   投稿日:2014/03/02 07:34:15
>564
おりがまつがっでだ ふんどにすまね
>561
自己解決されたようで よかった 今後の書き込みにも期待してます
>571(1?)
thx テンプレへの言及がg.j. 先走りかもしれませんが次スレの『テンプレrel1.01』を
めぐってここで暫く討論してみればどうでしょうか鉄気味のほうへ脱線したらそれはそのときまた
改めて対処できると思います
>570
できれば『強・弱』の570さんなりの理解をkwsk(〜〜)
質問に質問で返すのが お約束ですので

573
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2014/03/02 08:23:39
572 :Mujina2:2014/03/02(日) 07:34:15.41
>564

> おりがまつがっでだ ふんどにすまね

おはん、言ってることとやってることとが矛盾しているのに
気がついていないのか?
コメント1件

574
Mujina2[sage]   投稿日:2014/03/02 08:39:19
>573
確かに(〜〜)
まあ半分気づいてるんだが2chだとついなあ たぶん人格が破綻しかけてるんだ
笑って許してとは言わんが 生ぬるくスルーしてくんねーかな

575
132人目の素数さん[]   投稿日:2014/03/07 03:38:50
公理系に矛盾が生じたら既存の定理は全部使えなくなるの?
コメント2件

576
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2014/03/07 03:48:11
算術の体系に矛盾が見つかったとして
2+3=5は成り立たなくなる、あるいは無意味になると思う?
極端な話と、それと同じことだ
コメント1件

577
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2014/03/07 03:49:06
× 極端な話と、それと同じことだ
○ 極端な話、それと同じことだ

578
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2014/03/07 10:08:24
基礎論の研究はそれ以外の数学の研究と切り離せるとうことでok?

579
132人目の素数さん[]   投稿日:2014/03/07 14:49:51
ネット版のホストみたいなの発見。

イケメンなら稼げるんだろうけど。
話が上手けりゃ稼げるかな。

誰かレポ頼む。
メンガでググると出てくる。

580
132人目の素数さん[]   投稿日:2014/03/07 20:23:45
基礎論を特別視したがる人もいるけど、
整数論が整数を相手にして、グラフ理論がグラフを相手にしているのと同じく
基礎論は「数学」を相手にしてるだけと思う。
つまり研究対象が違うだけでやっていることは他の分野の数学と同じかと。

581
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2014/03/07 21:48:26
>576
もし仮に、算術の体系に矛盾が見つかったら…どうなる?

チョット想像がつかないが、仮定することはできるか、不可能な仮定か、どうだろう?

その場合でも 2 + 3 = 5 が成り立たなくなることはないが、2 + 3 = 6 も真になるな

論理がつぶれても、現実に2コのものと3コのものを合わせると5コになるという
経験則により強固に支持されているので意味を持つが、数学としてはどうなるか?
その場合、現実を数学では記述できない、ということになるかも。

集合論のときは公理系を変えてリカバーできたが
必ずしもリカバーできるつぶれ方ばかりとは限らないのでは?

582
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2014/03/07 22:30:47
算術の公理から矛盾が出たら、集合論同様公理を変えるだけ。その公理がうまくいかなきゃやり直す。
どのみち誰もが納得できる絶対的な無矛盾性証明なんてできないんだから。

583
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2014/03/07 22:43:36
その変える先の公理が存在するかを問題にしている

公理が底をついてしまうこともあるのでは?

584
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2014/03/07 23:06:04
仮に矛盾しても、爆発(A∧¬A)→Bを認めなければ大した問題じゃない

もしも算術が矛盾するようなら、
古典論理を「数学者が現実に行っている非形式的な推論」の近似とすること自体を見直すべきかもね

585
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2014/03/07 23:25:29
そもそも公理系は有限個しかないと証明されてないんだから心配ご無用

586
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2014/03/08 13:40:47
矛盾が出て弱める為に公理を変える時は、その公理から出る適当な定理を公理にする
出る定理は無限だから問題ない
強めるときは決定不能な定理が必ずあるからやはり問題ない

587
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2014/03/08 13:44:51
公理のセットではなく、定理のセットが無限個あるのでないと意味ないと思う
コメント1件

588
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2014/03/08 16:14:43
>公理が底をついてしまうこともあるのでは?
いや、ないでしょjk

589
予言者[sage]   投稿日:2014/03/13 12:28:57
中国共産党独裁政権は、早晩、崩落する。

尚、余はソ連邦(CCCP)の崩壊を、その遥(はる)か昔に予言せり。

論理的必然性が在るのだ。
コメント2件

590
Mujina2[sage]   投稿日:2014/03/13 20:49:50
>589
ふーん数理を現実の地政学にいとも簡単に拡張するのか?
預言と予言との異同をどうやってDefineするのか教えてくれんかのう(〜〜)
コメント1件

591
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2014/03/14 15:35:08
CCCP;Союз Советских 以下省略。

592
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2014/03/14 15:59:51
ロス亜誤だったんだべか、わす、シーシーシーピーってから、何のこと
かさっぱり和漢中田べ

593
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2014/03/14 16:08:10
コチ向かば

ソチが呆けちょる

春の日だまり


詠み人知らず 圖

594
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2014/03/14 16:34:11
さっさと半分売れよ北方領土

595
M_SHIRAISHI[eurns@hb.tp1.jp]   投稿日:2014/03/14 20:07:58
自然数は0から始まらねばならぬ論理的必然性があえる。例を挙げてそれを示せ。
コメント2件

596
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2014/03/14 20:25:09
単なる命名に、論理もクソも無い。
0以上の整数でも、1以上の整数でも、
好きな方を「自然数」と呼べば良いだけだ。
他方は「ビアマグ」とでも呼べばいい。
私は、0以上の「自然数」が好きだが、
それに「論理的根拠」を付けてくるような
馬鹿は嫌い。
コメント3件

597
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2014/03/14 22:57:02
あえるって何?料理の方法的なアレですか?

>596
名前欄に注意
コメント1件

598
132人目の素数さん[]   投稿日:2014/03/15 00:02:02
ソユーズ

599
132人目の素数さん[]   投稿日:2014/03/15 02:26:34
ж

600
M_SHIRAISHI[eurns@hb.tp1.jp]   投稿日:2014/03/15 05:47:43
>595
>596

きみの居る所を、仮に地下一階(=−1階)だと仮定する。
そうした上で、一階だけ昇った階は何階や?

一階か?  No! 0階や。 その上の階が一階(first floor)や。
以下、同様。



>597

御免! 入力ミスしてた。w  ご指摘、ありがとう!

「あえる」を「在る」に修正してお詫び致します。m(_ _)m


# この点、英国(UK)を始めとする国々は正解。 日*米は愚かなり。
                    

601
M_SHIRAISHI[eurns@hb.tp1.jp]   投稿日:2014/03/15 06:11:10
>595
>596

きみの居る所を、仮に地下一階(=−1階)だと仮定する。
そうした上で、一階だけ昇った階は何階や?

一階か?  No! 0階や。 その上の階が一階(first floor)や。
その上の上の階が二階(second floor)以下、同様。

# この点、英国(UK)を始めとする国々は正解。 日*米は愚かなり。
コメント1件

602
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2014/03/15 06:29:33
>601
>その上の上の階が二階(second floor)以下、同様。

その上の上の階が二階(second floor)。 以下、同様。

603
M_SHIRAISHI[eurns@hb.tp1.jp]   投稿日:2014/03/15 07:16:52
>575
>公理系に矛盾が生じたら既存の定理は全部使えなくなるの?

浮き草になる。つまり、論拠を失ってしまうだけのことであって、
偽になってしまうとは限らない。
コメント1件

604
132人目の素数さん[]   投稿日:2014/03/15 07:40:20
浮き草---- 浮いたままのものもあれば、沈んでゆくものもある。

605
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2014/03/15 07:46:33
確率は?

606
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2014/03/15 07:50:45
統計をとってみなw

607
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2014/03/15 10:10:11
>603
数学でいう真実ってすべてアドホックなものだからなあ。
コメント3件

608
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2014/03/15 10:37:21
>607
どういうこと?
コメント1件

609
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2014/03/15 10:40:19
>575
Γ:={φ1, φ2, φ3, ......} が矛盾しているということは
Γ - φn から¬φnが証明できるということ。
どの公理φnが間違っていたか特定したうえで、
φnを証明に使っていない定理は生き残る。

φnを証明に使っていた定理は、
他の公理から証明できれば使い続けられる。
そうでない場合は切り捨てないといけない。

どの公理もどうしても捨てられない場合、
最後の選択肢として公理系は全部残したまま、
論理部分を改変する手もあるけど、これは最後の手段だと思う。

610
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2014/03/15 11:02:31
>608
ナマの事実(有限の記号操作)
前提・仮定(公理や推論規則)
証明されたこと(定理)

結局これだけしかなくて、真理や真実を探し求めてるわけじゃないってこと。
コメント3件

611
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2014/03/15 11:15:19
>610って、例えば
「位数が素数の有限群は巡回群である」
という定理は生の事実でない群論の公理を使うから
真実ではない、と言ってるのに近くない?

哲学者はともかく、数学者にこういうこと言ったら多くが反発すると思う。
コメント2件

612
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2014/03/15 11:24:00
>611
数学は「真実か否か」なんて議論自体をしないだろう。
というか、そういう議論から自由な存在だ。

613
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2014/03/15 11:49:06
>611
「位数が素数の有限群は巡回群である」という主張を
群論の公理が仮定されていない場所で使うのか?
コメント1件

614
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2014/03/15 11:51:23
別に「定理〜〜はこの世における絶対的真理だ」が
数学の命題だなんて言ってる訳じゃないよ。

それに>610でも数学の定理は真理や真実じゃない、みたいなこと言ってるやん。

真理かどうかはどうでも良いと言えば良いけど、個人的には
「素数は無限に存在する」という定理などが、他の科学的な事実の主張に比べて
ad hocだとは全然考えない

615
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2014/03/15 11:54:47
>613
群論の公理は証明不要の自明の真理というよりも、ほとんど
これこれのものを群と呼びましょう、という定義だから
そもそもそれなしに群に関する主張はできない。

またそれを使ったからって、公理の正しさに依存するad hocな真理だ、
というのは無茶だと思う。
コメント2件

616
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2014/03/15 13:38:06
>615
前半は全くその通りだけど、公理の「正しさ」って何だ?

617
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2014/03/15 13:41:56
真理だということは正しいということかと思う

数学の哲学上のかなり極端な立場でもない限り
なんで「位数が素数の有限群は巡回群である」
「素数は無限に存在する」がad hocなのか分からんと言ってるだけ

618
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2014/03/15 14:05:14
そもそも「自然数全体の集合」ですら何か共通の信念を持つことに依存してないでしょ。
その実在を信じない人がレアかどうか、ってのは関係ないよね。
何かを真実と信じることはあっても、その信念を「論拠にして」数学的な結論を導いたりはしないんだからさ。
コメント2件

619
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2014/03/15 15:24:29
>607 ---- >618

結局、M.Shiraishi氏(つーか、EURMS)の言う、”論階”の差に帰着するなぁ〜。

真実や事実は「0階の真理」。 論理学を除く諸科学の法則(真理)は「1階の真理」。

但し、数学的帰納法の原理とか相対性原理 etc. は「2階の真理」。

論理法則は、すべて、「2階の真理」。
コメント1件

620
[sage]   投稿日:2014/03/15 15:30:20
「3階の真理」もあっでよう!(w

621
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2014/03/15 15:32:34
>619
そういう分類自体を絶対視してね?
そういうのは受け入れ難いんだよ。

その時その時の議論に応じて前提条件を変える。
変えていいんだ、ってのが「アドホック」の意味。
コメント1件

622
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2014/03/15 17:20:24
>618
標準自然数の真理述語の一意性はかなり微妙

それは背景の集合論に依存して真理述語1、真理述語2……
と同格の複数のものが考えられる、という立場もあり得るけど
あまり明確に主張してる人は聞いたこと無いなあ

623
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2014/03/15 17:27:06
>610
ナマの事実(有限の記号操作)って何のこと?
wikiに載ってたけど、そこに書いているような意味なの?
コメント1件

624
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2014/03/15 18:15:42
「証明」とは何か? 何であるべきか???

625
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2014/03/15 18:35:54
>623
別に大した意味じゃない。
「式 1 + x の変数xに4を代入したものと、式 y + 4 の変数yに1を代入したものは同一の式である」
って程度の個別に直接確認できるような事実のことだね。
コメント2件

626
132人目の素数さん[sageage]   投稿日:2014/03/16 01:13:25
http://pc.watch.impress.co.jp/docs/news/20131125_624993.html
頭ロボ君大学入試でTarski-Saidenbergの定理使うとかまじヤバいwww

l'Hopitalならまだしも、「Tarskiの量化子除去を行うことにより〜〜」とか
入試答案に書かれたら東大や京大の教授でも顔を顰めるだろうなw

627
M_SHIRAISHI[eurns@hb.tp1.jp]   投稿日:2014/03/16 05:41:24
>607
>615
>621

適切な日本語が在りながら、ラテン語由来の英語(ad hoc)を、わざとらしく使って、
ソチ等は優越感にひたりたいのか、こん馬鹿たれが!

これを「“下衆”の勘ぐり」と言うならば、受けて立つ。
先ず、実名とE-mail address を書け!

以下、“ad hoc””なる用語は「使用禁止処分」とし、代わって「その場かぎの」」 or「 一時凌ぎの」を用いる。

Follow US!

## これに従わざる者には、塗炭(totan)の苦しみが待ち受けていることを覚悟せよ!

628
132人目の素数さん[]   投稿日:2014/03/16 07:32:50
隔離スレに帰れよw

629
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2014/03/16 08:39:53
>625,610
そういうナマの事実と、 「前提・仮定(公理や推論規則)」および「証明されたこと(定理)」
だけで、どれだけ数学を構成できるというんだ?
コメント2件

630
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2014/03/16 09:46:36
>629
ん?数学を作る人間の直観のことでも言ってんの?
表に出てくるのはその3つだけで十分。
コメント2件

631
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2014/03/16 10:33:53
>630
×表に出てくるのはその3つだけ
○その3つに帰着できる

632
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2014/03/16 10:38:45
こういう場合よくあるのが「数学」の指してるものが
両者で違って議論になってないというパターン

現代の数学は基本的に形式化できる
→数学者の閃きをどうやって形式化できるんだ!みたいな
コメント2件

633
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2014/03/16 11:25:48
Do you mean that the so-called “Completeness Theorem” is a result of an ill-posed
problem ?
コメント2件

634
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2014/03/16 13:17:43
>632
別にそんなことじゃないよ。表に出てくる結果のことだと認識してるよ。

635
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2014/03/16 19:42:58
>633
いわゆる「完全性定理」が不良設定問題の結果であることを意味するか?


コメント2件

636
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2014/03/16 21:35:12
エーゲ海は大小あわせ約約2,500 の島々が浮かぶ海である。
瀬戸内海は大小あわせ約3,000 の島々が浮かぶ海である。

間違っているのはどっち?

637
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2014/03/16 22:41:09
島々が海に浮かんでるなんて初めて知った
内海だから海流に流されないで済んでるんだね

638
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2014/03/16 22:48:03
風が光ってる
波が光ってる
夢が光ってる
琥珀色に
風が呼んでいる
波が呼んでいる
夢が呼んでいる
エーゲ海

639
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2014/03/16 22:56:57
ad hoc を日本語にするの難しいわ〜

640
って「その場かぎの」」 or「 一時凌ぎの」を用いる。

Follow US!

## これに従わざる者には、塗炭(totan)の苦しみが待ち受けていることを覚
[]   投稿日:0000/00/00 00:00:00

641
132人目の素数さん[]   投稿日:2014/03/16 07:32:50
隔離スレに帰れよw

642
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2014/03/16 08:39:53
>625,610
そういうナマの事実と、 「前提・仮定(公理や推論規則)」および「証明されたこと(定理)」
だけで、どれだけ数学を構成できるというんだ?
コメント1件

643
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2014/03/16 09:46:36
>629
ん?数学を作る人間の直観のことでも言ってんの?
表に出てくるのはその3つだけで十分。
コメント3件

644
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2014/03/16 10:33:53
>630
×表に出てくるのはその3つだけ
○その3つに帰着できる

コメント1件

645
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2014/03/16 10:38:45
こういう場合よくあるのが「数学」の指してるものが
両者で違って議論になってないというパターン

現代の数学は基本的に形式化できる
→数学者の閃きをどうやって形式化できるんだ!みたいな
コメント1件

646
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2014/03/16 11:25:48
Do you mean that the so-called “Completeness Theorem” is a result of an ill-posed
problem ?
コメント1件

647
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2014/03/16 13:17:43
>632
別にそんなことじゃないよ。表に出てくる結果のことだと認識してるよ。

648
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2014/03/16 19:42:58
>633
いわゆる「完全性定理」が不良設定問題の結果であることを意味するか?


649
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2014/03/16 21:35:12
エーゲ海は大小あわせ約約2,500 の島々が浮かぶ海である。
瀬戸内海は大小あわせ約3,000 の島々が浮かぶ海である。

間違っているのはどっち?
コメント1件

650
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2014/03/16 22:41:09
島々が海に浮かんでるなんて初めて知った
内海だから海流に流されないで済んでるんだね
コメント1件

651
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2014/03/16 22:48:03
風が光ってる
波が光ってる
夢が光ってる
琥珀色に
風が呼んでいる
波が呼んでいる
夢が呼んでいる
エーゲ海

652
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2014/03/16 22:56:57
ad hoc を日本語にするの難しいわ〜

653
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2014/03/17 23:00:49
>635
完全性定理の証明に(弱い形での)選択公理が必要になること、
可算理論の場合でも少なくとも算術は必要になること。

654
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2014/03/18 00:00:27
完全性定理は集合論の定理です。
コメント3件

655
132人目の素数さん[]   投稿日:2014/03/19 08:42:45
それは算術級数定理が関数論の定理だと言うようなものだ

656
132人目の素数さん[]   投稿日:2014/03/19 09:43:00
教えてください.
ゲーデルの不完全性定理などの場合は,その意義は一般にも理解し易い
(本当に理解できているかは別として)のですが,
ZFとAC,CH,V=Lなどとの独立性は,なにを意味していると理解すればよいの
でしょうか?「形式体系というものは,...なものだ」という意味を
もっているに違いないと思うのですが.

657
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2014/03/19 19:19:25
>635
言語Lの記号が整列されていれば選択公理要らないですよ。
我々が扱う具体的な理論(Peano算術とかZFCとか代数閉体の理論ACFとか)は
全部記号は整列可能ですよね?

何かを示すのに算術が必要だからill-posed problemだとか言い出したら
数学の大半の問題ははill-posedになると思うんですが。

658
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2014/03/19 21:07:54
>642
慣習的なことを言ってるの?
関数論の定理だと言って別に何か困ることないでしょう。

>644
ill-posedなんじゃなく、必要な前提を明らかにしたうえで「〜論の定理です」と言えばいいだけでしょ?
コメント1件

659
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2014/03/19 22:43:52
>643
一般にも理解し易い意味なんて別にないから気にしないで!
コメント2件

660
644[sage]   投稿日:2014/03/19 22:55:27
ごめん>640へのレスのつもりだった

完全性定理はill-posedか
 →意味が分からない
→選択公理が要ったり、少なくとも算術を必要とする

という文脈で、算術が言ったってill-posedだとは言えないだろう、
というつもりのレスでした。

661
132人目の素数さん[]   投稿日:2014/03/19 22:58:56
>646
世の中とは全くつながりがないということ?
そんなこともないでしょ?

662
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2014/03/19 23:01:05
ええ…?
ひょっとして、ZFとAC,CH,V=Lなどとの独立性についても、世の中とつながりのある説明を期待していたの?

663
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2014/03/19 23:10:19
不完全性定理の「一般」の理解はほぼ誤解だから
コメント1件

664
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2014/03/19 23:36:48
>645
本当はXではなくてもXと呼ぶことはある。
慣習は守らなきゃ。

甘納豆は甘い納豆ではないし、
焼きソバは蕎麦ではない。
わんこソバは犬ではない

665
132人目の素数さん[]   投稿日:2014/03/20 13:34:11
>649
>ひょっとして、ZFとAC,CH,V=Lなどとの独立性についても、世の中とつながりのある説明を期待していたの?
もちろんそうです.
「世の中とのつながり」というと,少し通俗的な感じがして,違いますが,

>650
>不完全性定理の「一般」の理解はほぼ誤解だから
誤解(解釈のし過ぎなど)が多いのは知っていますが,
定理をそのまま理解したり,その証明を追うだけで留めておけば
誤解は避けられるでしょうが,それでは,明らかにその意味を
理解したことにはならないわけで.
いろんな意味で一般化が必要ですよね.

666
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2014/03/20 20:11:28
いや「世の中とのつながり」ってのはあなた自身が言った言葉だよ。
 そうです。 違いますが。 
とか言われても意味が分からない。

 定理をそのまま理解したのでは、
 明らかにその意味を理解したことにはならない
と言うのも意味分からない。
コメント1件

667
132人目の素数さん[]   投稿日:2014/03/20 21:24:55
653さん
定理をそのまま理解するというのは,定理が真であることが分ること,
その証明が追えてかつ自分で再現もできること,定理を適切に適用できること,
というようなことを指していました.
通常はこういう理解で満足するのでしょうが,考えてみると,こういう理解は,
いってみれば,無矛盾であればよしとする理解,機械でもできる理解,定理の
内部に閉じた理解,受動的な理解ではないかと思います.
そうではない理解,特に定理の外部との関係においての理解というものが
あり得て,むしろそういう理解をしたいと思っています.
これは数学なら数学の内部に閉じこもっている人たちには,何をいっているか
分ってもらいにくいと思いますが.

668
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2014/03/20 21:31:25
数学の他分野ならともかく、よりにもよって集合論の場合、数学外部との関係と言われると辛いな…w
しかも、どうやら社会学的な意義も期待してるみたいだし
コメント1件

669
132人目の素数さん[]   投稿日:2014/03/20 21:41:58
>集合論の場合、数学外部との関係と言われると辛いな…w
いやいや独立性の定理なら,その定理の内部に閉じない理解でよいのです.
>しかも、どうやら社会学的な意義も期待してるみたいだし
そういう期待はまったくないんです.だから「世の中とのつながり」というと,
だいたいがそういうふうに誤解されるだろうなと思っていたのですが.
コメント1件

670
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2014/03/20 21:44:18
当然具体例はあるのだろう。
「○○の定理は△△という形で世の中と繋がっている」
みたいな。
なんかあげてみてよ。
コメント1件

671
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2014/03/20 21:49:41
「世の中とのつながり」というのが不適切な表現だったというのは良いとして、
じゃあどういう意味だったのかが不明

あと、定理の証明を自分で再現できて適切に適用できる、
というレべルに到達するのはそれなりに大変だよ。
ACの独立性について>654はそのレベルに達しているとは思わない。

その水準の理解に達していない人が、この定理の数学外への影響は……
と言い出すと得てして中途半端なことになる。

672
132人目の素数さん[]   投稿日:2014/03/20 21:53:16
不完全性定理やレーベンハイムの定理などの場合は,論理や集合論の外部の
一般人にとっても有意味な形で記述することができると思うのですが,
それと同じようなことがZFとAC,CH,V=Lなどとの独立性定理についても
できないのかな?ということでした.

673
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2014/03/20 21:57:19
>659
そんじゃレーヴェンハイムでいいから、その「有意味な形」ってのを教えてよ。

674
132人目の素数さん[]   投稿日:2014/03/20 22:03:20
>658
>あと、定理の証明を自分で再現できて適切に適用できる、
>というレべルに到達するのはそれなりに大変だよ。
>ACの独立性について>654はそのレベルに達しているとは思わない。
>その水準の理解に達していない人が、この定理の数学外への影響は……
>と言い出すと得てして中途半端なことになる。
通常の意味で定理が理解できるとかできないとか(どうもそれが相当
難しいと思っているようですが),そういう話をしているのじゃないんですよ.

675
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2014/03/20 22:04:58
>659
あと有名どころで、完全性定理とバナ・タルもよろしく
コメント2件

676
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2014/03/21 03:57:21
悪いけど643にある個々の具体的な独立命題に
「形式体系というものは……なものだ」みたいな意味は無いと思う。

こういう体系が不完全で独立な命題が必ずあることは不完全性定理で既に分かっている。

「集合」という、カントールやツェルメロの時代には明確に把握されていると
思われていた概念が、どこまで行ってもかなり基本的な部分で
不明確な概念であることを示した、とまでは大雑把に言えるけど形式体系一般がどうという話じゃない。
それにそれぞれの個々の独立性にはもっと豊かな数学的意味がある。

単に、レーヴェンハイムの定理は一般の人にも興味をもたれやすい定理だ、
というだけじゃないのかな。それを
「数学の内部に閉じこもっている人たち」には分からんとか、
定理の証明をフォローするのではないような「高度」な理解とか、
なんで一々普通に数学をやってる人をdisるような言い方をするんだろう。
コメント1件

677
132人目の素数さん[]   投稿日:2014/03/21 11:05:50
>663
>悪いけど643にある個々の具体的な独立命題に
>「形式体系というものは……なものだ」みたいな意味は無いと思う。
そうなのですか?そうなら残念です.
>こういう体系が不完全で独立な命題が必ずあることは不完全性定理で既に分かっている。
そういえば,不完全性定理は,独立な命題を一つ二つ具体的に構成していますが,
「独立な命題がなぜ生じるのか」については何も言えていませんよね?
>それにそれぞれの個々の独立性にはもっと豊かな数学的意味がある。
たとえばどんな意味でしょうか?(それはまさに定理外部の意味だと思うのですが)
>単に、レーヴェンハイムの定理は一般の人にも興味をもたれやすい定理だ、
>というだけじゃないのかな。それを
通常のレーヴェンハイムの定理の表現では,むしろ一般の人は興味をもちにくい
と思います.

下は本題でないし,こういう場では結構起きがちな口論?なので
敢えていちいち気にしないことにしているのですが,
>「数学の内部に閉じこもっている人たち」には分からんとか、
「内部に閉じている人」はたしかに(結構沢山)存在していて
そういう人たちには分かってもらいにくいのは事実ですよね.
>定理の証明をフォローするのではないような「高度」な理解とか、
>なんで一々普通に数学をやってる人をdisるような言い方をするんだろう。
「高度な」とは一言も言っていないです.高度か低級かなんてことには
関心がないんです.それに普通に数学することを批難するつもりもないんです.
だけど,外部もありますよ,と言ってるだけです.

678
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2014/03/21 11:16:55
単に自分好みの解釈を求めているだけだから。
待ってるのに来てくれないから。
コメント1件

679
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2014/03/21 11:31:31
>高度か低級かなんてことには関心がないんです.それに普通に数学することを批難するつもりもないんで

>654
「機械でもできる理解」とか「受動的な理解」ってのは何なの?
コメント1件

680
132人目の素数さん[]   投稿日:2014/03/21 11:43:25
>666
>「機械でもできる理解」とか「受動的な理解」ってのは何なの?
何なの?ってどういう質問ですか?
まさかここでも,「機械でもできる」や「受動的な」を負の意味(批難の意味)に
とらえているのではないでしょうね?そうではないんですよ.

681
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2014/03/21 12:07:18
避難や批判以前の話として意味不明だということだ。
君には難しすぎて理解不能かも知れないが…

682
132人目の素数さん[]   投稿日:2014/03/21 12:18:06
>668
>避難や批判以前の話として意味不明だということだ。
>君には難しすぎて理解不能かも知れないが…
ここにも現れているように,
結局,あなたは,「難しいことが理解できること」ことが自慢の人の
内部的な人なんでしょうね.
先にも言いましたが,こんな口論みたいなやりとりは私はもう止めますね

683
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2014/03/21 13:24:10
数学の内部で、他の定理や例や他の数学の分野との関わりにおける
意味と言うのは数学やる人も当然大事だと思っている。

「数学内部に閉じこもっている人」は証明をそのまま追うだけだから
機械でもできる受動的な理解に留まっていて
こういう理解の仕方はあまりしないだろう、とか言われても、
普通の数学者はそうではないので、何を言っているんだ?ということになる。

なんか、自分が分かって貰えないのは、レスを返す人が
「数学の内部に閉じこもっている」からだ、と思ってるみたいだけど、
自分のレスが分かりにくかったり実態に即していなかったり、という可能性は考えないの?

小平邦彦が書いていることだけど、或る定理を理解するには
その定理の証明をきちんと理解することが前提になることがある。
>643で書いてある独立命題についても、
重要なのは定理の内容それ自身よりも、寧ろ強制という証明手法だと思う。
このテクニック自体は集合論以外でも計算可能性理論や証明論などの他分野で応用がある。
>669は「形式体系とはこういうものだ」という一般論を求めているようなので
それじゃ満足しないだろうけどね。

684
132人目の素数さん[]   投稿日:2014/03/21 14:13:54
>670
最初の3つのパラグラフはもともと同意です.
それに,これと同じことは私の方からだって言いたいかもしれない.
どちらにしても,私にとっては本題ではないです.こんなことはどうでもよいです.

>或る定理を理解するにはその定理の証明をきちんと理解することが前提になることがある
「ことがある」ではなく,ほぼつねにそうでしょうね.
ただし,「証明をきちんと理解する」が,証明を(写経するように)追うことで
できるのでは必ずしもない(私の経験ではそれはむしろ下手なやりかた)とは
思います.

> >643で書いてある独立命題についても、
>重要なのは定理の内容それ自身よりも、寧ろ強制という証明手法だと思う。
>このテクニック自体は集合論以外でも計算可能性理論や証明論などの他分野で応用がある。
これは貴重なコメントです.ちょっと考えてみます.
「定理の内容よりも、強制という証明手法が重要」?

>それじゃ満足しないだろうけどね
そんなことないですよ.

685
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2014/03/21 14:54:03
これだけレスの応酬があって、「一般人が興味を持ちやすい説明」というものを頑なに例示しないのは何故だ

686
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2014/03/21 16:33:53
理由は明白だ。自分でも理解できていないからだよ。

687
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2014/03/21 18:27:07
「機械”でも”できる」を負の意味に捉えないでくれって言われても、ニュートラルな表現ではないからねえ。

「一般人が興味を持ちやすい説明」ってのは必ずしも自分の言葉じゃなくてもいいんだよねー。
○○の定理についてこのサイトではこんな説明がされてて、有意義で分かりやすいと感じた、でもいいし。
それすら示してくれないのは残念だね。

688
132人目の素数さん[]   投稿日:2014/03/21 19:16:37
言うとすれば自分の言葉で言うしかないようなものですが,
お分かりのようにここはいろんな意味でその適切な場ではないですね.
それに,独立性命題についてなど,まだ見えない部分もありますので.

なお,「一般人が興味を持ちやすい説明」というのは,
「一般人のツールになる説明」と言ったほうがいかもしれません.

689
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2014/03/21 19:20:13
>675
独立性命題の説明じゃなくて、
>不完全性定理やレーベンハイムの定理などの場合は,論理や集合論の外部の
>一般人にとっても有意味な形で記述することができると思うのですが,
これら↑について例示してほしいのだけど

>お分かりのようにここはいろんな意味でその適切な場ではないですね.
ここには「数学の内部に閉じこもっている人たち」しかいないから?w


690
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2014/03/21 19:36:59
> なお,「一般人が興味を持ちやすい説明」というのは,
>「一般人のツールになる説明」と言ったほうがいかもしれません.

曖昧な言い換えを繰り返してもどこにも到達しないよ。
自分ば言いたいことを、一般人にも理解できる言葉や具体例で説明することから
始めるのが良いでしょう。

691
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2014/03/21 19:53:31
>675
適切な場所ではない、だって?
自分が質問するのは構わないが、同じ主題で自分が答えるのは適切でない、と?

692
132人目の素数さん[]   投稿日:2014/03/21 20:32:45
>676
>これら↑について例示してほしいのだけど
そんなに興味がおありなら,yes/noくらいでなら答えられます.

>678
なにも変ではないと思いますが.
私が質問しているときも,答えられる範囲で答えてくれることを
期待しているだけです.

ほら,つまらない口論の場になってるでしょ

693
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2014/03/21 20:36:13
完全に喧嘩腰
もういいわ

694
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2014/03/21 20:37:56
>679
いや、非常に興味があるし、もしかしたら自分の見識を広められるのかもしれないので、
yes/noくらいでとおっしゃらずに

ぜ ひ 教 え て く だ さ い!

695
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2014/03/21 20:39:07
結局、口論がしたかっただけなのかもな、この人は。
コメント2件

696
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2014/03/21 20:52:36
とんだアルゼンチン野郎だ!
コメント1件

697
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2014/03/21 21:29:37
目標:数学基礎論の諸定理に隠された意義を明らかにする

方法:基礎論・論理学スレでヒアリング

成果:数学の内部に閉じこもった者たちの無理解に阻まれ、当初の目的は達成できず。

評価:設定した目標は達成できなかったが、つまらない口論を避けるためにはやむを得なかった。
    部外者を排除しようとする数学者の動機の存在を確認できた。

698
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2014/03/21 22:10:02
こういう人は、他人から理解されないとその分だけ自身の正しさを確信していくから、この結果に満足してると思うよ。

699
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2014/03/22 07:18:29
おのれのつまらないプライドを守るためには、
おのれの殻に閉じ込もり、
「おれを理解しない奴らが馬鹿」というおまじないを唱え続けるのが
ベストです。

矮小なプライドを守る代償として人生を失うことになりますが。

700
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2014/03/22 08:43:15
プライドなのか飯の種なのか。

例示が無いのは持ち駒を潰されることを避けるためだろう。

701
132人目の素数さん[]   投稿日:2014/03/22 09:12:07
その程度じゃ飯を食ってけんよ
コメント1件

702
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2014/03/23 06:19:07
オカズってことじゃないの?

703
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2014/03/23 10:35:52
村上陽一郎とかそういう人だっけ?

704
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2014/03/23 21:48:50
せこい人間だったな
しょーもない

705
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2014/03/23 22:01:24
なんでここで村上陽一郎が出て来るのか分からん

706
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2014/03/23 22:04:56
南部陽一郎
コメント1件

707
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2014/03/23 22:56:15
ゴールドストン

708
132人目の素数さん[]   投稿日:2014/03/28 02:11:44
質問です。
数理論理学で修士号を取るためには、専門の数理論理学以外の数学の基礎知識はどこまで必要ですか?
コメント1件

709
132人目の素数さん[]   投稿日:2014/03/28 22:03:11
「数理論理学修士」(正確には「修士(数理論理学)」かな?)というものは、
現在の日本ではたぶん存在しない。
あるのは、理学研究科所属の先生が数理論理学をやっていて、その下でとる「修士(理学)」とか、
工学研究科所属の先生が数理論理学をやっていて、その下でとる「修士(工学)」とか、
文学研究科所属の先生が数理論理学をやっていて、その下でとる「修士(文学)」とか、
、、、他同様。
数理論理学以外の知識として何をどれだけ要求するかは、先生に依存する。

710
132人目の素数さん[]   投稿日:2014/03/29 00:01:20
>696
馬鹿かこいつ
微分幾何学修士も群論修士もないわ

711
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2014/03/29 22:09:26
しかも質問には答えてねえし
コメント4件

712
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2014/03/29 22:13:26

713
132人目の素数さん[]   投稿日:2014/03/30 03:09:20
一番最後で答えてると思うが

714
132人目の素数さん[]   投稿日:2014/03/30 08:19:29
>695
修士論文を書ける専門能力以外に、必要な学力とは:
(1)大学院入試に合格する学力。
(2)大学院修了に必要な授業単位を取得できる学力。
だと思いますが。
コメント1件

715
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2014/03/30 08:50:16
学費を払う経済力は?
コメント2件

716
132人目の素数さん[]   投稿日:2014/03/30 23:12:32
>701
このご時世、(1)も(2)もほぼゼロだがな

717
名無しさん@大阪商業大学[]   投稿日:2014/04/02 01:11:45
Jean van Heijenoortってどのくらい有名ですか?
コメント1件

718
132人目の素数さん[]   投稿日:2014/04/11 23:45:27
メタ数学って結局数学なの?数学じゃないの?

719
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2014/04/11 23:53:08
数理論理学では、「理論」とか「モデル」とか、
「数学」のおもちゃのミニチュア模型みたいなものを作って
その性質を調べるようなことを良くします。
その際に研究対象のミニチュア模型を調べる時に使う普通の数学のことを、
研究対象となる「数学」と区別してメタ数学と言います。
つまりメタ数学は普通の数学です。

720
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2014/04/11 23:55:42
>706
調べる対象が「数学」なだけで、実体は普通の数学だと言うの?

推論規則は同じだよね?
公理は明示されてないようだけど、算術の公理一式ってこと?

721
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2014/04/12 00:00:16
それは場合によって違う。

証明論とかは普通の算術であることもあるけど、
モデル理論とかだと集合論を仮定したり、連続体仮説を仮定すると
どういうことが言えるかを調べたりとかまでする。

いずれにせよ、最近ではメタ数学は有限の立場じゃないといけないのかどうかとか、
メタ数学で排中律を使って良いのかどうかとか、そういう問題意識はあまり流行らない。

722
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2014/04/12 00:05:46
「証明論とかのメタ数学は普通の算術であることもあるけど、
モデル理論とかのメタ数学だと集合論を仮定したり、」ってことね

流行らないと書いたけど、そういう研究はそういう研究でちゃんと研究されてるみたい。
ただし数学科というよりも哲学科や情報科学科とかのロジシャンが研究してることが多いけど。
コメント2件

723
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2014/04/12 00:08:12
>708
よくわかりました。

「○○を仮定すると〜」は数学的でわかるけど、「△△でなければならない」なんてのは
一体何の議論?って感じで馴染めない。

724
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2014/04/12 00:26:12
あーでも証明論はよくわからないな。
実際の数学の証明に応用することがあるんなら、どんな仮定が入ってるのかが問題な気がする。

725
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2014/04/12 00:47:23
>711
実際の証明に応用される証明論の結果なんてあるの?
原理的には公理に推論規則を淡々と適用してくだけなんだし。
7+5=3*4を示すのに算術なんていらないのと同じ。

726
132人目の素数さん[]   投稿日:2014/04/12 08:00:26
前原昭二『記号論理入門 新装版』は入門として良い本ですか?
コメント2件

727
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2014/04/12 12:28:21
>711
wikipediaに”不変条件”って項がある。
そこに書いてる、「MUパズルでMU を作ることができないことを示す方法」が有効だってことは認める?

728
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2014/04/12 23:06:42
>714
こういうのは一番わからないな。
有効か無効かで答えれば「無効」。
コメント1件

729
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2014/04/13 18:55:41
>715
算術の命題をMUシステムのメタな言明に翻訳したら「MUパズルでMU を作ることができない」となります。
あくまで算術の応用であり、その適否は各人が自由に判断してください。

と言ったら満足するの?
コメント3件

730
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2014/04/13 19:14:39
あんたが何を主張してるのか意味不明だな。
証明論が実際に数学の証明に役立つ、という主張をしたいなら
MUパズルなんかではなく数学の具体例を出す必要がある。
証明論がおもしろいからやってるだけだ、文句あるか!?
というのであれば誰も文句はない。

731
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2014/04/13 19:20:29
>717
安価つけろや
コメント1件

732
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2014/04/13 20:36:31
誰も証明論が実際に数学の証明に役立つなんて言ってないようだけど。

733
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2014/04/13 20:55:04
発端の>711がそもそも不明確なレスだからなあ
とりあえずMUパズルは直接関係無い気はするけど

734
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2014/04/13 21:17:54
wikipediaにあるMUパズルに書いてる考え方ってどういう位置づけなの?
実際の証明論とはかけはなれたことなのか、それとも典型的で簡単な例と捉えるべきなのか。
コメント1件

735
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2014/04/13 21:44:11
論理学も数学もあまり知らない
一般の人向けの大雑把な説明としては良いんじゃない?

スマリヤンのゲーデル関係のパズル本とかにも
似たようなもっと複雑なパズルが結構載ってるから
典型的で簡単な例と考えても良いんじゃないかと思う。
良く知らんけど。

736
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2014/04/13 23:01:15
出題します。

「落ちる」「受かる」を互いの否定命題とする。
このとき、次の2つの命題は互いに否定命題であるか?

P「Twitterばっかやってたら落ちる。」
Q「Twitterばっかやってても受かる人は受かる。」

737
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2014/04/13 23:03:52
馬鹿は落ちる
コメント1件

738
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2014/04/13 23:35:25
>722
MUパズルのとこの説明は非常に簡便だけど、これが何かの証明になっているかと聞かれたらNOだよな。
本格的な証明論の内容はよく知らんけどw

739
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2014/04/14 12:10:18
>726
>722の言う通りに典型的で簡単な例として出したんじゃない?

740
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2014/04/14 12:44:26
>726
何の例なんだ?
数理論理学や証明論との関係が見えないのだが。

741
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2014/04/14 13:05:07
証明論の例だろ

742
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2014/04/14 13:25:22
>728
証明論について根本的な誤解をしてるようだね。
入門書でも読めばいいんじゃねーの。

743
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2014/04/14 14:37:52
>729
俺の持ってる入門書ではMUパズルと同じような議論してるぞ。
証明図のdegreeとかrankとか。
どう根本的な誤解なんだよ?
コメント1件

744
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2014/04/14 20:21:27
このパズルみたいな簡単な不変量じゃないし
厳密にいえば不変量でもないけど、
subformula propertyとかcut除去とかは式の複雑さが
単調に増加していくということだから、似た空気ではあるよね。

逆に順序数の単調減少な量を定義するというのもよくあるテクニック。

ただ証明論についてあまり詳しくないから
「同じような議論」とまで言えるかどうかは分からんけど。

745
132人目の素数さん[]   投稿日:2014/04/14 20:28:28
>731
> subformula propertyとかcut除去とかは式の複雑さが
> 単調に増加していくということだから
cut除去ではcut論理式の複雑さを減らしていくことで
cut除去プロセスの停止性を保証するのでは??

746
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2014/04/14 20:45:54
根本的に誤解してるポイントが何なのか明らかにしてよ>729
コメント2件

747
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2014/04/14 23:12:15
結局は算術、そして結局は帰納法。
そこまで言っちゃえば「同じような議論」。

>729の意図はわからないけど。
発端の>711>715と合わせて全体の意図がよくわからない。

748
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2014/04/15 09:37:55
>734
> そこまで言っちゃえば「同じような議論」。

そうなんだよな。そこまで言っちゃえば、数学も証明論もMUパズルも全部一緒。

749
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2014/04/15 23:28:15
Pour-El=Kripkeの定理って驚愕の定理みたいに書いてあることあるけど、
扱ってるのが本質的に可算で無原子的なブール代数であることを考えると
ブール代数として同型になるというのは
当時から良く知られていた事実のはずでどこが驚きどころなのか分からん

どっちかというとどういうときに成り立たないかの方が数学的には興味ある内容だと思う
コメント1件

750
科学史・科学哲学[]   投稿日:2014/04/19 05:12:52
非常にばかばかしい質問かもしれませんが、お答えください。
数学基礎論・数理論理学で博士号を取るためには、数学基礎論・数理論理学以外の数学をどの程度知る必要があるのでしょうか?
たとえば経済学ならば、経済史で博士号を取ろうと思えば理論経済学の知識は(むろん必要ではありますが)それほど深くは要求されません。
数学基礎論・数理論理学もそのような特殊な分野でしょうか?

数学基礎論・数理論理学で博士号を取る場合に必要とされる他分野の知識は、

修士なみ
学士なみ
学部教養なみ
学部入試なみ

これのどれくらいにあたるかおしえてください。

751
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2014/04/19 08:23:03
扱っている内容によるし分野による。

たとえば証明論や非古典論理とかをやるなら現代数学より
計算機科学とかの知識の方が役に立つかもしれません。

数学史を研究するときに現代数学の知識が要らないのとは違って
厚生経済学を学ぶのにマクロ経済学の知識があまり要らない
(のかどうか知りませんが)というような感じに近いと思います。
コメント3件

752
132人目の素数さん[]   投稿日:2014/04/19 09:18:48
証明論も非古典も数学使うよ
計算機の側がそれらを道具として使うだけで
どっちも学部程度の数学知らないと研究できない
(見かけは数学を使ってないように見えるだろうけど

753
132人目の素数さん[]   投稿日:2014/04/19 13:16:38
学部程度の数学っていうか、帰納法だけでやっていけるような、、、、

754
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2014/04/19 13:18:17
応用数学だけどね

755
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2014/04/19 14:37:40
基本的には数理論理も数学なので
他の数学の分野と大きく違うということは無いとは思う

まあ非古典論理の研究とかは数学的に高度なことをしたから
良い研究と言う訳でもないとは思うけど
コメント1件

756
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2014/04/19 14:55:27
一般教養レベルの数学は最低限必要ですね。
微積分、関数論、線型代数、集合、位相。
これくらいは常識レベルとしてください。

数学基礎論や数理論理学を専攻するのであれば
実数論とかガロア理論も知っておく必要があるし、
また、測度論についても知っておく必要があるでしょう。

上記以外については研究動機やテーマによりますので
指導教官に相談してください。

757
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2014/04/19 22:56:34
実数論って微積分の一部じゃないの

758
科学史・科学哲学[]   投稿日:2014/04/19 23:01:08
>743 「一般教養レベル」とは学部2年修了レベルですか?

759
132人目の素数さん[]   投稿日:2014/04/19 23:56:22
ちょっとでも余計なことは意地でもしたくないみたいだな

760
科学史・科学哲学[]   投稿日:2014/04/20 01:05:37
>746 そりゃあそうでしょう。数学基礎論・数理論理学をやりたいのだから、それ以外のことは最低限必要な範囲にとどめたい。

761
132人目の素数さん[]   投稿日:2014/04/20 01:09:39
なら師事する先生に尋ねるしかないな
コメント1件

762
132人目の素数さん[]   投稿日:2014/04/20 07:17:58
研究に向いてないと思う
数学基礎論・数理論理学やるのに
学部程度の数学やりたくないとか話にならないから
哲学系の林さんも幾何学なんかまで知ってるから

763
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2014/04/20 07:29:25
式遊びでもやってろ。

764
科学史・科学哲学[]   投稿日:2014/04/20 08:11:40
>749
>数学基礎論・数理論理学やるのに
>学部程度の数学やりたくないとか話にならないから

なんで?専攻範囲以外は必要最低限にとどめたいというのは当たり前でしょ?
たとえば、日本経済史の研究で経済学博士を取りたい場合、ミクロ経済学の知識は学部レベルですらいらないよね。
それと同じようなこと。いらないことはしたくない、早く本丸に取りかかりたいということ。

765
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2014/04/20 08:53:11
こんなところで油売ってないで
さっさと本丸にとりかかってください。

766
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2014/04/20 08:58:27
その必要最低限の範囲ってやつが事前に確定できると思ってんのか?

767
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2014/04/20 09:04:58
ゆとりなんだろう(笑)

768
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2014/04/20 09:16:16
>746 そりゃあそうでしょう。数学基礎論・数理論理学をやりたいのだから、それ以外のことは最低限必要な範囲にとどめたい。

違うな。お前は数学基礎論・数理論理学をやりたいのではない。
「博士号」という称号が欲しいだけなのだ。

数学が好きで好きでしょうがない人間でなければ、
博士号まで息が持たない。

お前には無理だよ。

769
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2014/04/20 09:27:36
>755
それは
数学基礎論・数理論理学が数学に含まれることを前提としてるね。
多分>751の認識は違うんだろう。
コメント1件

770
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2014/04/20 10:44:10
なんで>751が経済史を例に出すのか分からんけど
数理論理というのがあくまで数学の一分野であって
16世紀数学史とかそういう歴史の研究とは全然違うというのは分かってる?

数学史をやりたいならここじゃなくて数学史やってる人のところで聞いた方が良いよ

771
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2014/04/20 10:50:19
それどころか一種の応用数学。
数学のあらゆる分野が必要になる可能性あり。

772
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2014/04/20 15:26:35
必要になったら勉強するという態度でも何とかなると思うけど、
勉強する範囲を限定するのはムリだろ。

特に数学基礎論・数理論理学なんて適用範囲広いんだし。
コメント1件

773
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2014/04/20 15:36:06
必要になったらその都度勉強します
というスタンスの人は>737みたいなことを書かないもんな

774
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2014/04/20 22:35:32
>751
> なんで?専攻範囲以外は必要最低限にとどめたいというのは当たり前でしょ?
> たとえば、日本経済史の研究で経済学博士を取りたい場合、ミクロ経済学の知識は学部レベルですらいらないよね。
> それと同じようなこと。

全然違う。
今でも日本だけが数学基礎論って時代遅れで哲学っぽい(裏を返せば数学っぽくない)呼び方をしてるが
世界中での常識的な呼び方としてのMathematical Logicつまり数理論理学は
論理学で現れる諸概念を研究の題材としてるだけで道具立ても手法も
代数学や幾何学などの通常の数学とほとんど何も変わらない。
それらの道具を適用する対象が違うだけ。

だから現代において数理論理学で良い仕事をしようとすれば現代数学のさまざまな道具を身に着けておくのが不可欠。
時代遅れの哲厨くずれな人間が基礎論屋を気取って棲息する余地なんてのは現代の高度に技術化され抽象化された
数理論理学には残ってないんだよ。

日本から数理論理学で良い仕事が出ない理由は相も変わらず「数学基礎論」なんて哲厨な名前を有難がってるから。
海外で数理論理学の教科書のタイトルに"Foundations of Mathematics"なんてのを使って出版するなんてのは今や有り得ない.。
日本だけだよ、「基礎論」とか"Foundations"って言葉を今でも素人ファンじゃなくてプロの数理論理学屋が有難がって使うのは。

775
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2014/04/20 23:12:17
大したロジックだね

776
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2014/04/20 23:22:19
「数学基礎論」という字面に哲学臭さなんてあるか?
教養課程の科目名みたいだとは思うけど

777
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2014/04/20 23:54:36
>761
素人ファンはどうすりゃいいんだよ?

778
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2014/04/21 00:12:08
おかしいと分かっていても一度普及した呼び方は変え難いんだよね
適切な呼び方を新しく考えだしても相手に通じなければ意味がないし、
逆に変な呼び方であっても相手に通じるのであれば問題ない

昔の化学では「質量作用の法則」という奇妙な訳語があったのを覚えてる人もいるだろう
マスゲームを「質量ゲーム」と訳すようなもんだ
今ではまともな訳語に直ってるけどね

779
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2014/04/21 00:18:46
完全性定理と不完全性定理では「完全」の意味は異なるが呼び方を使い分けようとは誰もしてない

780
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2014/04/21 01:33:09
完備性定理ぐらいにして欲しいよね。

781
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2014/04/21 07:38:54
>海外で数理論理学の教科書のタイトルに"Foundations of Mathematics"なんてのを使って出版するなんてのは今や有り得ない.。
Kunenがつい最近出してたけど……

782
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2014/04/22 08:45:24
岩波文庫の「不完全性定理」って今、
書店で手に入れることできますか?

783
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2014/04/22 17:14:02
絶版にはなってないから、売ってるところでは売ってるだろ

だが、そもそも岩波なので最初から入荷してないトコロもおおいし
取り寄せもへたすりゃ断られるかもよ
おとなしく amazon で買ったほうがいい

784
132人目の素数さん[age]   投稿日:2014/04/24 19:16:42
          __ノ)-'´ ̄ ̄`ー- 、_
        , '´  _. -‐'''"二ニニ=-`ヽ、
      /   /:::::; -‐''"        `ーノ
     /   /:::::/           \
     /    /::::::/          | | |  |
     |   |:::::/ /     |  | | | |  |
      |   |::/ / / |  | ||  | | ,ハ .| ,ハ|
      |   |/ / / /| ,ハノ| /|ノレ,ニ|ル' 
     |   |  | / / レ',二、レ′ ,ィイ|゙/   
.     |   \ ∠イ  ,イイ|    ,`-' |      
     |     l^,人|  ` `-'     ゝ  |        
      |      ` -'\       ー'  人           私は死なないわよ。
    |        /(l     __/  ヽ、            でも最近一寸太ったかしら。
     |       (:::::`‐-、__  |::::`、     ヒニニヽ、           Windows ver.10 で    
    |      / `‐-、::::::::::`‐-、::::\   /,ニニ、\            元の痩せた姿にしてよね。
   |      |::::::::::::::::::|` -、:::::::,ヘ ̄|'、  ヒニ二、 \              
.   |      /::::::::::::::::::|::::::::\/:::O`、::\   | '、   \
   |      /:::::::::::::::::::/:::::::::::::::::::::::::::::'、::::\ノ  ヽ、  |
  |      |:::::/:::::::::/:::::::::::::::::::::::::::::::::::'、',::::'、  /:\__/‐、
  |      |/:::::::::::/::::::::::::::::::::::::::::::::::O::| '、::| く::::::::::::: ̄|
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785
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2014/04/26 16:29:47
普通の数学での主張を述語論理での主張に書き換える場合
 pのときqとなる
に対応するのは
 p |- q
 |- p→q
の何れが適当なのでしょう?

786
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2014/04/26 17:18:50
普通に数学を使うときに使う論理は自然演繹に最も近いから
どっちもでも良いんじゃないの。
そういう使い分け自体を意識しないと思う。

787
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2014/04/26 18:08:37
ご回答ありがとうございます.
ヒルベルト流のシステム上で表す場合も
どちらでも良いのでしょうか?

788
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2014/04/26 18:32:58
束縛変数を適当に選んでおけば同値な条件だから、気にするほどのことではない

789
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2014/04/26 18:59:39
> 束縛変数を適当に選んで
とはどういったことでしょう?

790
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2014/04/26 20:49:04
公理なら |- p→q
定理なら p |- q
じゃないの?

791
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2014/04/26 22:55:50
>772
>  pのときqとなる

この命題全体を証明したいならば
>  |- p→q

pを前提としてqを証明したいなら
>  p |- q

792
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2014/04/26 23:48:49
再帰的可算な理論の全てを解釈できるような再帰的理論ってありますか?

793
132人目の素数さん[]   投稿日:2014/04/27 10:43:49
解釈できる、とは、どういう意味ですか?

794
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2014/04/27 22:06:30
>769-771の岩波文庫が丸善にあったので買ってみた。
第6章にこうある。

また、多くの数学者は、彼らの「社会基盤」である共通言語としての集合論に、認識論的な安全性などは求めていない。
集合論が数学の本質とも考えていない。多くの数学者は、集合論を数学を記述しやすい言語、つまり、道具と考えており、
数学の本質はそれ以外にあると思っている。集合論は、いわば価値に対する貨幣である。
それが「表現」する価値にあたる「真の数学」は、どこか別のところにある。これが多くの数学者のメンタリティーであり、
そのことは、第二次世界大戦に公理的集合論を数学の基礎の実質標準とすることに貢献したフランスの数学者集団
ブルバキの見解に、見事に表れている。
ブルバキは、公理的集合論を数学の基礎としながらも、
「もし、未来にそれが破綻しても数学は必ずや新しい表現を見つけるだろう」という信念が、数学者を落ち着いた
気持ちで仕事に専念させるのだと書いたのである。
コメント1件

795
132人目の素数さん[age]   投稿日:2014/04/28 17:58:04
          __ノ)-'´ ̄ ̄`ー- 、_
        , '´  _. -‐'''"二ニニ=-`ヽ、
      /   /:::::; -‐''"        `ーノ
     /   /:::::/           \
     /    /::::::/          | | |  |
     |   |:::::/ /     |  | | | |  |
      |   |::/ / / |  | ||  | | ,ハ .| ,ハ|
      |   |/ / / /| ,ハノ| /|ノレ,ニ|ル' 
     |   |  | / / レ',二、レ′ ,ィイ|゙/   
.     |   \ ∠イ  ,イイ|    ,`-' |      
     |     l^,人|  ` `-'     ゝ  |        
      |      ` -'\       ー'  人           私は死なないわよ。
    |        /(l     __/  ヽ、            でも最近一寸太ったかしら。
     |       (:::::`‐-、__  |::::`、     ヒニニヽ、           Windows ver.10 で    
    |      / `‐-、::::::::::`‐-、::::\   /,ニニ、\            元の痩せた姿にしてよね。
   |      |::::::::::::::::::|` -、:::::::,ヘ ̄|'、  ヒニ二、 \              
.   |      /::::::::::::::::::|::::::::\/:::O`、::\   | '、   \
   |      /:::::::::::::::::::/:::::::::::::::::::::::::::::'、::::\ノ  ヽ、  |
  |      |:::::/:::::::::/:::::::::::::::::::::::::::::::::::'、',::::'、  /:\__/‐、
  |      |/:::::::::::/::::::::::::::::::::::::::::::::::O::| '、::| く::::::::::::: ̄|
   |     /_..-'´ ̄`ー-、:::::::::::::::::::::::::::::::::::|/:/`‐'::\;;;;;;;_|
   |    |/::::::::::::::::::::::\:::::::::::::::::::::::::::::|::/::::|::::/:::::::::::/
    |   /:::::::::::::::::::::::::::::::::|:::::::::::::::::::::O::|::|::::::|:::::::::::::::/

796
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2014/05/01 14:05:40
体の理論を含む体系において∀x(inv(x)=inv(x)⊃¬(x=0))は証明可能ですか?
コメント1件

797
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2014/05/16 18:32:42
RCFは完全だそうですが,加法単位元の定項記号0,逆元の関数記号^{-1}に対して,0^{-1}=0は証明可能ですか?

798
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2014/05/17 08:48:32
RCFは環論の言語L_ringで書かれた公理系で
x≠0→∃y. x・y = 1 などの公理を満たすもの、
というふうにモデル論の教科書には書いてあるよ。
785が参照した本ではどうなってる?
コメント2件

799
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2014/05/20 22:43:07
お返事遅れてすみません.
わたしが見た本にも関数記号^{-1}を使ったものはありませんでした.
つまり,これ使って公理を∀x. x≠0→x・x^{-1} = 1
と書くのはまずいということですか?

800
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2014/05/21 21:23:55
そのように書いても理論にはなるけど、
そう書いたら0^(-1)の値については公理系で一切言及されず、
どう決めてもどうでも良い、ということになる。

本質的には一つに定まるはずのモデルが、0の逆元を
便宜上どう決めるかだけの為の不定性のために
互いに同型でないいろんな構造が出来たりしてしまうので、
モデル理論的には相当都合が悪いと思う。
普通の代数学として考えても気持ち悪いし。

801
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2014/05/21 23:28:26
∀x. x≠0→x・x^{-1} = 1 に加えて
例えば0^{-1}=0も公理とすれば完全性は保たれますね.
コメント1件

802
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2014/05/22 21:27:25
完全性ってどういう意味での完全性?
コメント3件

803
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2014/05/22 22:28:08
任意の閉論理式またはその否定が証明可能という方です.

804
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2014/06/30 01:27:09
イラストレーターで収入が少ないからと30代後半で漫画家になろうとする、ひきこもりのバカ発見。
足立区に住んでいるそうだ
http://inumenken.blog.jp/archives/6609090.html
コメント1件

805
132人目の素数さん[]   投稿日:2014/07/01 15:20:47
数学や論理学は絶対的な確実さを持ってるよね
ただ科学は帰納をその基礎に置いてる
それを自覚する頭のいい人間なら
その観点で断定的な話はあまりしないだろうね

自然科学
→実験データの結果

社会科学
→客観的な事実の集合

論理学
→論理的な整合性

数学
→論理的な証明による実証

バカ
→論拠なしの妄想?

学のなさってこういうところで出るよね
論外って言葉を知らないらしい

806
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2014/07/01 20:44:59
数や図形や論理の概念は、「合理的」、
つまり生物の生き残りのために有利な道具になるからこそ生じて
発展してきたんじゃないの?それを正しいと言って良いんだろうか
数学や論理学の真理はなぜ正しいのかと言うと、
それを正しいと規約するからとしか言えないんじゃないか

あと自然科学と社会科学を793のように風に区別するのは変だと思う

807
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2014/07/01 21:11:47
社会科学を客観的な事実の集合と思っているのなら、認識を改めるべき。
アンケート調査なんて文面の解釈に幅があるし、国勢調査でもない限り、必ず調査対象に漏れがある。
さらに、これらの不備の大元には人間の心理的・文化的・世相的・etc...な曖昧で捉えどころのないファクターが絡んでおり、
確率的に予測することすら不可能ときてる。
コメント1件

808
132人目の素数さん[]   投稿日:2014/07/01 21:27:31
>794
実証的学問としての社会科学を舐めてはいけない。
一つ一つは僅かな手掛かりを膨大に積み重ねて事実を確定していく作業はそんなにあやふやなものではない。
コメント1件

809
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2014/07/01 21:32:48
それってつまり一つ一つは客観的ではないってことでは

810
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2014/07/01 21:33:14
憲法解釈を変更して集団的自衛権の行使を容認する

811
132人目の素数さん[]   投稿日:2014/07/01 21:59:44
>796
数理パズルの大部分は客観的ではないことになるな

812
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2014/07/01 22:01:02
なんでそうなる
コメント1件

813
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2014/07/01 22:43:08
社会科学だから

814
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2014/07/02 06:45:28
Nik WeaverのForcing for mathematicians面白そうだね
forcingの理論についてはどれくらいself-containedなんだろう?読んだ人居る?
コメント1件

815
132人目の素数さん[]   投稿日:2014/07/02 18:53:11
神戸大学のサマースクールで強制法の講座があるみたいだね。
http://kurt.scitec.kobe-u.ac.jp/~fuchino/set-theory2014/kisoron-summerschool-...
コメント2件

816
132人目の素数さん[]   投稿日:2014/07/07 22:52:57
強制法って、なんか無理矢理やらされるっていう語感がやよね
コメント2件

817
学習院の学部生[]   投稿日:2014/07/28 21:10:10
Graham Priest教授の論文(dialetheism)を読んで衝撃を受けました。
数理論理と哲学的論理をきっちり勉強したいと思います。

818
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2014/07/28 23:24:50
最近Jechの強制法のところを証明はほぼ全て飛ばして眺めてて
やっと強制法が何をしているか大体のところが(数年越しに!)分かって来た。
ブール値モデルとかを齧りもしないで
(Cohenのオリジナルじゃなくて現代的な)nameの超限再帰的定義とかを
始めて読んで何をやりたいのかピンとくる人は天才だと思う。

genericityは未だに謎。どうも代数位相幾何とか代数幾何にも
同じgenericという似た概念があるらしいけど、そっち方面は知識無いから分からん。

819
132人目の素数さん[]   投稿日:2014/07/31 07:53:32
俺もかれこれ強制法の名を聞いてから4年は立つのだが
いまだにジェネリックフィルターの後がついていけない
難儀なものである
しかし強制法は今や現代数学最大の武器、使わざるをえまい!

820
132人目の素数さん[]   投稿日:2014/07/31 08:02:29
>802
すまぬが、具体的にプリーストのどの論文に衝撃をうけたのか
御教示願いえないだろうか?
わしはプリーストの非古典論理を安価で手に入れ勉強した記憶があるのでな
>802
強制法はForcingどうやら本来はゴリ押しという言葉に近いそうじゃ
>802
注目しておる
>798
文章題に関しては複数に問題を解釈ができるものである

821
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2014/07/31 08:21:07
お薬ジェネリックにしますか?
コメント1件

822
132人目の素数さん[]   投稿日:2014/07/31 12:25:15
>807
>798へのコメントは意味不明だ

823
806[sage]   投稿日:2014/08/14 20:45:19
>808
田中一之先生が、米国留学したらデカイ看板に
generic filterの宣伝がされていてさすがはロジックの先進国だと思ったら
ノーブランドの煙草のフィルターのことだったとか冗談を書いてたね。

でも集合論のgenericってのも割とそういうニュアンスっぽいんだよね。
体の超越拡大の超越元とかと似たような感じで、
Mのある要素との関連が別の元との関連より深いようなことがなくて、
"ノーブランド"だ、みたいな雰囲気。

あとどうも強制概念の実例を色々勉強して、
それぞれの場合でgenericであることから何が言えるか
見てみるのが理解の早道っぽい。
JechにCohen forcingでGがgenericであることから
Cohen実数∪Gがω上の全域関数であることが結論する、
とか書いてあるのはそういう意味だと思う。

824
132人目の素数さん[]   投稿日:2014/08/15 23:31:41
では強制法について解説しよう!

連続体仮説はω1=2^ω0だった。
ω0の次に大きなものが2^ω0であることはわかっている。
ω1は非可算である。
さて、ω0とω1の間の無限を取り出すとしよう!

825
132人目の素数さん[]   投稿日:2014/08/15 23:35:31
つまるところ

ω0とω1を使ってω0.5をつくってみよう、
だだし直接表現できないので間接的にやりたいがためである。

やっぱ挫折
このサイトがわかりやすい
http://samidare.halfmoon.jp/mathematics/Forcing/index.html
コメント2件

826
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2014/08/15 23:45:08
(・∀・)
コメント1件

827
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2014/08/16 00:12:47
そのサイト、3ページ目みて何でこんなに分かってないのに
自分が強制法の解説できるつもりになれるのかと小一時間(ry
なんか圏論スレとかでも似た奴居たけど

828
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2014/08/16 05:30:22
強制法についてちょっと面白いのは、基礎論嫌いだった
Bourbakiが考えたfilterという概念が集合論で一番活きているということ
(尤もfilterの考案者のCartanはさほど嫌いじゃなかったようだが)。

それからもっと面白いのは、
Cohenは最初かなり構文論的なものとして考えていたのを
Solovayとかがブール代数値モデルを使ったものとして整備して、
さらにShoenfieldがブール代数を経由せず直接モデルを拡大する
(その代わり何をやってるのか大変分かりにくい・但し
半順序の自由度を最後まで殺さないので使いやすい)
方法を考え出した。つまり内包→外延という順序になっている。
Cohenは後年にあれはもう自分が考え出した強制法じゃない、という態度であったらしいが、
面白いのが、実はCohen自身がGoedelのLの理論は
公理から要請される操作の閉苞を取っているだけで、数学ではよくある議論なのに
無意味に構文論的にごちゃごちゃした議論をしている、という
(正に的確な)感想を当時から持っていたと言うこと
("The discovery of forcing"だったか"The origins of forcing"だったかに書いてある)。

つまりどちらも最初に内包的手法で見出されて後に外延的に明快に理解されている。

普通、現代数学では先駆者の幾何学的な明快なイメージがあって
あとから代数学的・構文論的で厳密な証明が付いてくるという
数学観を持っている人が多いが、最先端の茫漠とした未知の世界で
真に新しいものを探求するときは案外逆のパターンが多い、と言う一例になっている。
これは他の分野でも同じことだと思うけどね。

829
132人目の素数さん[]   投稿日:2014/08/16 05:58:07
>815
最後の段落は数学をよく知らない人の印象でしかない。
「数学者の名声は、その人の行ったまずい証明の数に比例する」って言葉もあるくらい、先駆的な論文はゴチャゴチャとしている。

竹内外史はソロヴェイのブール代数値モデルを「天才のアイデアの平凡化」と言っている。

830
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2014/08/16 06:57:16
本当に、Cohenがどうしてあんな驚異的なテクニックを思いついたのかが知りたくて
色々Cohenの書きものなんか読んだりしたけど、未だに良く分からないんだよね

ただ、Cohenは代数位相幾何(ジェネリック性)とか
Bourbakiの位相の理論(フィルターとか)とかの
いわゆる「普通の」数学の素養がロジックの専門家よりずっとあったから
forcingに到達することができたのではないか、という気はしてるけどね。

831
132人目の素数さん[]   投稿日:2014/08/16 07:02:19
>804
こんなのがあるよ、きちんと到着して、まだ読んでない状態だけど。
http://www.amazon.co.jp/dp/product/
http://www.amazon.co.jp/dp/product/

>815
idealを代数で、近傍を位相で使っていればfilterがでてくるのが自然。
ブルバキ同人は基礎論ぎらいでなく
基礎論に詳しいエルブランが早逝したから基礎論が不得意。

832
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2014/08/16 07:11:52
ヴェイユとデュドネが基礎論嫌いだったのは割と大きいと思うよ

彼らの書きものには、数学基礎論は他の数学の分野とは
全然関係ない分野で、まともな数学者はこういうことには煩わされない、
みたいな(俺らが読むとプチンと来ちゃうようなw)記述が結構ある

833
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2014/08/16 07:19:45
>816
数学の勉強が、既にある山道を登山するようなものだとしたら
数学の研究は、草ボウボウの道無き道を藪漕ぎして新しい道を切り開くようなものなんだよね。
真っ暗闇の中で目的物を探して手探りで進むようなものだ、とか言う人も居るけど。

実はこの二つはかなり別のもので、
それを理解できないで大学院を終えてしまう人は東大にも京大にも多い、
ということだと思う。

834
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2014/08/16 07:28:57
>816
未解決予想を立てる人は、しばしば定理の証明以外の
全てを完璧に見通している、みたいな文章もみたことあるけどね。

幾何化予想とかは割とそんな感じだと思う。

先駆者の直観は、後世の整理された理解より
遥かに混沌に満ちている、ということなんだろうか。

835
132人目の素数さん[]   投稿日:2014/08/16 08:02:20
>821
「偉い人は全てお見通し史観」ってあるよね
おかげでヒルベルトは哀れなピエロ扱いだ

836
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2014/08/16 08:18:49
不完全性定理発見あたりの時代の歴史について
良く勉強するとヒルベルトが恐ろしく偉大な学者だったことが分かるんだけどね
林晋さんもそのクチだと思う

837
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2014/08/16 08:36:29
あれか、先駆者・開拓者は問題と一見大して関係が深くなさそうでいて
うっすら関係があるようなちょっと離れた周辺事項について
山のような知識を持っていて、そういう非常に重層的な視点から
定理や証明のあり方を探っている、ということなんだろうか

838
132人目の素数さん[]   投稿日:2014/08/16 22:00:28
大学受験生です。証明論や計算論と其の周辺や、数理論理学に興味があります。
京都大学を志望しているのですが、工学部情報学科と理学部のどちらがカリキュラムが適しているでしょうか。

839
132人目の素数さん[]   投稿日:2014/08/16 22:03:18
そういうはっきりした目的があるなら、京理は除外を考えた方が良いでしょう

840
132人目の素数さん[]   投稿日:2014/08/16 22:41:56
>825
東日本なら東北大
西日本なら神戸大
をお奨めします

841
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2014/08/17 00:52:15
まだ大学以前なんだから、大学で色々学んで
少し興味の方向が変わるということもあると思うけど
数理論理で有名なのは寧ろ神戸の
http://kurt.scitec.kobe-u.ac.jp/index-jp.html
このグループだと思うけどね(ただ、計算論の専門家は居ないけど)

数学じゃなくて計算機科学に重点を置くのならまた違うんだと思うけどね

842
132人目の素数さん[]   投稿日:2014/08/17 08:33:09
>812
の強制法の解説って正確なのでしょうか?

843
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2014/08/17 10:11:19
>814を見よ

844
826[]   投稿日:2014/08/17 23:31:47
>826-829
ありがとうございます。西日本に住んでいます。京都大学が近いです。
推論と計算の構造、論理の限界、計算量の質の違いなど理論的なことが気になりますが、
プログラミングやソフトウェアや人工知能などの工学的なことは殆ど興味がありません…。
工学的なことを勉強するくらいなら寧ろ、整数論やトポロジーや微分方程式などのほうが好きです。
情報学科に入って、実用的な授業ばかりだったらどうしよう、と悩んでいます。
役に立たない、とは思いませんが、興味がないとツラそうです。
理学部数理論理学科があれば理想なんですが…。

845
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2014/08/18 00:15:16
いちおうRIMSには照井先生っていう
それなりに有名な偉い先生も居る
京大出身じゃないから学部時代からどれくらい関わりが持てるのかは知らんけど

846
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2014/08/18 13:14:35
>825
工じゃ数学の勉強は無理。
計算論も今や数学の基礎体力養わないと厳しい。

847
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2014/08/19 12:25:55
ぐだぐだ言わんと理学部行け

848
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2014/08/19 14:21:43
数学科に行って勝手に本読みまくればええんやで

849
826[]   投稿日:2014/08/19 17:09:14
みなさん意見ありがとうございました。
判断しかねるので照井先生にも訊いてみることにします。
コメント1件

850
狸 ◆2VB8wsVUoo [sage]   投稿日:2014/08/20 10:09:11


>20 :KingMathematician ◆LoZDre77j4i1 :2014/08/17(日) 08:52:07.23
> 自然数の 0, 整数の 0, 有理数の 0, 実数の 0, 複素数の 0, ring の 0 を述べなくてはなるまい.
>
>25 名前:KingMathematician ◆LoZDre77j4i1 :2014/08/19(火) 21:45:08.56
> 自然数の公理が知られている今は 0 は自明である.
> Ring の範囲で自然数から複素数に拡大できる.
> 公理的集合論で 0 をどう定義するかは集合論の事であり本来の数学の話ではない.
>
>27 名前:KingMathematician ◆LoZDre77j4i1 :2014/08/19(火) 23:55:07.47
> 公理的集合論より前にも数学はある.
>
>29 名前:KingMathematician ◆LoZDre77j4i1 :2014/08/20(水) 00:53:06.14
> Re:>28 零の法則を満たす. a+0=0+a=a.
>

851
132人目の素数さん[]   投稿日:2014/08/20 22:15:14
独立命題とは、その公理系から真偽決定不可能な命題で、
より高度な数学を用いれば解けるかもしれないんですよね?
それとも、どんな数学を使っても絶対に解けないのですか?

852
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2014/08/20 22:25:24
まずは真偽と証明可能反証可能の区別から

853
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2014/08/23 19:09:13  ID:Oi6s6nm+Y
数理論理学の初心者です。
ShoenfieldのMathematical LogicとEndertonのA Mathematical Introduction to Logicとではどちらがおすすめですか?

854
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2014/08/24 04:56:56
数理論理学の初心者です。
ShoenfieldのMathematical LogicとEndertonのA Mathematical Introduction to Logicとではどちらがおすすめですか?

855
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2014/08/24 08:43:48
Endertonの方が新しい分良いんじゃないの

856
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2014/08/25 22:05:18
マジレスするとレベルもかなり違う。

数学的議論を理解するための成熟度で言うと、
Endertonが学部低学年レベルだとするならShoenfieldは修士レベルくらいはある。
その代わりrecursion theoryとかモデル理論とか一階論理の特徴付けとかについては
Shoenfieldの方がずっと詳しい。
但し、何でもかんでも一冊で済ませる必要無いんじゃないのという説も、実はある。
不完全性定理についてはEndertonの方が新しいだけあって議論が整理されているはず。

新井敏康の数学基礎論もレベルはShoenfieldに近い。

もちろん英語の数学書が読める人じゃないとEndertonもShoenfieldも読めません。
全然違う本ですのでお金に余裕があれば両方買って本棚に飾っといても良いんじゃないでしょうか。

857
132人目の素数さん[]   投稿日:2014/09/02 09:51:47
束論を学びたいのですがお勧めの本やネット上のPDFなどを紹介頂けないでしょうか。
英語でもOKです。

858
ド狸 ◆2VB8wsVUoo [sage]   投稿日:2014/09/02 12:54:25


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ド狸 ◆2VB8wsVUoo [sage]   投稿日:2014/09/02 12:59:10


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132人目の素数さん[sage]   投稿日:2014/09/02 13:23:37
引っ込んでろクソ狸。
コメント1件

861
ド狸 ◆2VB8wsVUoo [sage]   投稿日:2014/09/02 14:30:04


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ド狸 ◆2VB8wsVUoo [sage]   投稿日:2014/09/02 14:33:12


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ド狸 ◆2VB8wsVUoo [sage]   投稿日:2014/09/02 17:29:43


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ド狸 ◆2VB8wsVUoo [sage]   投稿日:2014/09/02 17:33:48


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ド狸 ◆2VB8wsVUoo [sage]   投稿日:2014/09/02 18:14:31


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ド狸 ◆2VB8wsVUoo [sage]   投稿日:2014/09/02 18:18:25


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ド狸 ◆2VB8wsVUoo [sage]   投稿日:2014/09/02 18:21:33


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868
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2014/09/02 21:01:30
en.wikipediaから文献たどってけば良いんじゃないの
特にBurris & Sankappanavarの普遍代数の教科書は
GTMの本だけど、ネットからただでDLできる

869
132人目の素数さん[]   投稿日:2014/09/03 01:52:13
Davey & Priestley
Introduction to lattices and order
これよりわかりやすいのはない

870
ド狸 ◆2VB8wsVUoo [sage]   投稿日:2014/09/03 11:46:50


♯♯・♭♭・♯♯・♭♭・♯♯・♭♭・♯♯・♭♭・♯♯・♭♭・♯♯・♭♭・♯♯・♭♭・♯♯・♭♭
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♭♭・♯♯・♭♭・♯♯・♭♭・♯♯・♭♭・♯♯・♭♭・♯♯・♭♭・♯♯・♭♭・♯♯・♭♭・♯♯

871
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2014/09/10 09:17:53
ShoenfieldのMathematical Logicについて質問です.
20ページに出てくる記号⇔は,自然言語であるiffの略記なんですか?

872
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2014/09/11 22:58:45
押し入れからShoenfield出してきてチラ見した限りでは
だいたい858の言うとおりだと思って良いと思うよ。

ただ「A iff B」と「AとBは同値である」は、
形式論理的には同じだけどちょっとニュアンスが違って、iffは、
「Aであるのはどんな場合かというと、ちょうどBであるときだ」
という感じで、Aであるための条件に力点が置かれていることが多い。

「マジで?」が「それは本当にあった話なのですか?」と代替可能かというと
可能だとも、全然不可能だとも言えるのと同じ話だね。

873
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2014/09/12 01:20:28
iff は何と発音するのでしょうか
コメント1件

874
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2014/09/12 01:56:36
板書とかするときはちゃんと
if and only ifと読んだ方が良かろう

875
132人目の素数さん[]   投稿日:2014/09/12 09:32:18
シェーンフィールドの25ページ問題g)は脱字があると思うけどこんなことに
30分以上も考えてしまった。
他にも誤植があるし、訂正集みたいなものがあるといいな。
誰か知らない?

876
132人目の素数さん[]   投稿日:2014/09/12 13:29:39
>860 俺の大学時代の恩師は「イフフ」と読んでいた。

877
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2014/09/13 02:05:13
iffがどういう意味か知らないレベルだったら先に
「数学ビギナーズマニュアル」
http://www.nippyo.co.jp/book/6447.html
とかを最初に読んだ方が良い。
ドイツ文字一覧とかも載ってるから何気に役に立つ。

ロジックを勉強するとき限定の注意点としては、
論理屋は意外と数学の議論中の「任意の」を横着して∀xと「略記」したりしないということ。
というのも、ロジックでは「∀x」は論理式の一部としての文字列として扱うので
メタなレベルでの普通の「任意のx」と区別が付きづらくなるからね。

或る程度他分野の素養があってロジックを勉強したばかりの人は∀とか∃を○で囲って
区別してみたりする人も居るけど(俺も最初はそうだった)、
やがて逆に煩雑だと分かってやらないようになる

878
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2014/09/13 02:33:42
その本には発音の仕方も載ってるんですか?
コメント1件

879
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2014/09/13 03:11:28
iffはif and only ifの略で、if and only ifを定型的に日本語へ訳す時は
「〜であるとき、またその時に限って」
みたいに訳す、というようなことは載ってる。

a~はa ティルダと読む、みたいなことも載ってたと思う。
ただ実際の現場ではa ニョロとか適当に読んでる先生も多いし、通じればそれで全然問題無い。

iffも同じで通じりゃ何でもいい。「同値」でもif and only ifでもイッフフでも

880
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2014/09/14 10:28:36
EndertonのA Mathematical Introduction to LogicとMendelsonのIntroduction to Mathematical Logicとだったらどっちがいいんだろう

881
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2014/09/14 13:53:59
Mendelsonのほうがレベル上なはず

mathematical maturityの目安としては
Endertonが学部低学年向けなら
Mendelsonは学部高学年くらい

882
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2014/09/16 01:13:27
>801の本cumulative hierarchyの定義間違えてるね
 Vα := P(V<α) = P(∪_{β<α}Vβ)
とか定義してるからrank ωとかω+1のところで普通の定義とズレてくる。
それなのにVα := V_{β≦α} Vβが成り立つことが従うと書いてるけどこれは嘘。

著者の定義でこの後のrankとかnameとかの議論がずっと上手くいくのか確かめてないけど、
たぶん普通の定義でやらないとダメなんじゃないかな

通常の定義と少し変えているとは書いてるから、初めて集合論を勉強する読者は
変だと思った後、特別な意図があるのかも、と暫く考えて、
その後やっぱり変だと言うことで普通の教科書をもう一冊参照してこっちが正しいと気付くことになる。
やっぱりself-containedとはちょっと言えないね、

883
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2014/09/16 20:10:07
本屋で岩波数学入門辞典立ち読みしてたら
「ジェネリック」の項目に
 距離空間<X, d>とその可算個の稠密開集合の族U_iたちがあり、
点aに対して何か対象X_aがそれぞれ決まるような状況があったとする。
このとき任意のU_iに属すようなaに対するX_aをジェネリックなX_aという、

というようなことが書いてあるけど、これforcingのgenericと絶対関係あるよね。
微分可能力学系や特異点論でよく用いられるらしい。

wikipediaみるとPerter SarnakはP. Cohenの弟子らしい。
P. Cohenはforcing以前に
Cohen-Hewitt factorization theoremのような関数解析の業績があるし
それまでシカゴ大学でZygmundの下で解析学を研究してた人なので、
genericってこういう一般位相とか由来なのかな。

https://www.google.co.jp/#q=%22generic%22+%22metric+space%22

884
132人目の素数さん[age]   投稿日:2014/09/17 00:39:32
http://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Generic_set#Logic
こことかその他のとことか見たら答え書いてあった

範疇の方の(ω^ωじゃない方の)Baire spaceがあったとき、
性質 G を満たす要素と満たさない要素に分けて、
G を満たさない要素全体がmeagreである場合に G を generic な
(無印、通有的な)性質であると言うんだね。
arXiv:1003.5087
"The complementary of a meager subset of a Baire space is
said to be residual. At last, given a Baire space B, we say that a generic
element of B enjoys a property if the set of elements which satisfy this property
is residual."
forcingの場合はposetにlower topologyを入れている。

だからgenericを非天下り的に自然に導入したい場合は
先にカテゴリ定理関係の土地勘を養う必要がある。

そりゃCohenはそもそも解析学者で、
しかも連続体濃度の研究してたんだから、そりゃカテゴリ定理関係にも詳しくなるわって話だ

885
871[sage]   投稿日:2014/09/17 19:17:00
すいません訂正させて下さい
今日の午後分かったんですが、
posetにlower topology(Kunen新版などでいうposet topology)を
入れているというのはちょっと不正確で、実際はposetの超フィルタ全体のなすStone空間が
(たとえばposetが完備?ブール代数などの場合に?)
property of Baireをもつということのようです。
   ……情報源バレバレな感じですが。
新Kunenのp286とかp198に関連する情報があるようです。

886
132人目の素数さん[age]   投稿日:2014/09/17 19:37:13
強制法の勉強や講義って、
ゴーカートやオートマチック車に乗れれば十分な初心者なのに
かなりpeakyなtune upがされたレーシングカーに乗せよう/乗ろうとして
案の定クラッシュするというのが「あるある」みたいですね

第二不完全性定理は実はQでも証明できる、とかいうのも
ピーキーな例ですが、これに関しては、大抵の初心者は第一+第二のスケッチとかの
普通自動車レベルで満足する人が多いようです。健全ですね。
ω無矛盾を仮定するゲーデル版とロッサー版でも
AT車とMT車くらいの違いがあるように思います。

ルービックキューブの解法でいうと
ツクダオリジナル式(初心者用)と、
定石・アルゴリズムの数がやたら多い代わりに
スピードキュービング向きのLBL(layer by layer)法とかの違いも似ています。

強制法で言うならブール値モデル+ctmアプローチが初心者用、
Shoenfieldの現代式+forcing over Vアプローチがpeakyな競技用という感じでしょうか。

887
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2014/09/17 21:08:26
おまえら教えてくれ

リンゴ3個あります。一個を四分の1食べました。答えはいくつですか?

2と4分の1
12分の1
どっち?
コメント2件

888
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2014/09/17 21:21:17
>1参照

あとマルチはいかん

889
132人目の素数さん[]   投稿日:2014/09/17 22:21:31
>873
>第二不完全性定理は実はQでも証明できる

本かリンク教えて貰えませんか?
コメント1件

890
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2014/09/17 22:52:13
このスレの>89以降に書いてありますよ。
参考文献も挙がってます。

限定算術の議論により、という感じの話です。
たぶんBussのpdfの方が読みやすいと思います。
コメント2件

891
132人目の素数さん[age]   投稿日:2014/09/18 22:38:10
コンパクト性定理
純syntactical定式化、純semanticalな定式化両方あり

不完全性定理
純粋にsyntaxに関する定理
semanticalな解釈もあり、純semanticalな
定式化もあるかもしれないが見たことない

完全性定理
syntaxとsemanticsの関係を表現した定理

よって完全性定理が一番難しいと主張してみるテスト

オブジェクトな世界の外にメタな世界がありその外にメタメタな世界があり……
という説明は多くの場合syntax/semanticsの区別と
object/metaの区別を区別してないせいで妙なことになっている
コメント1件

892
877[sage]   投稿日:2014/09/18 23:14:07
>94でQでの第二不完全性定理は
普通の不完全性定理とちょっと感じが違うということが書いてあるけど、
要はnot【Q |- not 《Q |- Con(Q》】みたいな感じで
|- の入れ子の入り方が違うかもしれないということだと思います。
勉強するときはその点に注意して下さい。
(そしてどういう違いがあるのか、或いは違いは無いのか
分かったらよろしければ教えてください)

893
132人目の素数さん[]   投稿日:2014/09/18 23:17:06
「〜〜と言ってみるテスト」
懐かしい

894
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2014/09/18 23:17:34

895
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2014/09/18 23:18:20
あ、ごめん
誤爆した
コメント2件

896
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2014/09/18 23:32:20
力学系のgenericと強制法のgenericが関係あると言う話だけど、
CohenがChicago大学でPh.D.を取ったころ、
ちょうど4歳年上のStephen Smale(後のフィールズ賞受賞者)がChicago大に移ってきている
しかもCohenは調和解析(≒多様体上のフーリエ解析)をやっていたわけだから
かなり近い分野の研究者だったはず

これってかなり重要な話だと思うんだけど、Smaleはもう84歳だから
早く聞いとかないと手遅れになる気がする
誰か聞いてきてくれないかな

897
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2014/09/19 01:05:40
>878
> 不完全性定理
> 純粋にsyntaxに関する定理
> semanticalな解釈もあり、純semanticalな
> 定式化もあるかもしれないが見たことない

Smullyanの不完全性定理のモノグラフ(Oxford Univ. Press から出版され日本語訳も丸善から出てたもの)の
不完全性定理の抽象的というか一般的な特徴付けとそれに基づく定式化は純semantical だったと思うが。

898
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2014/09/19 01:21:50
そうでしたっけ?
いま関西だけど帰宅したら確認してみます
ありがとうございます

899
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2014/09/20 00:59:34
今確認しました
Xが証明可能なのをBXと表す、という感じなので
これがsenamticsなのか分かりませんが、
良く考えてみれば第二不完全性の(限定的な場合の)
純粋な集合モデルの存在の有無を言う証明は見たことありました
両方ありでした

900
|- |= ||- ◆9sKb4E4v3fcJ [sage]   投稿日:2014/09/20 08:06:11
Cohenは数学のさまざまな分野に手を出そうとした人だ、
というイメージが巷間では持たれている。
ちょっと上でZygmund云々調和解析云々と書いたように
集合論に興味を持ったきっかけは実はCantorのそれに近いと思われる。
そしてforcing発明の後はRiemann予想を解こうとしたなどと言われているけど
Riemann予想は解析的整数論の予想で、三角級数に関する
深い知識などがすごく活きそうな分野だということに注意する必要がある
(Riemann予想についての本とか解析的整数論の本を
ちょっと眺めてみれば納得できると思う)。

Cohenは、集合論の研究に焦点が当てられる事が当然多いけど、
彼は、少なくとも彼の自意識としては生涯に亘って解析学者だった。
そして基本的には、解析学者の自分だったら解けるかもしれない問題だ、
と思ったときにその問題にトライしようとしている。

それにしてもホントに、フーリエ解析は底無しやで

901
132人目の素数さん[]   投稿日:2014/09/20 08:59:49
>887
コルモゴロフもフーリエ級数と数理論理学で業績をあげているが、その内的関連はあまり考察されていないようだ。

902
132人目の素数さん[]   投稿日:2014/09/20 09:04:28
>887
最初の2行の巷間のイメージは正しいということだな。
色んな分野に手を出す人は、大概狭い分野でのしっかりした技術を他の分野で応用している。

903
|- |= ||-[sage]   投稿日:2014/09/20 09:11:54
上のgenericうんぬんは、どうも日本でこの疑問に答えられる人居なさそうなんだよねー

SarnakのCohen追悼記事、KanamoriさんのCohen記事と渕野先生の記事読んで
discovery再読して分かんなかったらどっか英語の場所で聞いてこよう。
海外にも居なかったら、世界でこの事に気付いたのは
俺が初めてだということになるけどまあ多分居るでしょう。

904
132人目の素数さん[]   投稿日:2014/09/20 09:34:36
>890
ジェネリックへの言及は複数箇所ありますが、どれのことを言っているのでしょうか?
コメント1件

905
132人目の素数さん[]   投稿日:2014/09/20 09:36:30
>890
渕野さんは日本にいる。
渕野さんの文章を読もうとするのは矛盾してないか?

906
|- |= ||-[sage]   投稿日:2014/09/20 09:36:45
>889
ヒルベルトも実はそうなのではないか、
というようなことを林晋先生が研究テーマにされてますね。
若いころの抽象代数的な数学観が彼の数論の業績にも
基礎論の業績にも解析学の業績にも基礎となっているのではないか、という。

幾何学の発展とは残念ながらあまり合いませんでしたけどね。

907
|- |= ||-[sage]   投稿日:2014/09/20 09:42:09
>891
Cohenのgenericの定義は
とくにproperty of Baireを持つ空間におけるgeneric
(岩波数学辞典第四版の力学系関係のところに載っている奴です)
とのアナロジーから出て来たという話です。

ただのアナロジーではなくて(モデルへのcodabilityの観点を除いて)
数学的命題レベルで似た事が成り立ちます。

いけがみ先生はSpecとgeneric pointと似ているという話をされていて、
僕は代数幾何は良く知らないので良く分からないのですが、
力学系とか関数空間で使うgenericの方が似ているような気がします。

908
132人目の素数さん[]   投稿日:2014/09/20 09:48:56
自分の全く理解していない世界を勝手なイメージでよくどうどうと語れるなw

>Riemann予想は解析的整数論の予想で、三角級数に関する
>深い知識などがすごく活きそうな分野だということに注意する必要がある
>(Riemann予想についての本とか解析的整数論の本を
>ちょっと眺めてみれば納得できると思う)。


でたらめ

909
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2014/09/20 09:49:39
あ、
「力学系とか関数空間で使うgeneric」
というのは
「property of Baireを持つ空間におけるgeneric」
のつもりで書いてます

910
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2014/09/20 09:51:12
>895
一応、活き「そう」としか書いてませんけど、それはともかく
どうしてでたらめだと思われるのですか?
コメント1件

911
132人目の素数さん[]   投稿日:2014/09/20 09:52:15
>895
そこは全くの出鱈目とは思わない。

912
|- |= ||-[sage]   投稿日:2014/09/20 09:54:56
あ、あとSmaleとの絡みについては
Kanamori先生が記事にちょっと出てくるようですね

まだ読んでないですが
コメント2件

913
132人目の素数さん[]   投稿日:2014/09/20 09:57:11
青土社「アメリカの数学者たち」のコーエンのインタビューに、
強制法を思い付いた過程について語っていたように記憶する。
コメント1件

914
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2014/09/20 10:02:57
数学は集合で書けるから集合論の深い知識が活きそうとかと同じ主張

915
132人目の素数さん[]   投稿日:2014/09/20 10:11:48
有限生成群はケイレイグラフで表されるから距離空間の深い性質が使えそう、は実りある発想であった。
コメント2件

916
|- |= ||-[sage]   投稿日:2014/09/20 10:12:33
数学は集合で書けるというのは
きちんと書くとZFCは代数学や解析学の研究対象モデルを与えることができる
という意味ですから、まあ活きるとこでは活きるんですけどね

(そして集合論の専門家以外の人がforcingを使いたい場合
forcing over V approachはオーバースペック過ぎると思います。
Calkin代数関係とかもそうですが、ZFCを使って独立命題を示そうという
最近の流れでは集合論プロパーと解析などが専門の人が
協力して研究しているように思います。
ShelahのWhitehead問題の場合は、彼自身が代数学に比較的詳しかったのが効いてますが)

ただ「三角級数に関する」は確かにさすがに我ながら狭過ぎますねえ
関数解析的観点とかも大事みたいですし、
「解析学に関する」くらいに読み替えといて下さい

917
|- |= ||- ◆9sKb4E4v3fcJ [sage]   投稿日:2014/09/21 08:08:33
nowhere denseとかmeagreとgenericの間にどうして強いアナロジーが成り立つか
keyとなりそうなpoint見つけたのでメモしとく。

p.o. Pから完備Boole代数を作るときには
Pのlower topologyについてregular openな開集合全体を
集めて来てB := r.o.(P)を取ったりする。
regular openな開集合をとるというのはつまり、任意の x に対して
その閉苞の開核x^-°を取るということである。

一方でnowhere dense(至る所非稠密)であるというのは、x^-°=&Oslash; であることで、
つまりこの操作で潰されてtrivialなものになってしまうということ。
閉苞開核作用素 ・^-°の一種のkernelのような感じ。

nowhere denseであればその補集合は任意のdense setと交わる(定義からほぼclear)。
meagre setもnowhere denseを高々可算個集めたものだから、
或る意味でnegligibleであってほしいというニュアンスは変わらないけども、
そのためには全体の空間が何かしら理想的な条件(i.e. property of Baire)を持つことが必要になる。

918
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2014/09/21 08:09:27
竹内外史先生の「現代集合論入門」はこのあたりのことがかなり詳しいので
それだけの為に僕はこの本を買って手元に置いてます
コメント1件

919
132人目の素数さん[]   投稿日:2014/09/21 20:46:46
みなさんアマチュアの方ですか?>904-905

920
|- |= ||- ◆9sKb4E4v3fcJ [sage]   投稿日:2014/09/21 21:53:07
僕は数学や論理と関係無い学科で学士号を得て
数学や論理と関係無い仕事をしていますので定義上amateurの人間です。

ただ、どうも今考えている事に関してはsemiproくらいの理解はあると言わざるを得ないようです。

関係ある講義と言えば教養の頃二つ専門の頃一つくらいしか受けた記憶がありません。
あとは研究結果の出版バイアスや科学研究上の研究不正などについて
学部の頃の授業で習ったりしたことが記憶にありますが、その程度ですかね。
ただし大学の図書館は充実していたので、学部の頃から
数学科やCSの学部の図書館にお邪魔して本を借りたりはしていました。
コメント1件

921
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2014/09/21 21:57:54
すいません、論理と関係無い学科というのは
論理学の研究と関係が薄い学科、くらいにしといて下さい。

論理と関係無い仕事も同様です。

論理的思考の能力が役に立たない仕事などほとんどありません。

922
906[]   投稿日:2014/09/21 23:04:57
なぜアマかって言ったのは
少なくとも日本の数学科卒ではないなと上の書き込みみて感じたので。
例えば代数学とか解析学と基礎論の関係のはなしがよくでるんだけど
基礎論の人のいう代数とか解析ってのが我々の興味とやっぱり違う
あとWhitehead probremってのはマイナーでほとんど知らないだろうけど
学部までで誰でも理解できるものだし
結局基礎論の人の言う代数って代数的な様式を借りた集合論なんだと思う
関数解析の件についても明らかに解析学でやる関数解析とは目的が違う
(これは批判じゃないけど、やっぱり文章読んでて根本的に違う方向向いてるなーって感じるんですよね

923
^-° ◆uMXNrRFQ7uPT [sage]   投稿日:2014/09/21 23:33:49
なんかAAっぽくて可愛いので名前にしました。

やはりロジックの人間は(日本の数学科卒院卒であっても)
ZFCから独立っぽい部分に興味を持ち、そんな匂いがし出すと目を輝かせるような所はありますね。

いっぽう普通の数学者は、普段の数学がZCの中とかのかなり弱い集合論で
行えるという感覚が体に染みついているから、そういう命題の存在は例外的現象だと感じてしまう
(集合論の強弱の感覚や、命題の存在・非存在自体を
数学的現象だと捉える視座がそもそも無いかもしれません)。

ちなみにロジシャンの中には、普通の数学のなかになぜ独立な命題などが
こんなに「少ない」のかに興味を持って思索されている人なども居ます(J. Avigadなど)。
というのも、決定不可能性や独立命題はロジシャンにとって
有理数でない実数と同じくらい、至る所にありふれたものだからです。

>明らかに解析学でやる関数解析とは目的が違う
そうでしょうね。
数論の偉い学者などが、不完全性定理があるからこれは独立かもしれない、
と到底、論理学的に独立でなさそうな命題について喋ったり、
或いはPenroseが、停止問題があるから人間の心は機械より優れているのだ、
とか妙な事を主張したりするのを見ると、折角ロジックに興味を持ってくれていて
嬉しい半面、たいへん複雑な気持ちになりますね。

ロジックは分析哲学とも数学とも計算機科学とも言語学とも関係ある分野ですので
非常にinterdisciplinaryで独特の味がある領域で、非常に面白いですよ。

924
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2014/09/22 10:00:14
関数解析(笑笑笑)

925
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2014/09/24 00:44:39
Bachman-HowardのHowardがAndre Weilの学生だったって本当だろうか
Weilの下で何を研究してたんだろう
謎過ぎる

926
132人目の素数さん[]   投稿日:2014/09/24 10:39:22
>910
>到底、論理学的に独立でなさそう

こういう感覚って、ロジックをやっていると身に付くものなんですかね
コメント1件

927
132人目の素数さん[]   投稿日:2014/09/24 15:11:03
>912
CohenがZygmundのry
コメント1件

928
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2014/09/24 16:17:50
>912
竹内さんが、Weilは「こんなアホでもlogicの学位は取れる」ことを証明するために、
誰か(忘れた)にlogicをやらせた、というような毒舌を吐いてたが、この人のこと
じゃないだろうな
Weilを首になってMacLaneに救ってもらったとか?
向こうじゃ、誰かから破門されたが別の教授から学位貰った大物とか知っている。
コメント1件

929
132人目の素数さん[]   投稿日:2014/09/24 19:12:38
基本は放置新聞

運営乙

930
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2014/09/25 19:02:31
>915
Harish-ChandraはDiracに破門された(というのは語弊があるが)がColumbia U.でChevalley
に救われた。実解析のE.S.はそのH-Chに破門されたが,シカゴに行ってZygmundに救われた、
とかいう話しか

931
132人目の素数さん[]   投稿日:2014/09/25 23:41:48
最近の基礎論ってどんな感じのことがはやってんの?
arxivとかみて

932
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2014/09/25 23:53:16
うえで力学系がどうとか言ってたものですが、
KanamoriさんのCohenについてのpdf読んでたら
上で僕が書いた事は九割がた書いてありました。

forcingの数学史的起源はBaireのカテゴリ定理や、
C[0,1]にsupノルムを入れた空間のなかで至る所微分不可能な
連続関数がco-meagerに存在するというStefan Banachの定理
(Baireのカテゴリ定理を使うと簡単に証明できるらしい)
それから時代的にだいぶ近いところからSmaleの安定多様体の理論の三つくらいが挙げられるが
最後のものは本当に影響があったのか微妙だ、という事のようです(詳細は原文参照)。

co-meagerとgenericが非常に似ていることはほぼ常識みたいな扱いのようです。

なんだかお釈迦様の掌の上を飛んでいる孫悟空の気分になりました。
Kanamori先生が集合論の一流の研究者とされる理由の一端を垣間見た気がします。

Kanamori先生のサイト見てみたら、
誰々 and set theoryシリーズがちょっと前はCantorとかZermeloとかだったのに
なんか最近ではKunen and set theoryとかLaver and set theoryとか
Erdos and set theoryとかになっててビビります

933
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2014/09/25 23:56:23
>918
一流誌に近いのはJournal of Symbolic Logicとか
Annals of Pure and Applied Logicとか
Notre Dame Journal of Formal Logicとかになるのかなあ

934
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2014/09/26 15:58:26
CoqってInductiveで定義した型TからT_rectとかT_indを自動生成するけど、
そのアルゴリズム知っているエライ人いたら教えてちょ。
理論的背景も知りたいなあ。

935
132人目の素数さん[]   投稿日:2014/09/29 17:35:48
健全でない言葉が含まれているため表示しません 内容を確認する

936
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2014/09/29 20:42:01
2chの長文読むのなんて義務でも何でもないんだから
読みたくないなら読み飛ばせば良いのに

書評全体の分量は6頁くらいみたいだけど
「数学」の書評としては標準的な分量だと思うけどね
内容は読んでないから知らんけど、一文が異常に長いのかな
まるでWeylの英文みたいだな

937
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2014/09/30 16:24:35
読んでみたけど、かなり細かく内容整理してる書評だった。
購入判断を下すのにとても参考になる書評だと思ったがね。

まあ購入後に役立つまとめ兼インデックスみたいな感じで、
書評に徹するには無駄な記述が多く、読みにくいと言われるのも分からんでも無い。
コメント1件

938
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2014/10/05 20:00:01
>913
身に付きます
WHAT IS ... Forcing? by Thomas Jech
http://www.ams.org/notices/200806/tx080600692p.pdf
より最後あたりを引用

A word of caution: If after reading this you entertain the idea that
perhaps Riemann Hypothesis could be solved by forcing, forget it.
That conjecture belongs to a class of statements that, by virtue of
their logical structure, are ABSOLUTE for forcing extension:
such a statement is true in the generic extension M[G] if and only if
true in the ground model M. This is the content of
Shoenfield's Absoluteness Theorem.

939
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2014/10/11 01:39:14
ShelahとWoodingとかを考えたときに
Shelahがforcingに詳しいと言うのは、恰も、
F1レーサーとマシンメカニシャンではレーサーの方が
エンジンの事をよく知っていると言うような話で大変一面的だと思う

940
132人目の素数さん[]   投稿日:2014/10/11 18:58:39
関西で数学基礎論・数理論理学を専攻したい場合、お勧めの大学院はどこですか?入試対策なども含めて教えてください。

941
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2014/10/11 19:32:19
ここんところ数理論理学の出版が多い

今度こそわかる論理 数理論理学はなぜわかりにくいのか 本橋 信義 (著) ¥ 2,916
学んでみよう! 記号論理 単行本 高崎 金久 (著) ¥ 2,700
数理論理学―合理的エージェントへの応用に向けて 加藤 暢 ¥ 3,024
不完全性定理 菊池 誠 ¥ 4,860
スマリヤン 数理論理学 述語論理と完全性定理 村上 祐子 (翻訳) ¥ 3,240

942
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2014/10/11 20:16:31
>928
本橋さんのは数理論理学と言えるかどうか。
彼の本は意味不明な記述があるからね。
例えばゲーデルの不完全性定理は計算可能性とは無関係で
計算可能性と関係があるのはゲーデルの完全性定理のほうだとか。
確か彼が岩波から出した最初のロジックの本にそういう趣旨の記述があったと記憶しているが。
誰か彼がその本で上の趣旨の箇所で言わんとしていたことを理解している人がいたら
解説してくれれば幸いだ。
というわけで、私には本橋さんの本は数理論理学の本とは思えん。
まあ彼独自の哲学と考えればいいのかも知れんが
私も含めて多くの人間が数理論理学の教科書・参考書・解説書に求める客観性や明晰性に欠けると思う。
コメント1件

943
132人目の素数さん[]   投稿日:2014/10/11 20:19:27
戸次さんの本はどうですか?

944
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2014/10/11 20:38:10
スマリヤンの一階論理の訳が出るんだ

>927
分野によるとしか言いよう無いけど
関西周辺だと神戸名古屋くらいが有名かなあ
京大はよく分からん

945
初心者[]   投稿日:2014/10/22 07:58:09
数理論理学をやるのに神戸大学とNotre Dameのどちらがいいですか?
http://math.nd.edu/research/research-groups-in-mathematics/logic...

946
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2014/10/22 14:13:51
数理論理学をやるのに神戸大学の間違って理学部に行ったらおもしろいのに

947
132人目の素数さん[]   投稿日:2014/10/23 22:15:17
カリー化とは何か?

948
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2014/10/23 22:57:25
二変数函数を一変数函数値一変数函数と思う

949
132人目の素数さん[]   投稿日:2014/10/24 18:26:11
f(x,y)=(fx)y

950
132人目の素数さん[]   投稿日:2014/10/25 10:05:53
最近シェラハがクリーチャー強制法とかいうヤバい概念を提唱したらしいよ
http://arxiv.org/pdf/math/9807172v1.pdf

しょっぱなからQ^*_s∞(K,Σ)強制法とか使っててかなりハードな感じ。
コーエン実数の(f,g)有界とかも登場してる。
これからの進展が楽しみだわ。

951
132人目の素数さん[]   投稿日:2014/10/25 11:09:10
>937
「ヤバい」とか怪しげな事を言い出すのは止めてくれ

952
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2014/10/25 12:21:18
937の理解は怪しげなだけじゃなくて
真実、怪しいというかあやふやだから仕方ない

953
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2014/10/25 12:21:52
つうか「最近」って16年前の論文かよ おいおい

954
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2014/10/25 21:19:31
環とか体なんていう超難解な概念

955
132人目の素数さん[]   投稿日:2014/10/25 23:10:31
菊池の不完全性定理立ち読みしたけど最高だった
ここで話題になった限定算術とかランダム性とか
チャイティン版の定理の関係とかすごい詳しい
入門書としても過去最高
特に第二あたりのごたごたとか暗いぜるの注意とか
議論になりそうなところを徹底的に解説してる
コメント1件

956
132人目の素数さん[]   投稿日:2014/10/25 23:19:15
クライゼルの注意

957
132人目の素数さん[]   投稿日:2014/10/26 22:25:08
>915
Weilはオレオレ君だからいちいち真に受けると発狂するよw


958
132人目の素数さん[]   投稿日:2014/10/26 22:42:23
>942
後から出すほうがいろいろ情報盛り込めるのは当然
ま、でも読みどころは1章と9章だな
著者の主張に賛同するかどうかはともかくとして
今までああいうことを正直に書く人はいなかったから

959
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2014/10/27 07:05:29
え?逆だろ
俺は1章と9章はスルーで良いな、って目次見て判断したんだが
コメント1件

960
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2014/10/28 02:47:28
目次を見て判断するに、1、8、9章以外は、どこにでもある標準的な解説だと思うけど

961
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2014/10/28 07:06:30
お前ら目次だけでよく語れるな

962
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2014/10/28 11:18:25
この程度でよく語ってるように見えるなんて、どんだけ口数少ないのよw
コメント1件

963
132人目の素数さん[]   投稿日:2014/10/28 12:43:27
>849
日本語は苦手ですか?諦めずに頑張ってください。諦めたらそこで人生終了ですよ。

964
132人目の素数さん[]   投稿日:2014/10/28 23:38:05
 
お世話になります。
私、責任者の加茂と申します。以後、宜しくお願い致します。
http://www.apamanshop.com/membersite/27009206/images/kamo.jpg
浪速建設様の見解と致しましては、メールによる対応に関しましては
受付しないということで、当初より返信を行っていないようで、今後につい
てもメールや書面での対応は致しかねるというお答えでした。
 
このように現在まで6通のメールを送られたとのことですが、結果一度も
返信がないとう状況になっています。
 
私どものほうでも現在までのメール履歴は随時削除を致しております
ので実際に11通のメールを頂戴しているか不明なところであります。
 
弊社としましても今後メールでのやり取りを差し控えたく、浪速建設様
と同行の上でお会いさせていただきたい所存です。
 
・ブラックロックシューター
 http://s-at-e.net/scurl/BRS.html
・ベヨネッタ
 http://s-at-e.net/scurl/BAYONETTA.html
・風ノ旅ビト
 http://s-at-e.net/scurl/JOURNEY.html
 
http://s-at-e.net/scurl/kabetokyojinto.html

965
132人目の素数さん[]   投稿日:2014/10/29 00:03:52
 
・2012
 http://s-at-e.net/scurl/2012.html
・プロメテウス
 http://s-at-e.net/scurl/Prometheus.html
・アバター
 http://s-at-e.net/scurl/Avatar.html
 
大阪府八尾市上之島町南 4-11 クリスタル通り2番館203
に入居の引きこもりニートから長期にわたる執拗な嫌がらせを受けています。
この入居者かその家族、親類などについてご存知の方はお知らせ下さい。
hnps203@gmail.com
コメント1件

966
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2014/10/29 00:39:49
[転載禁止] スレ立てるほどでもない大会・海外卓球リーグ84?2ch.net
スレ立てるほどでもない大会・海外卓球リーグ84 /卓球板
ここで暴れてる247の知識ってホンモノなの?
コメント1件

967
132人目の素数さん[]   投稿日:2014/11/01 06:16:27
>920
アメリカ数学会の提供しているMCQ(直近5年の被引用率)によると
論理の雑誌で0.4を超えているのは以下の2つ

Journal of Symbolic Logic
Annals of Pure and Applied Logic

0.3台の(2流雑誌?)が

Bulletin of Symbolic Logic
Archive for Mathematical Logic
Journal of Mathematical Logic

ノートルダムは0.2台の三流雑誌だ

968
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2014/11/01 11:03:50
哲学とか数学の雑誌の評価するときにIFとかMCQとか持ちだすのは何だかなあ、と思う

象牙の塔の典型例みたいな学問だからね
コメント2件

969
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2014/11/01 16:26:04
Journal of Mathematical Logicって
ロジックにも高IFの雑誌を作ろうという意図があったと聞いたが。
引用される頻度で見る限りその企て失敗していたんだな。
コメント2件

970
132人目の素数さん[]   投稿日:2014/11/01 19:36:12
68歳の文系の人間ですが、矛盾許容論理というものを、文系にもわかるような、
公式を使わない文章で教えてもらえませんか?
4日ぐらい考えてみたのですがよくわかりません。
背理法ならわかるのですが。

971
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2014/11/01 19:54:46
「公式を使わない文章」というのが何を言いたいか分からないですが、
論理式を使わないと良く分からないですよ。

式を使うのが完全に無理なら諦めた方が賢明かと思います。

972
132人目の素数さん[]   投稿日:2014/11/01 20:56:10
>955
そういう指標と関係なしに
「APALとJSLがツートップで、AMLとかBSLがそれに続く」というのは
分野の誰もが認めることじゃないかな?
MCQはその共通認識に合致しているみたいだから
個人的に信用できると思ったのだが。
コメント1件

973
132人目の素数さん[]   投稿日:2014/11/02 22:24:59
>> 957
全然難しくないですよ。
真でも偽でもあるような命題があることを容認すればよいだけです。

974
^-° ◆uMXNrRFQ7uPT [sage]   投稿日:2014/11/03 18:44:20
菊池誠「不完全性定理」買ってきて1章と9章読みました。
著者が一番書きたかったのはたぶん9章でしょうか。

専門家にとってはfolklore同然だが初学者にとっては躓きの石となる
多くの点について、きちんとした言葉で説明がされている本です。

また、分析哲学についても或る程度ちゃんとした
内在的理解をもって書かれた本だと思います。

個人的には「数学とは何か」を考えるのに、
物理的現実との驚異的対応という現象を救わない議論は十全とは、
言い難いと思いますが、ロジックや哲学の専門家はこういう話題は苦手ですね。


1.1 Russelのantinomyとは、要は「内包公理の否定」が述語論理の定理だということで、
 これを導出するときに外延性公理を持ってくる必要は無いでしょう。
 日常語をできるだけ用いずに形式的に論理式で命題を表現すると分かりやすいはず。

1.2 Browerの直観主義において排中律は原理ではなく、原理や動機からの帰結である、
 ときちんと明記してあります。

1.3 20世紀前半の数学基礎論論争は(広義の)形式主義の実質的勝利だと明記されています。

975
^-°[sage]   投稿日:2014/11/03 18:44:59
9.1 truth theoryの専門家の若手の某先生も仰っている事ですが
 parodyやomageの作法に則って居ないように思われます。
 文学理論の基礎的な話で、分析哲学ではないですが。

 sacred⇔profaneのメトニミーは、個人的に非常に重要な話題だと思います。
 van DalenのLogic & Structureの序文にあるみたいですね
 "I have come to accept this viewpoint as the didactically sound one: before
 going into esoteric niceties one should develop a certain feeling for the
 subject and obtain a reasonable amount of plain working knowledge."
 このスレでも上の方で先駆者はesoteric (sacred)であるが
 徐々にdidactically sound(profane)になっていくというような話がありました。

9.2 Tarskiのtruth clausesに明晰でない部分がある、という話です。
 Hamkinsさんとかも似たような問題意識を持っている気がします。

9.4 WoodinのΩ論理がちょっと触れられています。私はΩ論理は全く知りません
 (一応Woodinとか依岡先生の雑誌の記事は持ってます)。
 でも、Woodinは"syntax"という用語を普通の数学者の想像も付かないような
 意味で使っているのではなくて、forcingのmechanicsやBaire性について普通の数学者より
 遥かに深い理解を持っている為に、 |-Ω が、普通の |- の類似物に見えている、
 と考えるのが常識的じゃないかなあ…… 実際、命題としては類似した性質が成り立つわけですし。

9.5- Quineの、定義は「同義性の報告」「解明」「名付け」の3通りに分類できると言う話がひたすら
 適用されています。この節以降は僕はQuineの論文を読んだことが無いので、
 どうして術語の多義性がこんなに批判されるのか、ちょっと良く分かりません。
 Quineのtwo dogmasを読んでから再読するかもしれません。
 
 個人的には、言葉が多義的でその境界が不分明であるのは当たり前の話であるように感じます。
 菊池先生も丸山圭三郎「ソシュールを読む」を参考文献に挙げていらっしゃいますが、
 共時的に意味があるのは語間の差異のみであって、さらにその差異性は常に揺らいでいるのです。

976
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2014/11/03 19:09:24
範疇的でないことって何だか不安を誘うよね

977
132人目の素数さん[]   投稿日:2014/11/03 21:40:58
>962
メトニミー とは換喩(かんゆ)のこと
2ちゃんねるの隠語はメトニミーが多いですね

978
132人目の素数さん[]   投稿日:2014/11/04 21:18:42
ま、ぶっちゃけ、ペアノ数論みたいにテキトーな自然数の定義しといて、
無矛盾だと、無矛盾性が証明できない、ああ困った、とかいうのは、
なんつーか、自業自得というか、身から出た錆といえなくもない。

979
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2014/11/04 21:48:22
じゃあ>965がまず
適当じゃない自然数の定義をお願い
コメント1件

980
^-°[sage]   投稿日:2014/11/04 21:54:35
菊池先生の「不完全性定理」には、
第二不完全性定理によってロジシャンが大変困ってしまった、
というようなことは全然なくて、寧ろ二十世紀数学にとって、
一つの悟り、諦観、諦め=明らめであったというようなことが書いてます。

実際この本を読んでいて、僕は、高校や大学の頃に
不完全性定理を初めて学んだときに感じた、
目の前に未だ全く見た事がなかった世界が広がっていく
感動的な興奮を少し思い出しました。
コメント1件

981
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2014/11/04 23:26:15
論理式を定義するときに、次のような定義をよく見かけますが

(1)原子式は論理式である
(2)A∧B、A∨B、・・・・は論理式である
(3)(1)と(2)によって論理式とされるもののみが論理式である


(3)の定義の必要性ってなんでしょうか?
(3)が無くても十分論理式が定義できているように思います

982
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2014/11/04 23:37:56
(3)がないと
 ∧A(BC∨D(
は論理式かも知れないし、そうでないかも知れない、
ということになります。でも、こんな滅茶苦茶な記号列
論理式じゃないと言い切ってしまいたい訳です。

983
132人目の素数さん[]   投稿日:2014/11/05 00:17:15
>968
if and only if のonlyと同じでしょ

984
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2014/11/05 00:40:54
当たり前のことだけど、Fという概念を定義するためには ∀x(Fx⇔Gx) の形の主張をすることになる。
しかし、慣習として定義文は「xがGのとき、xをFと呼ぶ」というふうに省略して書くので、
見た目の上では ∀x(Gx⇒Fx) の形の主張になっている。

>968では(1)(2)が ∀x(Gx⇒Fx) に相当する。
厳密には逆向き ∀x(Fx⇒Gx) に相当する(3)も書かなければならない。

985
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2014/11/05 00:54:35
>926
フォーシングのマシンメカニシャンって誰・どういう人たち?

986
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2014/11/05 01:36:59
>969-971
逆向きに考えると>969のようなことになってしまうので、きちんと定義したいということですね
しっくり来ました
ありがとうございます

987
132人目の素数さん[]   投稿日:2014/11/06 07:06:28
>966
第二不完全性定理を避けるなら、最後の数が必要だね。
「nが自然数なら、n+1が自然数」というような形じゃ
どうしようもない。

988
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2014/11/06 12:04:33
>959
長い論文ではAPALが最高峰で
短い論文についてはJSLが最高峰と聞くが?
そういう住み分けがあるんじゃない?
(短くてAPALに載った論文とか
長いJSLの論文がしょぼいってことはないんだろうけど)

989
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2014/11/06 18:00:33
>972
横からだがたぶんウディンとかってことじゃ?

990
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2014/11/06 22:37:51
どっちかというと
シェラーの方がマシンメカニシャンで
ウディンがレーサーじゃないかなあ

991
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2014/11/06 23:04:54
どうして?
独立命題という(ZFC主義者にとっての)ゴミを取り除いていって
ZFCからの真理を探そうとするところは気質的にはそうかもね

992
132人目の素数さん[]   投稿日:2014/11/08 22:17:14
カリー化って何のためにするの?その利点は何なの?

993
132人目の素数さん[]   投稿日:2014/11/09 00:21:57
>979
値が何でもすべてが1変数関数として扱える

994
132人目の素数さん[]   投稿日:2014/11/09 20:29:57
>980
ありがとう。
だけど、すべてが1変数関数として扱えるとなにがいいの?
カリー化することのデメリットはなに?
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