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不等式への招待 第8章 (1976)
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不等式への招待 第9章 (314) スレ作成日時:2017/09/13 11:20:03
過去ログ 不等式への招待 第9章 (314) 2017/09/13 11:20〜
表示中 不等式への招待 第8章 (1001)
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1
不等式ヲタ ( ゚∀゚)[sage]   投稿日:2017/06/25 17:20:59  ID:dLSgUfzK.net(18)
ある人は蝶を集め、ある人は切手を収集し、ある人は不等式を集める…
          ___          ----- 参考文献 和書[3] P.65 -----
    |┃三 ./  ≧ \   
    |┃   |::::  \ ./ | 
    |┃ ≡|::::: (● (● |  不等式と聞ゐちゃぁ
____.|ミ\_ヽ::::... .ワ......ノ     黙っちゃゐられねゑ!
    |┃=__    \           ハァハァ…
    |┃ ≡ )  人 \ ガラッ

まとめWiki http://wiki.livedoor.jp/loveinequality/

過去スレ
・不等式スレッド (第1章)数学板の別スレッドへ
・不等式への招待 第2章 数学板の別スレッドへ
・不等式への招待 第3章 数学板の別スレッドへ
・不等式への招待 第4章 不等式への招待 第4章
・不等式への招待 第5章 不等式への招待 第5章
・不等式への招待 第6章 不等式への招待 第6章
・不等式への招待 第7章 不等式への招待 第7章
・過去スレのミラー置き場 http://cid-d357afbb34f5b26f.skydrive.live.com/browse.aspx/.Public/

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コメント3件


2
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/06/25 17:21:50  ID:dLSgUfzK.net(18)
不等式の和書
[1] 不等式(数学クラシックス11),ハーディ・リトルウッド・ポリヤ,シュプリンガー,2003年
   http://amazon.jp/o/ASIN/4431710566
[2] 不等式(数学選書),大関信雄・青木雅計,槇書店,1967年(絶版)
[3] 不等式への招待(数学ゼミナール6),大関信雄・大関清太,近代科学社,1987年
   http://amazon.jp/dp/4844372661
[4] 不等式入門(数学のかんどころシリーズ9),大関清太,共立出版,2012年
   http://www.kyoritsu-pub.co.jp/bookdetail/9784320019898
[5] 不等式入門(数学ライブラリー教養篇4),渡部隆一,森北出版,2005年
   http://amazon.jp/o/ASIN/4627010494
[6] 不等式の工学への応用、海津聰、森北出版,2004年
   http://amazon.jp/o/ASIN/4627075812
[7] 不等式(モノグラフ4),染取弘,科学新興新社,1990年
   http://amazon.jp/o/ASIN/4894281740
[8] 不等式 〜 21世紀の代数的不等式論 〜,安藤哲哉,数学書房,2012年
  http://amazon.jp/dp/4903342700
[9] 美しい不等式の世界: 数学オリンピックの問題を題材として,佐藤淳郎(訳),朝倉書店,2013年
  http://amazon.jp/dp/4254111371
[10] 思考力を鍛える不等式(大学への数学・別冊)、栗田哲也、東京出版、2014年
  http://www.amazon.co.jp/dp/4887422091/
コメント21件

3
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/06/25 17:22:38  ID:dLSgUfzK.net(18)
不等式の項目を含む和書
[1] 数学トレッキングツアー第3章「相加平均≧相乗平均」,東京理科大学数学教育研究所,教育出版,2006年
   http://amazon.jp/o/ASIN/4316801988
[2] 獲得金メダル! 国際数学オリンピック第1章「不等式」,小林一章,朝倉書店,2011年
   http://www.asakura.co.jp/books/isbn/978-4-254-11132-3/
[3] 数学オリンピック事典,数学オリンピック財団,朝倉書店,2001年
   http://amazon.jp/o/ASIN/4254110871
[4] 三角法の精選103問(シリーズ:数学オリンピックへの道 2),T.アンドレースク・Z.フェン著,朝倉書店,2010年
   http://www.asakura.co.jp/books/isbn/978-4-254-11808-7/
[5] 最大値と最小値の数学,P.J.ナーイン,シュプリンガー,2010年
   http://amazon.jp/dp/4621062131
[6] 最大・最小(数学one Point双書24),服部泰,共立出版,1979年
   http://amazon.jp/dp/4320012445

不等式の洋書
[1] The Cauchy-Schwarz Master Class: An Introduction to the Art of Mathematical Inequalities,J. M. Steele,Cambridge Univ. Pr.,2004年
   http://amazon.jp/o/ASIN/052154677X
[2] Inequalities: A Mathematical Olympiad Approach,Birkhaeuser Basel,2009年
   http://amazon.jp/dp/3034600496
[3] Inequalities: Theorems (Techniques and Selected Problems),Zdravko Cvetkovski,Springer,2012年
   http://amazon.jp/gp/product/3642237916
[4] Analytic Inequalities,Xingzhi Zhan,Dragoslav S., Dr. Mitrinovic,Springer,1970年
   http://www.amazon.co.jp/dp/3642999727/
[5] Matrix Inequalities (Lecture Notes in Mathematics, No.1790),Xingzhi Zhan,Springer,2002年
   http://amazon.jp/dp/3540437983
[6] Matrix Analysis (Graduate Texts in Mathematics),Rajendra Bhatia,Springer,1996年
   http://amazon.jp/dp/0387948465

4
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/06/25 17:23:11  ID:dLSgUfzK.net(18)
不等式の記事
[1] 特集 「現代の不等式」 (数理科学 No.386) ,サイエンス社,1995年8月号(絶版)
[2] 特集 「不等式の世界」 (数学セミナー No.2-569) ,日本評論社,2009年2月号
   http://amazon.jp/o/ASIN/B001O9UIZ8
[3] 連載 「不等式の骨組み」 (大学への数学 vol.53,全12回,各4ページ),栗田哲也,東京出版,2009年4月号-2010年3月号,2014年に書籍化(不等式の和書[10])
   http://www.tokyo-s.jp/index.shtml

不等式の埋蔵地
[1] RGMIA http://rgmia.vu.edu.au/
[2] Crux Mathematicorum Synopses http://www.journals.cms.math.ca/CRUX/synopses/
[3] Maths problems http://www.kalva.demon.co.uk/
[4] Mathematical Inequalities & Applications http://www.ele-math.com/
[5] American Mathematical Monthly http://www.maa.org/pubs/monthly.html
[6] Problems in the points contest of KöMaL http://www.komal.hu/verseny/feladatok.e.shtml
[7] IMO リンク集 http://imo.math.ca/
[9] Mathematical Olympiads Correspondence Program http://www.cms.math.ca/Competitions/MOCP/
[10] Mathematical Excalibur http://www.math.ust.hk/excalibur/
[11] MathLinks Contest http://www.mathlinks.ro/Forum/contest.html
[12] MATH PROBLEM SOLVING WEB PAGE http://www.math.northwestern.edu/~mlerma/problem_solving/#proposed_problems (要自動登録)
[13] Wolfram MathWorld http://mathworld.wolfram.com/
[14] GRA20 Problem Solving Group http://www.mat.uniroma2.it/~tauraso/GRA20/main.html
[15] American Mathematical Monthly Problems http://www.mat.uniroma2.it/~tauraso/AMM/amm.html
[16] Journal of Inequalities and Applications http://www.hindawi.com/journals/jia/
[17] すうじあむ http://suseum.jp/gd/all_berry_list/3504

海外不等式ヲタの生息地
[1] Journal of Inequalities in Pure and Applied Mathematics http://jipam.vu.edu.au/
[2] MIA Journal http://www.mia-journal.com/
[3] MathLinks Math Forum http://www.mathlinks.ro/Forum/forum-55.html
コメント3件

5
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/06/25 17:23:50  ID:dLSgUfzK.net(18)
  いいぜ ヘ(^o^)ヘ
        |∧
        /

てめえが
不等式を
集めるってなら

         /
      (^o^)/
     /( )
    / / >

   (^o^) 三
   (\\ 三
   < \ 三

`\
(/o^)
( / まずは
/く そのふざけた
   不等式を証明するッ!

6
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/06/25 17:30:41  ID:dLSgUfzK.net(18)
     ///////
    ///////____________
    ///////  ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄| ̄ ̄
   ///////      ___    (~) チリンチリン
   ///////     /  ≧ \  ノ,,
  ///////     |::::: (● (● |    
  ///////      ヽ::::... .ワ.....ノ    日本の夏
 ///////      (つ へへ つ      不等式の夏

7
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/06/25 18:09:14  ID:dLSgUfzK.net(18)
         \     不等式と言えば?         / Schurムズ… Jensen最強  Lehmusって
          \        ∧_∧ ∩AM-GMだろ / ∧_∧     ∧_∧      ∧_∧
Markovの不等式 \      ( ・∀・)ノ______  /  ( ;・∀・)    (; ´Д`)    (´Д`; )
の証明おしえて ∧ ∧\    (入   ⌒\つ  /|. /  ⊂   ⊂ )    ( つ ⊂ )    ( ⊃   ⊃
         (゚Д゚ )_\    ヾヽ  /\⌒)/  |/     〉 〉\\   〉 〉 く く   //( (
     / ̄ ̄∪ ∪ /| \  || ⌒| ̄ ̄ ̄|    /     (__) (_)  (_.)(_)  (_) (__)
   /∧_∧Polyaを読め \    ∧∧∧∧ /           
  / (;´∀` )_/       \  < 不    > レスの半分は自作自演、残りはなりすましでできてるよ
 || ̄(     つ ||/         \< 等 ま >  集めた不等式を同化し改良するから、抵抗は無意味だよ
 || (_○___)  ||            < 式    > 群生体だから無限の知識と無尽蔵の体力を持ってるよ
――――――――――――――― .< ヲ た >―――――――――――――――――――――
         ∧_∧ いつもながら < タ   >    ∧_∧テヘッ∧_∧   / ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄
         ( ;´∀`) 見事じゃのぉ <か  > \   ( ´∀`)  (´∀` )<不等式(大関・青柳)
    _____(つ_ と)___       ./∨∨∨ 不\ (    )__(    )  \__復刊キボンヌ!
 . / \        ___ \キタァ  /  ∧_∧等 \∧ ∧   ∧ ∧  ̄ ̄ ̄/.//| ̄ ̄ ̄ ̄ ̄
 .<\※ \____.|i\___ヽ.ウヒョ ./γ(⌒)・∀・ ) 式 \   ;) (     ;)   / ┃| |
  ヽ\ ※ ※ ※|i i|.====B|i.ヽ  /(YYて)ノ   ノ  ヲ  \↑ ̄ ̄↑\)_/     |__|/
    \`ー──-.|\.|_|◎_|_.i‐>/ \  ̄ ̄ ̄ ̄\  タ   \数ヲタ  | | ┃
      ̄ ̄ ̄ ̄|. | ̄ ̄ ̄ ̄| / ||ヽ|| ̄ ̄ ̄ ̄||  め    \   .|_)
コメント2件

8
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/06/25 18:09:37  ID:dLSgUfzK.net(18)
三角不等式
AM-GM不等式
Cauchyの不等式
Chebyshevの不等式
Holderの不等式
Jensenの不等式
並べ替え不等式
Maclaurinの不等式
Newtonの不等式
Power Mean不等式
Minkovskiの不等式
Bernoulliの不等式
Muirheadの不等式
Karamataの不等式
ぬるぽビッチの不等式

9
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/06/25 18:37:41  ID:MnGS57Na.net(2)
>7
不等式(大関・青柳)
復刊キボンヌ!

不等式への招待
は尼でオンデマンド版が買えるけど
コメント2件

10
[sage]   投稿日:2017/06/25 18:45:17  ID:i2ZaylUY.net(4)
★★★忖度と処世術に汚染された日本人:権威主義的な支配と損したくない人達★★★
  〜〜〜芳雄氏が言う『研究者としての基本的態度』とは一体何だろうか〜〜〜

佐藤幹夫:自分自身の素朴な疑問に真剣に耳を傾ける。⇒不滅の金字塔を打ち立てる。
糞父芳雄:人間関係を駆使し他人を操り根回しを行う。⇒ハリボテお教授として君臨。

隠蔽の財務省、嘘吐きの文科省、そして問答無用に屈服させる官邸。コレでも先進国?

(佐藤師がしてたのは本物の研究だ。だが)芳雄氏がしてたのはケケケ、ケンキュウ。
外見を繕って偉そう見せさえすれば何でもヨロシ。ほんで教授になりさえすれば研究の
中身なんて何でもヨロシ。そもそも論文なんてモンは、外国の権威ある雑誌に掲載され
さえすれば、その中身のギロンなんて何でもヨロシ。そやし適当に書いてしまえ〜〜〜
中身がダメだと知ってて、ソレでもSTAP論文を外国に投稿して受理される。発覚したら
適当に言い逃れる醜い態度。オツムのダメな大学院生に「虚偽の良品ラベル」を貼って
世間に出荷するハリボテ大学は詐欺行為そのもの。世間に媚びを売って客商売に徹し、
『売れさえすれば学生の脳の質なんて何でもヨロシ』と居直る大学。そしてブランド名
だけを見て仕入れる世間。●●は一流大学やさかい、きっと優秀なエリートやろwww

中身を何も説明しないで、問答無用に上から押し付ける。ソレをイチャモンで騒いで、
そして邪魔して潰そうとする周囲の下々。大学教員も国会議事堂も、そして馬鹿板人の
遣ってる事も皆同じだ。日本人はバカ民族であり、今は外国にもちゃんとバレてるので
海外からも軽蔑されるだけであり、そのうちにどの国からも信用されなくなるだろう。

近視眼的で打算的な人生観を息子に押し付ける父親と、大脳に栄養が足りてない連中が
跋扈する永田町や霞が関に支配される国に住む不幸、一体どうしてくれるというのか。

■■■馬鹿板を続けたらオツムがスポンジ脳になるのでサッサと足を洗うべき。■■■


11
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/06/25 18:45:50  ID:dLSgUfzK.net(18)
>9
( ゚∀゚)つ [2] 不等式(数学選書),大関信雄・青木雅計,槇書店,1967年(絶版)

12
[sage]   投稿日:2017/06/25 18:49:54  ID:i2ZaylUY.net(4)
★★★忖度と処世術に汚染された日本人:権威主義的な支配と損したくない人達★★★
  〜〜〜芳雄氏が言う『研究者としての基本的態度』とは一体何だろうか〜〜〜

佐藤幹夫:自分自身の素朴な疑問に真剣に耳を傾ける。⇒不滅の金字塔を打ち立てる。
糞父芳雄:人間関係を駆使し他人を操り根回しを行う。⇒ハリボテお教授として君臨。

隠蔽の財務省、嘘吐きの文科省、そして問答無用に屈服させる官邸。コレでも先進国?

(佐藤師がしてたのは本物の研究だ。だが)芳雄氏がしてたのはケケケ、ケンキュウ。
外見を繕って偉そう見せさえすれば何でもヨロシ。ほんで教授になりさえすれば研究の
中身なんて何でもヨロシ。そもそも論文なんてモンは、外国の権威ある雑誌に掲載され
さえすれば、その中身のギロンなんて何でもヨロシ。そやし適当に書いてしまえ〜〜〜
中身がダメだと知ってて、ソレでもSTAP論文を外国に投稿して受理される。発覚したら
適当に言い逃れる醜い態度。オツムのダメな大学院生に「虚偽の良品ラベル」を貼って
世間に出荷するハリボテ大学は詐欺行為そのもの。世間に媚びを売って客商売に徹し、
『売れさえすれば学生の脳の質なんて何でもヨロシ』と居直る大学。そしてブランド名
だけを見て仕入れる世間。●●は一流大学やさかい、きっと優秀なエリートやろwww

中身を何も説明しないで、問答無用に上から押し付ける。ソレをイチャモンで騒いで、
そして邪魔して潰そうとする周囲の下々。大学教員も国会議事堂も、そして馬鹿板人の
遣ってる事も皆同じだ。日本人はバカ民族であり、今は外国にもちゃんとバレてるので
海外からも軽蔑されるだけであり、そのうちにどの国からも信用されなくなるだろう。

近視眼的で打算的な人生観を息子に押し付ける父親と、大脳に栄養が足りてない連中が
跋扈する永田町や霞が関に支配される国に住む不幸、一体どうしてくれるというのか。

■■■馬鹿板を続けたらオツムがスポンジ脳になるのでサッサと足を洗うべき。■■■


コメント2件


13
132人目の素数さん[]   投稿日:2017/06/26 00:45:51  ID:69lL3x+q.net(2)
>12 こんの、ハゲーーーっ!!

14
132人目の素数さん[]   投稿日:2017/06/26 02:02:42  ID:WMgNNINg.net(2)
1001 1001 Over 1000 Thread
このスレッドは1000を超えました。
もう書けないので、新しいスレッドを立ててくださいです。。。
life time: 1569日 3時間 9分 28秒

約4年かかってて草

15
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/06/26 03:33:28  ID:ChRIm5Q7.net(2)
全国521駅「10年累計鉄道自殺数」ランキング
2016年06月22日
西八王子駅(東京)……39件
桶川駅(埼玉)…………34件
川崎駅(神奈川)………31件
新小岩駅(東京)………30件
新宿駅(東京)…………30件
八王子駅(東京)………30件
http://toyokeizai.net/articles/-/123503


JR川崎駅前にマタハリー(ピア、サントロぺ)のパチンコ台が約1800台、パチスロ台が約1000台ほどある。

その台はすべて、遠隔操作されています。

大勝ちしてる人のほとんどが内子です(ピアは内子の人数が日本一多い、詐欺犯罪組織です)。

今は大手のパチンコ店の大当たりはすべて遠隔大当たりなんです。

大当たりはアホ幹部がパソコンを1、3回クリックして大当たりさせています。

借金が原因で自殺してる人が多いけど、その原因は遠隔大当たりしかないパチンコ、パチスロなんです。

新小岩と新宿にはマルハンとエスパスがあります(エスバスは新宿歌舞伎町で一番大きなパチンコ店)。

西八王子駅の隣駅の八王子駅にはピアがあります(八王子駅にはパチンコ店がたくさんあります)。

16
[sage]   投稿日:2017/06/26 04:42:31  ID:dYpMJpMg.net(20)

17
[sage]   投稿日:2017/06/26 04:42:55  ID:dYpMJpMg.net(20)

18
[sage]   投稿日:2017/06/26 04:43:15  ID:dYpMJpMg.net(20)

19
[sage]   投稿日:2017/06/26 04:43:33  ID:dYpMJpMg.net(20)

20
[sage]   投稿日:2017/06/26 04:43:50  ID:dYpMJpMg.net(20)

21
[sage]   投稿日:2017/06/26 04:44:07  ID:dYpMJpMg.net(20)

22
[sage]   投稿日:2017/06/26 04:44:23  ID:dYpMJpMg.net(20)

23
[sage]   投稿日:2017/06/26 04:44:42  ID:dYpMJpMg.net(20)

24
[sage]   投稿日:2017/06/26 04:45:01  ID:dYpMJpMg.net(20)

25
[sage]   投稿日:2017/06/26 04:45:19  ID:dYpMJpMg.net(20)

26
132人目の素数さん[]   投稿日:2017/06/28 11:25:43  ID:GT7HZs9l.net(2)
Σ(a_i)^2≧(1/n)(Σ(a_i))^2

和は1からnまで
a_iは実数です

これって成り立ちますかね?


a^2+b^2≧(1/2)(a+b)^2
a^2+b^2+c^2≧(1/3)(a+b+c)^2
みたいな感じです

成り立つならその証明を、成り立たないなら反例をおしえてほしいです
コメント8件

27
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/06/28 12:26:25  ID:/JHIATvZ.net(2)
>26
まずは、ageるな。
ageると、¥が荒らしに来るから。

28
[sage]   投稿日:2017/06/28 13:00:59  ID:A63zUC8I.net(2)

29
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/06/28 13:01:24  ID:qKgfuKoo.net(6)
>26
成り立つことの証明は
分からない問題はここに書いてね428
の>116に書いてあるよ。

30
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/06/28 13:05:44  ID:qKgfuKoo.net(6)
>26
B=2Σ_{1≦i<j≦n}(a_i・a_j)
から各積 a_i・a_j 1≦i<j≦n を取り出すときは
B の 2Σ_{1≦i<j≦n}(a_i・a_j) の部分から取るという話ね。
コメント2件

31
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/06/28 13:08:44  ID:qKgfuKoo.net(6)
>26
>30の訂正:
B の 2Σ_{1≦i<j≦n}(a_i・a_j) の部分 → B の Σ_{1≦i<j≦n}(a_i・a_j) の部分

32
[sage]   投稿日:2017/06/29 01:28:16  ID:0RPSduFk.net(24)

33
[sage]   投稿日:2017/06/29 01:28:36  ID:0RPSduFk.net(24)

34
[sage]   投稿日:2017/06/29 01:28:54  ID:0RPSduFk.net(24)

35
[sage]   投稿日:2017/06/29 01:29:13  ID:0RPSduFk.net(24)

36
[sage]   投稿日:2017/06/29 01:29:30  ID:0RPSduFk.net(24)

37
[sage]   投稿日:2017/06/29 01:29:50  ID:0RPSduFk.net(24)

38
[sage]   投稿日:2017/06/29 01:30:08  ID:0RPSduFk.net(24)

39
[sage]   投稿日:2017/06/29 01:30:25  ID:0RPSduFk.net(24)

40
[sage]   投稿日:2017/06/29 01:30:46  ID:0RPSduFk.net(24)

41
[sage]   投稿日:2017/06/29 01:31:03  ID:0RPSduFk.net(24)

42
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/06/29 11:27:16  ID:W3RXb80R.net(2)
〔問題216〕
実数a〜dについて
(aa+ac+cc) (bb+bd+dd)≧(3/4) (ab+bc+cd)^2,
(aa+ac+cc) (bb+bd+dd)≧(3/4) (ad-bc)^2,
コメント4件

43
[sage]   投稿日:2017/06/29 11:34:45  ID:0RPSduFk.net(24)

44
[sage]   投稿日:2017/06/29 13:26:08  ID:0RPSduFk.net(24)

45
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/06/29 14:31:35  ID:6Aq4M2nP.net(2)
わざわざほかのスレに貼るのやめろよ

46
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/06/29 17:22:36  ID:VBt2ub+o.net(2)
うむ、他スレで見かけた不等式を収集するのは別だが。

47
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/06/30 18:19:38  ID:g/dkToLH.net(4)
>42
左辺が pp+pq+qq の形になるのは、アイゼンシュタイン整数Z[ω]のノルムみたいなもの?

ナゴヤ△と関係あるの賀茂鴨
コメント12件

48
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/06/30 18:39:42  ID:g/dkToLH.net(4)
>47
 z1 = a - cω,
 z2 = d - bω  (a〜d∈Z)
をアイゼンシュタイン整数とすると、
 z1・z2 = (ad-bc) - (ab+bc+cd)ω,

49
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/07/04 01:40:04  ID:Wi3Yphfr.net(2)
>47

ナゴヤ△ = ノルムが平方数であるアイゼンシュタイン整数

50
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/07/06 11:31:49  ID:TXO3PlHQ.net(2)
>47-49
ナゴヤ△は、乗法について閉じている。

51
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/07/06 20:49:24  ID:nv6IrYms.net(2)
実数 x,y,z が x^2 + y^2 + z^2 =1 をみたすとき、
(x-y)(y-z)(z-x)、(2x-y)(2y-z)(2z-x) の最大値を求めよ。
コメント2件

52
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/07/07 01:47:29  ID:aKMbWmCY.net(2)
>51
右:
y は x、z の中間にある、とする。
y を x、z の中間で動かすとき、
|x-y| |y-z| ≦ (1/4)|z-x|^2,
∴y=(x+z)/2(等間隔)のとき最大で
(与式)≦(1/4)|z-x|^3 ≦ 1/√2,
等号成立は(x,y,z)=(±1/√2, 0, 干1/√2)
コメント2件

53
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/07/07 16:59:21  ID:A1/MZg5M.net(2)
B.4599
Solve the equation (sin x)^5 + (cos x)^5 + (sin x)^4 = 2.
https://www.komal.hu/verseny/feladat.cgi?a=honap&;h=201401&t=mat&l=en

この問題を過去スレで改造手術してなかったっけ? うまく見つけられなかった。
 -1 ≦ (sin x)^5 + (cos x)^5 + (sin x)^4 ≦ 2

いい証明方法ない蟹?
コメント2件

54
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/07/08 03:52:44  ID:E7CWjLAg.net(8)
>53

sin(x) + cos(x) = y とおく。
1 - sin(x)^5 - cos(x)^5
 = (1/2) {1-sin(x)} {1-cos(x)} F(sin(x)+cos(x))
 = (1/4) (1-y)^2 F(y)
 ≧0,

F(y) = 4+3y+2yy+y^3 ≧ 8 - 5√2 > 0,

1 + sin(x)^5 + cos(x)^5
 = (1/2) {1+sin(x)} {1+cos(x)} F(sin(x)+cos(x))
 = (1/4) (1+y)^2 F(-y),
 ≧ 0,

F(-y) = 4-3y+2yy-y^3 ≧ F(√2) = 8 - 5√2 > 0,

を使うとか。
コメント2件

55
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/07/08 12:59:39  ID:E7CWjLAg.net(8)
>54 

補足
F(y) = F(-√2) + (√2 +y) {2 + (1 -(1/√2) +y)^2}
≧ F(-√2)
= 8 -5√2,

訂正
1 + sin(x)^5 + cos(x)^5
 = (1/2) {1+sin(x)} {1+cos(x)} F(−sin(x)−cos(x))
 = (1/4) (1+y)^2 F(-y),
 ≧ 0,

56
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/07/08 13:38:17  ID:E7CWjLAg.net(8)
>47-50

7 =|5+8ω|=|5ω+8|  … ナゴヤ

ただし、1+ω+ω^2 =0.


>52
(x,y,z) は単位球面上の点。
x,zを止めてyだけ動かすのは無理

57
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/07/08 18:05:35  ID:E7CWjLAg.net(8)
>47-50

 |a - bω| = c,
 aa+ab+bb = cc,
とする。
ピタゴラス数との類推により
 a = mm-nn,
 b = (2m+n)n,
 c = mm+mn+nn,
と表わせる。

http://www.geocities.jp/ikuro_kotaro/koramu/2570_b9.htm
http://akademeia.info/index.php?アイゼンシュタイン三角形
http://ameblo.jp/knife1968/entry-10319197699.html

58
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/07/09 17:40:44  ID:hraGPmBR.net(2)
〔Golden-Thompsonの不等式〕
A、Bがエルミート行列のとき、
 tr{exp(A+B)}≦ tr{exp(A)exp(B)}

S.Golden(1965)、C.J.Thompson(1965)
数セミ増刊「数学の問題 第(2)集」日本評論社(1978)No.96

No.96

59
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/07/10 03:41:28  ID:pArAdsTp.net(2)
>956 (3)

{Σ[n=1〜∞] (x/n)^n}^(1/x)≒ e^(1/e + 4/x + …)

Lim[x→∞]{Σ[n=1〜∞] (x/n)^n}^(1/x)= e^(1/e)= 1.444667861

60
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/07/12 23:08:45  ID:4DpnFpJn.net(2)
       |
   \  __  /
   _ (m) _ピコーンの等式
      |ミ|
    /  `´  \
     ('A`)
     ノヽノヽ
       くく
コメント2件

61
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/07/13 00:13:50  ID:aYclV8OY.net(18)

62
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/07/13 00:58:04  ID:oVTfqBd/.net(12)

63
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/07/13 01:04:00  ID:aYclV8OY.net(18)
>62
オノの不等式
> 1914年に T.オノはこの式が任意の三角形について成り立つと予想したが、
> 1916年に Balitrand によって予想が誤りであることと、鋭角三角形であればこの式が成り立つことが示された。

T.オノって何者だ?

64
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/07/13 01:06:35  ID:aYclV8OY.net(18)
Ono Inequality
鋭角三角形の3辺の長さを a, b, c, 面積を S とするとき、
27(b^2 + c^2 - a^2)(c^2 + a^2 - b^2)(a^2 + b^2 - c^2) ≦ (4S)^2

65
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/07/13 01:19:17  ID:aYclV8OY.net(18)
不等式スレの第1章より前から集めているコレクションから引っ張り出してきた。
(つい最近まで出典をメモする習慣がなかったことを激しく後悔…)

実数 a,b,c に対して、
(b^2 + c^2 - a^2)(c^2 + a^2 - b^2)(a^2 + b^2 - c^2) ≦ {(b+c-a)(c+a-b)(a+b-c)}^2

さて、a,b,cを鋭角三角形の3辺の長さとして、この右辺と Ono Inequality の右辺の大小とか定まるかな?
コメント2件

66
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/07/13 01:22:59  ID:aYclV8OY.net(18)
任意の三角形の3辺の長さ a,b,c に対して、
(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b) ≦ abc
(a+b-c)^a*(b+c-a)^b*(c+a-b)^c ≦ a^a*b^b*c^c

       |
   \  __  /
   _ (m) _ピコーン、コンナノ アッタナァ
      |ミ|
    /  `´  \
     (゚∀゚)
     ノヽノヽ
       くく
コメント4件

67
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/07/13 03:52:28  ID:oVTfqBd/.net(12)
>65
a,b,cが鋭角△をなすとき
(bb+cc-aa)(cc+aa-bb)(aa+bb-cc) ≦ {(b+c-a)(c+a-b)(a+b-c)}^2 ≦(4S/√3)^3 ≦ (2s/3)^6,
S=△ABC、 s=(a+b+c)/2.

(左)
(bb+cc-aa)(cc+aa-bb)=(cc)^2 -(aa-bb)^2
=[c^2 - (a-b)^2]^2 - 2(aa+bb-cc)(a-b)^2
≦[c^2 - (a-b)^2]^2     (←鋭角)
=[(b+c-a)(c+a-b)]^2,
循環的に掛けて平方根。

(中)
相加-相乗平均より
 a+b+c ≧ 3{(b+c-a)(c+a-b)(a+b-c)}^(1/3),
 s ≧ 3{(s-a)(s-b)(s-c)}^(1/3),

S^2 = s(s-a)(s-b)(s-c)   (←ヘロンの公式)
 ≧ 3{(s-a)(s-b)(s-c)}^(4/3),

∴{(b+c-a)(c+a-b)(a+b-c)}^2 ≦ (4S/√3)^3,

(右)
S^2 = s(s-a)(s-b)(s-c) ≦ 3(s/3)^4,

∴(4S/√3)^3 ≦(2s/3)^6.

68
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/07/13 04:08:19  ID:oVTfqBd/.net(12)
>66

a+b-c=2z,b+c-a=2x,c+a-b=2y とおく。(*)
x,y,zは任意の正数。
abc - (a+b-c)(b+c-a)(c+a-b) = (y+z)(z+x)(x+y) - 8xyz
 = x(y-z)^2 + y(z-x)^2 + z(x-y)^2
 ≧ 0,
等号は x=y=z、つまり a=b=c (正△)

* Ravi変換とかいうらしい。

69
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/07/13 05:10:22  ID:aYclV8OY.net(18)
(1)
正の数 a,b,c に対して、
(a+b+c)^5 ≧ 27(ab+bc+ca)(ab^2 + bc^2 +ca^2)

(2)
ab+bc+ca=3 をみたす正の数 a,b,c に対して、
a+b+c ≧ abc+1

(3)
a+b+c=3 をみたす正の数 a,b,c に対して、
(a^2 + bc^4)(b^2 + ca^4)(c^2 + ab^4) ≦ 64
____________________
  <〇√
   ‖
  くく



関係ないが、27って よく出てくるよな。

[第6章.908]
a,b,c>0のとき、{(a+b+c)(ab+bc+ca)}^2≧27abc(a^3+b^3+c^3)

[第5章.560]
a,b,cが三角形の三辺の長さのとき、
8/27 ≦ (a+b)(b+c)(c+a)/{(a+2b)(b+2c)(c+2a)},

[第5章.573]
1/4<(a+b)(b+c)(c+a)/(a+b+c)^3≦8/27 [1991 IMO]

[第5章.667]
正の数a、b、c、dに対して
 2(ab + ac + ad + bc + bd + cd)^3 ≧ 27(abc + abd + acd + bcd)^2

[第2章.144]
a, b, c≧0、a+b+c=1 のとき、a^2b+b^2c+c^2a ≦ 4/27 [1999 CMO]
コメント18件

70
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/07/13 05:12:12  ID:aYclV8OY.net(18)
>69の訂正

(2)
ab+bc+ca=3 をみたす正の数 a,b,c に対して、
a+b+c ≧ abc+2
コメント8件

71
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/07/13 07:03:58  ID:aYclV8OY.net(18)
(4)
正の数 a,b,c に対して、
{(b+c)/a}^3 + {(c+a)/b}^3 + {(a+b)/c}^3 ≧ 24
コメント6件

72
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/07/13 10:54:34  ID:aYclV8OY.net(18)
B.3989
https://www.komal.hu/verseny/feladat.cgi?a=honap&;h=200703&t=mat&l=en

a, b, c are positive numbers, such that a^2 + b^2 + c^2 + abc = 4. Prove that a+b+c<3.

A.422、B3987 にも不等式があるね。
コメント10件

73
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/07/13 17:42:43  ID:oVTfqBd/.net(12)
>71
(4)
(b+c)/a=x, (c+a)/b=y, (a+b)/c=z とおく。

x^3 + y^3 + z^3 = {(x+y+z)^3 +5s(ss-3t) +3(s^3-4st+9u)}/9 ≧ (1/9)(x+y+z)^3,

x+y+z = 6+(a/b+b/a-2)+(b/c+c/b-2)+(c/a+a/c-2)≧ 6,

>72

B.3987
 中の b+c に注目する。
 (a+b+c)(b+c+d)=(b+c)(a+b+c+d)+ ad
 ≧(b+c){(a+b)+(c+d)}
 ≧ 2{√(a+b)}(b+c){√(c+d)},
 循環的に掛ける。

B.3989
 a=2cos(A),b=2cos(B),c=2cos(C) とおく。A+B+C=π
 cos(x)は下に凸だから
 a+b+c = 2{cos(A)+cos(B)+cos(C)}≦ 6cos((A+B+C)/3)= 6cos(π/3) = 3,

ご参考
 http://ameblo.jp/ineqfebot-sol/
コメント2件

74
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/07/13 17:54:31  ID:oVTfqBd/.net(12)
>73 訂正

B.3989
 cos(x)は|x|<π/2 で上に凸でした。

(別解)
 a=2sin(A/2),b=2sin(B/2),c=2sin(C/2) とおく。以下同様

75
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/07/13 18:37:29  ID:oVTfqBd/.net(12)
>72

A.422
Σ[i=1,n] x(i) = x(n+1) = S とおく。
Σ[i=1,n] x(i)^2 ≧ SS/n,
y=√x は上に凸だから
(左辺)^2 ≦ n{ Σ[i=1,n] x(i) [S -x(i)] }
  = n{ SS -Σ[i=1,n] x(i)^2 }
  ≦ n (SS - SS/n)}
  = (n-1) SS,

(右辺)^2 = SΣ[i=1,n] [S - x(i)]
  = S (n S - S)
  = (n-1) SS,

76
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/07/14 01:59:14  ID:54s0BI7v.net(12)
>72

A.422
(左辺)^2 ≦ n{Σ[i=1,n] x(i)[S-x(i)] }
  ≦{Σ[i=1,n] x(i)} {Σ[j=1,n] [S-x(j)]} (チェビシェフ)
  = S・(n-1)S
でもいいか...

〔B.3987.改〕
n個の正数{a,b,c, …,z}がある。
連続するk項の和を巡回的に掛けたものを P_k とおく。
P_1 = abcd…z,
P_2 =(a+b)(b+c)(c+d)……(z+a),
P_3 = (a+b+c)(b+c+d)……(z+a+b),
P_4 = (a+b+c+d)(b+c+d+e)……(z+a+b+c),
このとき、
 (P_k)^2 ≧ P_{k-1}・P_{k+1},
 P_{mn} ≧ (m^n)P_n,
を示せ。
コメント6件

77
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/07/14 02:41:47  ID:5qutPAyo.net(2)
>72
蒐集癖に火がついたでござる ( ゚∀゚) ハァハァ…

以下、a, b, c は a^2 + b^2 + c^2 + abc = 4 をみたす正の実数とする。←非負実数でいいよね?多分…
(1) a+b+c ≧ ab+bc+ca
(2) abc+2 ≧ ab+bc+ca ≧ abc
(3) a+b+c<3
(4) (2+a)(2+b)(2+c) ≧27abc
(5) sqrt{(2-a)/(2+a)} + sqrt{(2-b)/(2+b)} + sqrt{(2-c)/(2+c)} ≧ 3

(5)は、リンク先を見ると
sqrt{(2-a)/(2+a)} + sqrt{(2-b)/(2+b)} + sqrt{(2-c)/(2+c)} ≧ 3sqrt{3} ≧ sqrt(4-a^2) + sqrt(4-b^2) + sqrt(4-b^2)
と書いている者もいる。証明は未確認。


民明書房刊 「不等式ヲタの異常な蒐集癖、または私は如何にして心配するのを止めて不等式を愛するようになったか」より
(1) 出典のmemoがないでござる。過去スレにあるかも…
(2) USAMO 2001 https://artofproblemsolving.com/wiki/index.php?title=2001_USAMO_Problems/Prob...
(3) >72 B.3989 https://www.komal.hu/verseny/feladat.cgi?a=honap&;h=200703&t=mat&l=en
(4) https://artofproblemsolving.com/community/c6h527320p2994128
(5) https://artofproblemsolving.com/community/c6h527320s1_a2b2c2abc4_two_inequali...
コメント12件

78
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/07/14 04:47:25  ID:54s0BI7v.net(12)
>77

(3) はイランMO-2002、A16 かな?

Solution 見ても出典が無い。ほんとに KoMaL


「博士の愛した不等式」慎重文庫(2005)

79
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/07/14 04:54:42  ID:54s0BI7v.net(12)
>76

〔B.3987.改〕
k≦L のとき、P_k・P_L ≦ P_{k-1}・P_{L+1}
コメント2件

80
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/07/14 10:25:53  ID:54s0BI7v.net(12)
>66

a+b-c=z,b+c-a=x,c+a-b=y とおく。(*)
x,y,zは任意の正数。
a+b+c = x+y+z,
xy = cc-(a-b)^2 ≦ cc,
yz = aa-(b-c)^2 ≦ aa,
zx = bb-(c-a)^2 ≦ bb,

log(左辺)= a log(z)+ b log(x)+ c log(y)
 = (y/2)log(yz) + (z/2)log(zx) + (x/2)log(xy)
 ≦ y log(a) + z log(b) + x log(c)
 ≦ a log(a) + b log(b) + c log(c)  (←チェビシェフ)
 = log(右辺),

81
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/07/14 13:02:23  ID:54s0BI7v.net(12)
>69

[第5章.667]
a+b+c+d = s,ab+ac+ad+bc+bd+cd = t,abc+abd+acd+bcd = u とおく。
 2tt - (9/2)su =(ab-cd)^2 + (ac-bd)^2 + (ad-bc)^2 + (1/4)(aa+bb)(c-d)^2 + … ≧ 0,
 2st - 12u =(a+b)(c-d)^2 + (a+c)(b-d)^2 + … + (c+d)(a-b)^2 ≧ 0,
∴ 2t^3 ≧ 27uu,

82
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/07/14 18:29:25  ID:54s0BI7v.net(12)
〔B.3987.改〕の略証を

>76
 a_2 + a_3 + … + a_k = s とおく。
 (a_1+a_2+…+a_k)(a2+a3+…+a(k+1)) = (a_1 + s)(s + a_(k+1)) > s{a_1 + s + a_(k+1)}
 巡回的に掛ける。

>79
 k=L のときは >76
 k<L のときも
 {P_k P_L}/{P_(k-1) P_(L+1)}={(P_k)^2/P_(k-1)P_(k+1)}×{(P_(k+1))^2/P_k P_(k+2)}×
…… ×{(P_L)^2/P_(L-1)P_(L+1)} > 1,

83
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/07/15 03:33:48  ID:jZ3tY0g5.net(6)
>69

[第2章.144]
0 ≦ a ≦b,c としてよい。
4(a+b+c)^3 - 27(aab+bbc+cca+abc) = 9a(aa+bb+cc-ab-bc-ca) + (4b+c-5a)(a+b-2c)^2 ≧0,
等号成立は (a,b,c) = (0,2/3,1/3) とその rotation

カナダMO-1995 A.5
安藤哲哉:「不等式」数学書房(2012) 例題2.2.12(7)

84
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/07/15 03:52:45  ID:jZ3tY0g5.net(6)
>69

[第6章.908]
s = a+b+c, t = ab+bc+ca, u = abc とおく。
st = (aaa+bbb+ccc)+(abb+bcc+caa)+(aab+bbc+cca) = S+p+q ≧ 3(Spq)^(1/3),
pq = T+uS+3uu ≧ 3(3STU)^(1/3) ≧ 3√(3SU),
∴ S+p+q ≧ 3(Spq)^(1/3) ≧ 3√(3Su),
ここに、S=aaa+bbb+ccc、T=(ab)^3+(bc)^3+(ca)^3、U=(abc)^3.

Casphy!-不等式2-177
コメント2件

85
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/07/15 04:39:34  ID:yYh8jteX.net(4)
そういえば、数蝉2017.08のエレガント第2問が、関数の最大最小値問題だったね。締切まで答えは書けないけど。

86
132人目の素数さん[]   投稿日:2017/07/15 07:59:24  ID:OkWeDr+1.net(2)
学コンの答えを締切前に発表したら刑事事件に発展するの?
業務妨害?

87
[sage]   投稿日:2017/07/15 08:12:09  ID:qAOI4WFY.net(46)
■■■輝かしい日本の未来の学問は、馬鹿板をしない国民一人一人が作るもの。■■■


88
[sage]   投稿日:2017/07/15 09:04:11  ID:qAOI4WFY.net(46)

89
[sage]   投稿日:2017/07/15 09:04:30  ID:qAOI4WFY.net(46)

90
[sage]   投稿日:2017/07/15 09:04:51  ID:qAOI4WFY.net(46)

91
[sage]   投稿日:2017/07/15 09:05:10  ID:qAOI4WFY.net(46)

92
[sage]   投稿日:2017/07/15 09:05:28  ID:qAOI4WFY.net(46)

93
[sage]   投稿日:2017/07/15 09:05:46  ID:qAOI4WFY.net(46)

94
[sage]   投稿日:2017/07/15 09:06:04  ID:qAOI4WFY.net(46)

95
[sage]   投稿日:2017/07/15 09:06:28  ID:qAOI4WFY.net(46)

96
[sage]   投稿日:2017/07/15 09:06:47  ID:qAOI4WFY.net(46)

97
[sage]   投稿日:2017/07/15 09:07:05  ID:qAOI4WFY.net(46)

98
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/07/15 09:30:51  ID:yYh8jteX.net(4)
学コン厨がage荒らしをして、¥が荒らす。
面白スレや数セミスレでもよく見かける数学板の風物詩。

99
[sage]   投稿日:2017/07/15 09:53:34  ID:qAOI4WFY.net(46)
■■■輝かしい日本の未来の学問は、馬鹿板をしない国民一人一人が作るもの。■■■


100
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/07/15 14:30:48  ID:jZ3tY0g5.net(6)
>84 の訂正...

(a+b+c)(aa+bb+cc) = (aaa+bbb+ccc) + (abb+bcc+caa) + (aab+bbc+cca) = S+p+q ≧ 3(Spq)^(1/3),

101
[sage]   投稿日:2017/07/15 15:08:09  ID:qAOI4WFY.net(46)
◆◆◆馬鹿板をスルと脳が馬鹿汁漬けになってアホになります。そやし止めるべき。◆◆◆


102
[sage]   投稿日:2017/07/15 18:44:30  ID:qAOI4WFY.net(46)

103
[sage]   投稿日:2017/07/15 18:44:49  ID:qAOI4WFY.net(46)

104
[sage]   投稿日:2017/07/15 18:45:08  ID:qAOI4WFY.net(46)

105
[sage]   投稿日:2017/07/15 18:45:26  ID:qAOI4WFY.net(46)

106
[sage]   投稿日:2017/07/15 18:45:44  ID:qAOI4WFY.net(46)

107
[sage]   投稿日:2017/07/15 18:46:03  ID:qAOI4WFY.net(46)

108
[sage]   投稿日:2017/07/15 18:46:20  ID:qAOI4WFY.net(46)

109
[sage]   投稿日:2017/07/15 18:46:47  ID:qAOI4WFY.net(46)

110
[sage]   投稿日:2017/07/15 18:47:07  ID:qAOI4WFY.net(46)

111
[sage]   投稿日:2017/07/15 18:47:25  ID:qAOI4WFY.net(46)

112
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/07/16 08:39:47  ID:v1J8xk3o.net(2)
>70 (2)

s = st/9 + 2s/3 ≧ u + 2√(t/3) = u + 2,
コメント2件

113
[sage]   投稿日:2017/07/16 09:31:15  ID:lJ3jPa7S.net(4)
◇◇◇希望に満ちた明るい日本の将来は、馬鹿板を許さないネット社会の実現から。◇◇◇


114
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/07/16 10:49:30  ID:kYKIO7xV.net(20)
x,y,z>0に対して、{(x+y)/z}^3 + {(y+z)/x}^3 + {(z+x)/y}^3 ≧ 24

少しずつ未整理の不等式コレクションを整理中。相変わらず出典不明。
引越し前のダンボールから出てきた紙なので、2009〜2010頃の入試問題だろうと思う。
もしかしたら海外の出題サイトから見つけたのかもしれないが…。
出典分かる人いたら教えて栗。

   ∩ _ _   ≡=−
   ミ(゚∀゚ ) ≡=−分数不等式! 巡回不等式! ヒャッホー!
    ミ⊃ ⊃    ≡=−
     (⌒ __)っ   ≡=−
     し'´≡=−
コメント2件

115
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/07/16 10:54:46  ID:kYKIO7xV.net(20)
>114
ごめん、>71と同じ問題だった。

116
[sage]   投稿日:2017/07/16 11:10:58  ID:lJ3jPa7S.net(4)
◇◇◇希望に満ちた明るい日本の将来は、馬鹿板を許さないネット社会の実現から。◇◇◇


117
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/07/16 11:20:30  ID:kYKIO7xV.net(20)

118
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/07/16 11:36:46  ID:kYKIO7xV.net(20)
>77 追加

a,b,c≧0、a^2 + b^2 + c^2 + abc = 4のとき、

(6) (a+b)^(1/2) + (b+c)^(1/3) + (c+a)^(1/4) < 4
(7) 4(ab+bc+ca?abc) ≧ (a^2b+c)(b^2c+a)(c^2a+b)

(6) https://math.stackexchange.com/questions/1805719/prove-sqrt2xy-sqrt3yz-sqrt4...
(7) https://math.stackexchange.com/questions/1444454/inequality-with-x2y2z2xyz-4...;lq=1
コメント4件

119
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/07/16 11:38:50  ID:kYKIO7xV.net(20)
(A) a,b,c>0 の AM,GM,HMをA,G,Hで表すとき、A+H ≧5*(G/6)^(1/3)
(B) a,b,c>0、a+b+c=3 のとき、a^(ab)b + b^(bc)c + c^(ca)a ≧ 5^(1/6)

(A) https://math.stackexchange.com/questions/1806146/prove-fracxyz3-frac3-frac1x...;lq=1
(B) https://math.stackexchange.com/questions/1774767/prove-aabbbbccccaa-geqslant...

120
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/07/16 11:45:07  ID:kYKIO7xV.net(20)
条件不等式のデータベースを作りたいね。
たとえば、上のような a^2 + b^2 + c^2 + abc = 4 かつ a,b,c>0 のときに成り立つ不等式がいろいろあるけど、
条件を代入して検索したら、それをみたす不等式がずらーっと出てくるような。

121
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/07/16 11:51:59  ID:kYKIO7xV.net(20)
>118
(誤) (7) 4(ab+bc+ca?abc) ≧ (a^2b+c)(b^2c+a)(c^2a+b)
(正) (7) 4(ab+bc+ca-abc) ≧ (a^2b+c)(b^2c+a)(c^2a+b)

122
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/07/16 12:54:40  ID:kYKIO7xV.net(20)
>70
結局、a,b,c>0 かつ ab+bc+ca=3 のとき、a+b+c≧3 と 1≧abc が成立し、それをコッソリ使っていたのか…。
 a+b+c ≧ 3 ≧ 2+abc

種明かしされると何でもないけど、a+b+c≧2+abc をパッと見たとき、次数を合わせるために、
左辺と右辺の第1項に ab+bc+ca、右辺第2項に 3 を掛けてみて…、ずっと悩んでいた。

123
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/07/16 13:44:04  ID:kYKIO7xV.net(20)
>70 の別解。

c = (3-ab)/(a+b) より、
(左辺)-(右辺) = [(ab-1)^2 + (a-1)^2 + (b-1)^2}/(a+b) ≧ 0.
コメント2件

124
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/07/16 13:46:47  ID:kYKIO7xV.net(20)
>123
対称性を崩したくないのと、計算が面倒そうで、一文字消去は考えもしなかった。

125
[sage]   投稿日:2017/07/17 04:52:16  ID:PMZXT70X.net(52)

126
[sage]   投稿日:2017/07/17 04:52:36  ID:PMZXT70X.net(52)

127
[sage]   投稿日:2017/07/17 04:52:56  ID:PMZXT70X.net(52)

128
[sage]   投稿日:2017/07/17 04:53:12  ID:PMZXT70X.net(52)

129
[sage]   投稿日:2017/07/17 04:53:30  ID:PMZXT70X.net(52)

130
[sage]   投稿日:2017/07/17 04:53:48  ID:PMZXT70X.net(52)

131
[sage]   投稿日:2017/07/17 04:54:06  ID:PMZXT70X.net(52)

132
[sage]   投稿日:2017/07/17 04:54:32  ID:PMZXT70X.net(52)

133
[sage]   投稿日:2017/07/17 04:54:49  ID:PMZXT70X.net(52)

134
[sage]   投稿日:2017/07/17 04:55:11  ID:PMZXT70X.net(52)

135
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/07/17 09:27:21  ID:2cOdQU+V.net(4)
>118 (6)
最大になる位置は
(a,b,c)=(1.16745、1.83254、0)≒(7/6、11/6、0)
の辺りなので、
a+b≒3、b+c≒11/6、c+a≒7/6、
を利用して相乗-相加平均する。
(a+b)^(1/2)≦{(a+b)+ 3}/(2 √3)= 0.288675(a+b)+ 0.8660254,
(b+c)^(1/3)≦{(b+c)+(11/6)+(11/6)}/{3 (11/6)^(2/3)}= 0.222528(b+c)+ 0.815935
(c+a)^(1/4)≦{(c+a) +(7/6)+(7/6)+(7/6)}/{4 (7/6)^(3/4)}= 0.222705(c+a)+ 0.7794674

(左辺)≦ 0.511380 (a+b+c) + 2.4614278 ≦ 3.995568  (← a+b+c≦3)

ただし、条件 a+b+c≦3 を使い、出題よりも広い範囲で考えている。

出題の最大値 〜 3.9147720586
(a,b,c)=(1.17121、1.35653、0.396885)

136
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/07/17 10:01:47  ID:SY6Y6f40.net(14)
[2009 大阪教育大]
(1) 実数 a,b が、a>0、ab≧4 をみたすとき、a+b≧4 を示せ。
(2) 実数 x,y が、x>0、(x^8)(y-x^2)≧4 をみたすとき、x(x+y)≧4 を示せ。

(1)のヒントがなかったら、(2)はどうするんだろう。(1)があってもムズいが…。
コメント4件

137
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/07/17 10:21:27  ID:SY6Y6f40.net(14)
>136
(2)の結論の式は、等号は成り立たんよなあ。
コメント2件

138
[sage]   投稿日:2017/07/17 10:36:15  ID:PMZXT70X.net(52)
▼▼▼馬鹿板からは身を引き、日々学問に真剣に取り組む姿勢こそが人の道である。▼▼▼


139
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/07/17 13:05:29  ID:2cOdQU+V.net(4)
>136

(1) (a+b)^2 = 4ab + (a-b)^2 ≧ 4ab ≧ 4^2

(2) y ≧ xx + 4/x^8 = 4/x^3 + (x - 2/x^4)^2 ≧ 4/x^3,

  x(x+y) ≧ x(x + 4/x^3) = xx + 4/xx = 4 + (x - 2/x)^2 ≧ 4,

140
[sage]   投稿日:2017/07/17 14:25:41  ID:PMZXT70X.net(52)
▼▼▼馬鹿板からは身を引き、日々学問に真剣に取り組む姿勢こそが人の道である。▼▼▼


141
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/07/17 15:40:07  ID:SY6Y6f40.net(14)
>77
> a, b, c は a^2 + b^2 + c^2 + abc = 4 をみたす正の実数とする。
> (1) a+b+c ≧ ab+bc+ca
>
> 出典のmemoがないでござる。過去スレにあるかも…

過去スレを漁ってみたら、たぶん、以下の問題と混同してしまったっぽい。
条件式が ab+bc+ca+abc=4 で違う。申し訳ないでござる。
反例をうまく見つけられんけど、 a^2 + b^2 + c^2 + abc = 4 のときには成り立つのかな?


[不等式スレ第4章 701]
> 701 名前:132人目の素数さん[sage] 投稿日:2010/08/29(日) 23:19:11
> a,b,c≧0、ab+bc+ca+abc=4のとき、a+b+c≧ab+bc+caを示せ
> 「大学への数学 2010-7 宿題」
>
> (解1) b+c=s、bc=t とおくと、a=(4-s)/(1+t)で、
> 0 < t ≦ (s^2)/4 で f(t) = -t^2+(s-1)t+s^2-4s+4 ≧ 0 を示す
>
> (解2 >143) a≦b≦c とおくと a≦1≦c で、
> a+b+c-(ab+bc+ca) = {ac(1-a)(c-1)+(a+c-2)^2}/(1+ac) ≧ 0
>
> 解説には、「今のところ対称性を崩さない綺麗なジャイアンは見つかっていない」とある

142
[sage]   投稿日:2017/07/17 16:26:18  ID:PMZXT70X.net(52)
▼▼▼馬鹿板からは身を引き、日々学問に真剣に取り組む姿勢こそが人の道である。▼▼▼


143
[sage]   投稿日:2017/07/17 17:35:37  ID:PMZXT70X.net(52)

144
[sage]   投稿日:2017/07/17 17:35:56  ID:PMZXT70X.net(52)

145
[sage]   投稿日:2017/07/17 17:36:15  ID:PMZXT70X.net(52)

146
[sage]   投稿日:2017/07/17 17:36:34  ID:PMZXT70X.net(52)

147
[sage]   投稿日:2017/07/17 17:36:54  ID:PMZXT70X.net(52)

148
[sage]   投稿日:2017/07/17 17:37:14  ID:PMZXT70X.net(52)

149
[sage]   投稿日:2017/07/17 17:37:32  ID:PMZXT70X.net(52)

150
[sage]   投稿日:2017/07/17 17:38:01  ID:PMZXT70X.net(52)

151
[sage]   投稿日:2017/07/17 17:38:17  ID:PMZXT70X.net(52)

152
[sage]   投稿日:2017/07/17 17:38:42  ID:PMZXT70X.net(52)

153
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/07/17 19:35:16  ID:SY6Y6f40.net(14)
[不等式スレ 第3章 343、第4章 627]
> cos(sinx)>sin(cosx) をしめせ。 (xは任意の実数)

改造せずにはいられない。
-π/2 < x < π/2 のとき、cos(sin x) > cos x > sin(cos x)

  ∧,,∧
 (;`・ω・)  。・゚・⌒)  不等式 改造するよ!!
 /   o━ヽニニフ))
 しー-J
コメント4件

154
[sage]   投稿日:2017/07/17 19:52:08  ID:PMZXT70X.net(52)
▼▼▼馬鹿板からは身を引き、日々学問に真剣に取り組む姿勢こそが人の道である。▼▼▼


155
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/07/17 20:16:54  ID:SY6Y6f40.net(14)
>77(4)
2+a = 1+1+a ≧ 3*a^(1/3)
2+b = 1+1+b ≧ 3*b^(1/3)
2+c = 1+1+c ≧ 3*c^(1/3)
∴(2+a)(2+b)(2+c) ≧ 27*(abc)^(1/3)

ところで、a,b,c>0 かつ a^2 + b^2 + c^2 + abc = 4 のときに、
「Easy to get that abc≦1」 とあるけど、どのようにして分かるんでせうか?
http://artofproblemsolving.com/community/c6h527320p2994128
コメント2件

156
[sage]   投稿日:2017/07/17 20:24:26  ID:PMZXT70X.net(52)
▼▼▼馬鹿板からは身を引き、日々学問に真剣に取り組む姿勢こそが人の道である。▼▼▼


157
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/07/17 20:34:26  ID:SY6Y6f40.net(14)
>155

     |
 \  __  /
 _ (m) _ピコーン
    |ミ|
 /___\ 
 ./  ≧ \ 
 |::::  \ ./ | 
 |::::: (● (● | < 相加! 相乗か!
 ヽ::::... .ワ.....ノ

158
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/07/17 21:08:58  ID:SY6Y6f40.net(14)
>77 (2)
改造せずにはいられない。
a^2 + b^2 + c^2 ≧ abc+2 ≧ ab+bc+ca ≧ abc


               ゚・ 。  ・。
               。・゚・⌒)
  −=≡       o━ヽニニフ ))
 −=≡   ( ゚∀゚)彡。・゚。・⌒)
−=≡   ⊂   o━ヽニニフ ))
 −=≡   ( ⌒)  改造! 改造!
  −=≡  c し'

159
¥氏 [sage]   投稿日:2017/07/17 21:23:39  ID:PMZXT70X.net(52)

160
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/07/18 03:40:55  ID:bAXQRDUT.net(2)
>77 追加

a,b,c≧0、a^2 + b^2 + c^2 + abc = 4のとき、

(8) bc/a + ca/b + ab/c + a + b + c ≧6
(9) sqrt(bc/a) + sqrt(ca/b) + sqrt(ab/c) ≧ sqrt(8+abc)
(10) sqrt(a/(bc)) + sqrt(b/(ca)) + sqrt(c/(ab)) ≧ 1 + 2/sqrt(abc)

https://artofproblemsolving.com/community/c6h527320s1_a2b2c2abc4_two_inequali...

どうやるんだろう…
コメント2件

161
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/07/18 04:49:04  ID:gmN7VRE9.net(2)
>153
各辺が周期πをもつばあいは、(最寄りの mπ から π/2 以内にあるとして)mπずらすことが可能でござる。
(オリジナルの周期は2πゆえ)たとえば絶対値を付けて
 cos(sin(x))≧|cos(x)|≧ |sin(cos(x))|,

162
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/07/19 04:31:14  ID:OXFuyCoZ.net(10)
>153 (続き)

-π/2 ≦ x ≦π/2 に対して
 cos(sin(x))≧|cos(x)|≧|sin(cos(x))|
ゆえ、任意の実数に対して成り立つ。
 左の等号 x=mπ
 右の等号 x=mπ±π/2


〔類題〕
 0.107126944873 ≦ cos(sin(x))-|sin(cos(x))|≦ cos(1)〜 0.54030230
 左の等号 x=mπ±0.692728570
 右の等号 x=mπ±π/2

163
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/07/19 05:59:21  ID:3YGTFP1s.net(10)
>69 (1)
> 正の数 a,b,c に対して、
> (a+b+c)^5 ≧ 27(ab+bc+ca)(ab^2 + bc^2 +ca^2)

基本対称式 s,t,u に置き換えても、うまく証明できんでござる。
コメント4件

164
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/07/19 06:06:03  ID:3YGTFP1s.net(10)
>160 (9)(10)
sqrt(x)は上に凸だから、Jensenは使えんのよなあ。

165
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/07/19 07:03:54  ID:3YGTFP1s.net(10)
[不等式 第7章]
> 241 名前:132人目の素数さん[sage] 投稿日:2014/09/18(木) 00:44:36.72
> 0<x<y<π/2の時
> (tanx/x)^x+(siny/y)^y<(tany/y)^y+(sinx/x)^x
> を示せ

これも証明できていない…
コメント1件

166
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/07/19 08:55:53  ID:3YGTFP1s.net(10)
ASU 1969.14 の巡回不等式を探そうとしたら消えていた。他も殆ど見れなくなっている… ('A`)ヴォエァ!
https://mks.mff.cuni.cz/kalva/index2.html
コメント2件

167
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/07/19 08:58:35  ID:OXFuyCoZ.net(10)
>69 (1)
>163
 0 ≦ a ≦ b, c としてよい。
 この場合は基本対称式よりも b+c-2a = x の方がいいんぢゃね?

(左辺)=(a+b+c)^5 =(3a+x)^5
    = 243a^5 + 405a^4x + 270aaaxx + 90aaxxx + 15ax^4 + x^5,

 ab+bc+ca = 3aa + 2a(b+c-2a)+(b-a)(c-a)≦ 3aa + 2ax +(1/4)xx,
 abb+bcc+caa = 3aaa+3aa(b+c-2a)+a(b+c-2a)^2+(b-a)(c-a)^2 ≦ 3aaa+3aax+axx+(4/27)xxx,
(右辺)=27(ab+bc+ca)(abb+bcc+caa)≦243a^5+405a^4x+(1053/4)aaaxx+(345/4)aaxxx+(59/4)ax^4+x^5,

(左辺)-(右辺)≧ a(27aa+15ax+xx)xx/4 ≧ 0,
コメント6件

168
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/07/19 09:58:00  ID:OXFuyCoZ.net(10)
>69 (1)
>163
 3a = A, b+c-2a = x とおくと…

(左辺)/243 ={(a+b+c)/3}^5 =(A+x)^5
   = A^5 + 5A^4・x + 10AAAxx + 10AAxxx + 5Ax^4 + x^5,

 ab+bc+ca ≦ {AA + 2Ax + (3/4)xx}/3,
 abb+bcc+caa ≦{AAA +3AAx +3Axx +(4/3)xxx}/9,
(右辺)/243 = (ab+bc+ca)(abb+bcc+caa)/9
   ≦ A^5 + 5A^4・x +(9.75)AAAxx +(9.58333…)AAxxx +(4.91666…)Ax^4 + x^5,

(左辺)-(右辺)≧ A(3AA+5Ax+xx)xx/12 ≧ 0,

>167 と同じだが…

169
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/07/19 10:37:49  ID:OXFuyCoZ.net(10)
>137

x(x+y) ≧ 4.283918322582003
(x=1.1960916895833343 y=2.3855052397246037)
 3x^10 + 2x^9 - 28 = 0 の正根

170
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/07/19 17:31:41  ID:3YGTFP1s.net(10)
>167
さんくす。今夜読んでみます。

Shapiroの巡回不等式のn=6のときの証明を、>2 [4] を見ながらやってみたけど、途中で詰まったでござる。
n=3のときは、f(x)=x/(s-x) に Jensenでok?
コメント4件

171
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/07/19 19:52:03  ID:OXFuyCoZ.net(10)
>170
>2 [3] 「不等式への招待」(1987)p.28-30 を読むと

 B_i = x_{i+1} + x_{i+2}
とおく。ただし x_{n+1} = x_1, x_{n+2} = x_2

コーシーより
 Σ[i=1,n] x_i / B_i ≧ (Σ[i=1,n] x_i)^2 / {Σ[j=1,n] x_j B_j},

ゆえ
 (Σ[i=1,n] x_i)^2 -(n/2)Σ[j=1,n] x_j B_j ≧ 0
を言えばよい。

n=3,5 の場合は
 {1/(n-1)}Σ[1≦i<j≦n] (xi-xj)^2 ≧ 0,

n=4 のとき
 (x1-x3)^2 + (x2-x4)^2 ≧ 0,

n=6 のとき
 (1/2){(y1-y2)^2 + (y2-y3)^2 + (y3-y1)^2} ≧ 0,
 ここに、y1=x1+x4、y2=x2+x5、y3=x3+x6
と思うけど…
コメント2件

172
132人目の素数さん[]   投稿日:2017/07/20 01:52:11  ID:Oabzsbx8.net(4)
>170

n=3(Nesbitt)の方はそれで おk ですね。ほかにも
 
a/(b+c)=(1/2){(a+b)/(b+c) -1 +(c+a)/(a+b)}
を巡回的にたして相加-相乗平均する。

a/(b+c)=(a+b+c)/(b+c) - 1
を巡回的にたして相加-調和平均する。

など種々ありますね。
http://mathtrain.jp/nesbitt

173
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/07/20 02:37:10  ID:Oabzsbx8.net(4)
ピコーン太郎が歌う…

I have a function u(x) which satisfies{p1(x) u '(x)}' + q1(x)u(x) = 0.

I have a function v(x) which satisfies{p2(x) v '(x)}' + q2(x)v(x) = 0.

mmmmmmmmmmmmmm

Picone identity

{1/u(x)^2}{u(x)[p1(x)u '(x) - p2(x)u(x)v'(x)/v(x)]} ' = {q2(x)-q1(x)} + {p1(x)-p2(x)}{u '(x)/u(x)}^2 + p2(x){u '(x)/u(x) - v '(x)/v(x)}^2,

174
[sage]   投稿日:2017/07/20 07:08:31  ID:R+taoMN8.net(68)

175
[sage]   投稿日:2017/07/20 07:08:49  ID:R+taoMN8.net(68)

176
[sage]   投稿日:2017/07/20 07:09:09  ID:R+taoMN8.net(68)

177
[sage]   投稿日:2017/07/20 07:09:31  ID:R+taoMN8.net(68)

178
[sage]   投稿日:2017/07/20 07:09:50  ID:R+taoMN8.net(68)

179
[sage]   投稿日:2017/07/20 07:10:08  ID:R+taoMN8.net(68)

180
[sage]   投稿日:2017/07/20 07:10:25  ID:R+taoMN8.net(68)

181
[sage]   投稿日:2017/07/20 07:10:45  ID:R+taoMN8.net(68)

182
[sage]   投稿日:2017/07/20 07:11:06  ID:R+taoMN8.net(68)

183
[sage]   投稿日:2017/07/20 07:11:26  ID:R+taoMN8.net(68)

184
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/07/20 17:09:09  ID:27eqirM3.net(12)
>167-168
難しいです…。 検索して別のを見つけたが、bを中央の項としたとき、
なぜ 4(a^2+ac+c^2)(ab+bc+ca) ≦ (a+c)^2*(a+b+c)^2 となるのか分かりませぬ。
https://artofproblemsolving.com/community/c6h1235638p6275527

さらに強い不等式が載っている。
a,b,c>0 のとき、108(a+b+c)^5 ≧ (ab+bc+ca)(3125(a^2b+b^2c+c^2a)-627abc)

>171
n=6の式変形が神。
分かってて変形しないと出来そうにない。
コメント8件

185
[sage]   投稿日:2017/07/20 17:16:33  ID:R+taoMN8.net(68)
★★★馬鹿板は悪い習慣であり、大脳が劣化します。なので早く止めましょう。★★★


186
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/07/20 17:16:57  ID:27eqirM3.net(12)
>62-63
小野ちゃんの不等式から、三角形絡みの不等式を検索して、フランダースの不等式に辿り着いた。
ところが過去スレを検索すると、既に初代スレに載っていたでござった…。全く記憶にござらぬ…。

[不等式 第1章]
> 668 名前:580[sage] 投稿日:04/11/22(月) 11:39:24
> 【補題】A+B+C=π, 0<A,B,C<π のとき、
>  0 < sin(A)sin(B)sin(C) ≦ {(3√3)/2π}^3 ABC ≦ (3√3)/8.
>  -1 < cos(A)cos(B)cos(C) ≦ [1-cos(A)][1-cos(B)][1-cos(C)] ≦ 1/8.
>
>  フランダースの不等式 とか言うらしい...
>  http://mathworld.wolfram.com/FlandersInequality.html
> ぬるぽ


   ,.-─-、
   / /_wゝ-∠l
   ヾ___ノ,. - >
   /|/(ヽY__ノミ
  .{   rイ  ノ
パトラッシュ、疲れたろう。
僕も疲れたんだ…
何だかとても眠いんだ…パトラ…

187
[sage]   投稿日:2017/07/20 17:22:58  ID:R+taoMN8.net(68)
★★★忖度と処世術に汚染された日本人:権威主義的な支配と損したくない人達★★★
  〜〜〜芳雄氏が言う『研究者としての基本的態度』とは一体何だろうか〜〜〜

佐藤幹夫:自分自身の素朴な疑問に真剣に耳を傾ける。⇒不滅の金字塔を打ち立てる。
糞父芳雄:人間関係を駆使し他人を操り根回しを行う。⇒ハリボテお教授として君臨。

隠蔽の財務省、嘘吐きの文科省、そして問答無用に屈服させる官邸。コレでも先進国?

(佐藤師がしてたのは本物の研究だ。だが)芳雄氏がしてたのはケケケ、ケンキュウ。
外見を繕って偉そう見せさえすれば何でもヨロシ。ほんで教授になりさえすれば研究の
中身なんて何でもヨロシ。そもそも論文なんてモンは、外国の権威ある雑誌に掲載され
さえすれば、その中身のギロンなんて何でもヨロシ。そやし適当に書いてしまえ〜〜〜
中身がダメだと知ってて、ソレでもSTAP論文を外国に投稿して受理される。発覚したら
適当に言い逃れる醜い態度。オツムのダメな大学院生に「虚偽の良品ラベル」を貼って
世間に出荷するハリボテ大学は詐欺行為そのもの。世間に媚びを売って客商売に徹し、
『売れさえすれば学生の脳の質なんて何でもヨロシ』と居直る大学。そしてブランド名
だけを見て仕入れる世間。●●は一流大学やさかい、きっと優秀なエリートやろwww

中身を何も説明しないで、問答無用に上から押し付ける。ソレをイチャモンで騒いで、
そして邪魔して潰そうとする周囲の下々。大学教員も国会議事堂も、そして馬鹿板人の
遣ってる事も皆同じだ。日本人はバカ民族であり、今は外国にもちゃんとバレてるので
海外からも軽蔑されるだけであり、そのうちにどの国からも信用されなくなるだろう。

近視眼的で打算的な人生観を息子に押し付ける父親と、大脳に栄養が足りてない連中が
跋扈する永田町や霞が関に支配される国に住む不幸、一体どうしてくれるというのか。

■■■馬鹿板をスルと稲田朋美みたいな嘘吐きになります。そやし止めなさい。■■■


188
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/07/20 17:34:38  ID:27eqirM3.net(12)
>69 (1)
https://math.stackexchange.com/questions/709654/inequality-problem-abc5-geq2...

いろんな解法を使いこなせるようになりたいものでござる。演習不足。

    ウワァァ!!
    (>'A`)>
    ( ヘヘ
コメント2件

189
[sage]   投稿日:2017/07/20 17:41:27  ID:R+taoMN8.net(68)
★★★馬鹿板は悪い習慣であり、大脳が劣化します。なので早く止めましょう。★★★


190
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/07/20 17:47:02  ID:27eqirM3.net(12)
ageるとコピペ荒らしが来るから、sage進行で行きましょう。
まぁ Jane Style を使っているから、荒らし自体は あぼーんされて見えないけど、
無駄にレスが消費されて、すぐに次スレを立てないといけなくなるから。

191
[sage]   投稿日:2017/07/20 18:20:47  ID:R+taoMN8.net(68)

192
[sage]   投稿日:2017/07/20 18:21:11  ID:R+taoMN8.net(68)

193
[sage]   投稿日:2017/07/20 18:21:31  ID:R+taoMN8.net(68)

194
[sage]   投稿日:2017/07/20 18:21:50  ID:R+taoMN8.net(68)

195
[sage]   投稿日:2017/07/20 18:22:09  ID:R+taoMN8.net(68)

196
[sage]   投稿日:2017/07/20 18:22:26  ID:R+taoMN8.net(68)

197
[sage]   投稿日:2017/07/20 18:22:44  ID:R+taoMN8.net(68)

198
[sage]   投稿日:2017/07/20 18:23:10  ID:R+taoMN8.net(68)

199
[sage]   投稿日:2017/07/20 18:23:29  ID:R+taoMN8.net(68)

200
[sage]   投稿日:2017/07/20 18:23:48  ID:R+taoMN8.net(68)

201
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/07/20 18:39:18  ID:27eqirM3.net(12)
>188
Wlog、bを中央の項として、
c(a-b)(b-c)≧0 ⇔ b(a^2+ac+c^2) ≧ a^2b+b^2c+c^2a

(a+b+c)^5
= (1/8)*{2b + (a+c) + (a+c)}^3*(a+b+c)^2
≧ (27/4)*b(a+c)^2*(a+b+c)^2
= (27/4)*b*{(a^2+ac+c^2) + (ab+bc+ca)}^2
≧ 27b(a^2+ac+c^2)(ab+bc+ca)
≧ 27(a^2b+b^2c+c^2a)(ab+bc+ca)

  ┏━━━┓
  ┃ Q.E.D. ┃
  ┗━┳━┛
( ゚∀゚) ノ
コメント4件

202
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/07/20 18:40:59  ID:27eqirM3.net(12)
>184
> さらに強い不等式が載っている。
> a,b,c>0 のとき、108(a+b+c)^5 ≧ (ab+bc+ca)(3125(a^2b+b^2c+c^2a)-627abc)

難しすぎて ズコー
        ∧∧
       ヽ(・ω・)/   
      \(.\ ノ
    、ハ,,、  ̄
     ̄
コメント2件

203
[sage]   投稿日:2017/07/20 19:07:22  ID:R+taoMN8.net(68)
★★★忖度と処世術に汚染された日本人:権威主義的な支配と損したくない人達★★★
  〜〜〜芳雄氏が言う『研究者としての基本的態度』とは一体何だろうか〜〜〜

佐藤幹夫:自分自身の素朴な疑問に真剣に耳を傾ける。⇒不滅の金字塔を打ち立てる。
糞父芳雄:人間関係を駆使し他人を操り根回しを行う。⇒ハリボテお教授として君臨。

隠蔽の財務省、嘘吐きの文科省、そして問答無用に屈服させる官邸。コレでも先進国?

(佐藤師がしてたのは本物の研究だ。だが)芳雄氏がしてたのはケケケ、ケンキュウ。
外見を繕って偉そう見せさえすれば何でもヨロシ。ほんで教授になりさえすれば研究の
中身なんて何でもヨロシ。そもそも論文なんてモンは、外国の権威ある雑誌に掲載され
さえすれば、その中身のギロンなんて何でもヨロシ。そやし適当に書いてしまえ〜〜〜
中身がダメだと知ってて、ソレでもSTAP論文を外国に投稿して受理される。発覚したら
適当に言い逃れる醜い態度。オツムのダメな大学院生に「虚偽の良品ラベル」を貼って
世間に出荷するハリボテ大学は詐欺行為そのもの。世間に媚びを売って客商売に徹し、
『売れさえすれば学生の脳の質なんて何でもヨロシ』と居直る大学。そしてブランド名
だけを見て仕入れる世間。●●は一流大学やさかい、きっと優秀なエリートやろwww

中身を何も説明しないで、問答無用に上から押し付ける。ソレをイチャモンで騒いで、
そして邪魔して潰そうとする周囲の下々。大学教員も国会議事堂も、そして馬鹿板人の
遣ってる事も皆同じだ。日本人はバカ民族であり、今は外国にもちゃんとバレてるので
海外からも軽蔑されるだけであり、そのうちにどの国からも信用されなくなるだろう。

近視眼的で打算的な人生観を息子に押し付ける父親と、大脳に栄養が足りてない連中が
跋扈する永田町や霞が関に支配される国に住む不幸、一体どうしてくれるというのか。

■■■馬鹿板をスルと稲田朋美みたいな嘘吐きになります。そやし止めなさい。■■■


204
[sage]   投稿日:2017/07/20 20:07:19  ID:R+taoMN8.net(68)

205
[sage]   投稿日:2017/07/20 20:07:42  ID:R+taoMN8.net(68)

206
[sage]   投稿日:2017/07/20 20:08:02  ID:R+taoMN8.net(68)

207
[sage]   投稿日:2017/07/20 20:08:21  ID:R+taoMN8.net(68)

208
[sage]   投稿日:2017/07/20 20:08:41  ID:R+taoMN8.net(68)

209
[sage]   投稿日:2017/07/20 20:09:00  ID:R+taoMN8.net(68)

210
[sage]   投稿日:2017/07/20 20:09:17  ID:R+taoMN8.net(68)

211
[sage]   投稿日:2017/07/20 20:09:36  ID:R+taoMN8.net(68)

212
[sage]   投稿日:2017/07/20 20:09:55  ID:R+taoMN8.net(68)

213
[sage]   投稿日:2017/07/20 20:10:14  ID:R+taoMN8.net(68)

214
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/07/21 03:35:42  ID:aIensghT.net(8)
>184

(a+c)(a+b+c) = (aa+ac+cc) + (ab+bc+ca)だから

{(a+c)(a+b+c)}^2 ≧ 4(aa+ac+cc)(ab+bc+ca).

bが a,c の中間になくてもいいんぢゃね?
コメント2件

215
[sage]   投稿日:2017/07/21 04:02:09  ID:9Y4dp9MH.net(22)

216
[sage]   投稿日:2017/07/21 04:02:28  ID:9Y4dp9MH.net(22)

217
[sage]   投稿日:2017/07/21 04:02:47  ID:9Y4dp9MH.net(22)

218
[sage]   投稿日:2017/07/21 04:03:05  ID:9Y4dp9MH.net(22)

219
[sage]   投稿日:2017/07/21 04:03:22  ID:9Y4dp9MH.net(22)

220
[sage]   投稿日:2017/07/21 04:03:41  ID:9Y4dp9MH.net(22)

221
[sage]   投稿日:2017/07/21 04:04:00  ID:9Y4dp9MH.net(22)

222
[sage]   投稿日:2017/07/21 04:04:21  ID:9Y4dp9MH.net(22)

223
[sage]   投稿日:2017/07/21 04:04:40  ID:9Y4dp9MH.net(22)

224
[sage]   投稿日:2017/07/21 04:05:00  ID:9Y4dp9MH.net(22)

225
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/07/21 07:34:08  ID:aIensghT.net(8)
>184 >202

3a=A、b-a=y、c-a=z とおく。(x=y+z)

 a+b+c = A+x,
 ab+bc+ca =(AA +2Ax +3yz)/3,
 abc = (AAA +3AAx +9Ayz)/27,
 aab+bbc+cca = (AAA +3AAx +3Axx +9yyz)/9,

(a+b+c)^5 = (A+x)^5 = A^5 + 5A^4・x + 10AAAxx + 10AAxxx + 5Ax^4 + x^5,

27(ab+bc+ca)(abb+bcc+caa) = A^5 + 5A^4・x + AAA(9xx+3yz) + AA(6xxx+9xyz+9yyz) + A(9x+18y)xyz + 27yyyzz,

81(ab+bc+ca)abc = A^5 + 5A^4・x + AAA(6xx+12yz) + 27AAxyz + 27Ayyzz + 0,

A^i の係数の差(A^0 の項が 27yyyzz ≦ (2916/3125) x^5 であること等)を考慮して適当な重みを定める。
コメント8件

226
[sage]   投稿日:2017/07/21 09:11:09  ID:9Y4dp9MH.net(22)
★★★忖度と処世術に汚染された日本人:権威主義的な支配と損したくない人達★★★
  〜〜〜芳雄氏が言う『研究者としての基本的態度』とは一体何だろうか〜〜〜

佐藤幹夫:自分自身の素朴な疑問に真剣に耳を傾ける。⇒不滅の金字塔を打ち立てる。
糞父芳雄:人間関係を駆使し他人を操り根回しを行う。⇒ハリボテお教授として君臨。

隠蔽の財務省、嘘吐きの文科省、そして問答無用に屈服させる官邸。コレでも先進国?

(佐藤師がしてたのは本物の研究だ。だが)芳雄氏がしてたのはケケケ、ケンキュウ。
外見を繕って偉そう見せさえすれば何でもヨロシ。ほんで教授になりさえすれば研究の
中身なんて何でもヨロシ。そもそも論文なんてモンは、外国の権威ある雑誌に掲載され
さえすれば、その中身のギロンなんて何でもヨロシ。そやし適当に書いてしまえ〜〜〜
中身がダメだと知ってて、ソレでもSTAP論文を外国に投稿して受理される。発覚したら
適当に言い逃れる醜い態度。オツムのダメな大学院生に「虚偽の良品ラベル」を貼って
世間に出荷するハリボテ大学は詐欺行為そのもの。世間に媚びを売って客商売に徹し、
『売れさえすれば学生の脳の質なんて何でもヨロシ』と居直る大学。そしてブランド名
だけを見て仕入れる世間。●●は一流大学やさかい、きっと優秀なエリートやろwww

中身を何も説明しないで、問答無用に上から押し付ける。ソレをイチャモンで騒いで、
そして邪魔して潰そうとする周囲の下々。大学教員も国会議事堂も、そして馬鹿板人の
遣ってる事も皆同じだ。日本人はバカ民族であり、今は外国にもちゃんとバレてるので
海外からも軽蔑されるだけであり、そのうちにどの国からも信用されなくなるだろう。

近視眼的で打算的な人生観を息子に押し付ける父親と、大脳に栄養が足りてない連中が
跋扈する永田町や霞が関に支配される国に住む不幸、一体どうしてくれるというのか。

■■■馬鹿板をスルと稲田朋美みたいな嘘吐きになります。そやし止めなさい。■■■


227
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/07/21 12:10:20  ID:hHnI1U1h.net(6)
>71 (4)
AM-GMを2回。ユルユルでござった。改造の余地ありまくリング。

>225
>201のようなカラクリはないのかな?

>166
> 14. Prove that for any positive numbers a1, a2, ... , an we have:
> a1/(a2+a3) + a2/(a3+a4) + ... + an-1/(an+a1) + an/(a1+a2) > n/4
http://webee.technion.ac.il/people/aditya/www.kalva.demon.co.uk/soviet/so...

Shapiroよりユルユルだから、エレガントな証明方法があるんかなあ?
コメント4件

228
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/07/21 12:59:17  ID:aIensghT.net(8)
>227

>225 のようにバラバラに砕いたのは、「エレガントなカラクリ」を知らぬが故でござる。(最終兵器)
  ご存知なれば、伝授願いたいぐらい。

14.
[初代スレ.497-502] のことでござるか?
されば n/3 に改良する習わし也。

(補題)
 a/(b+c) +2b/(c+d) > (a+b)/(b+c) + (b+c)/(c+d) -1.

229
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/07/21 13:32:43  ID:aIensghT.net(8)
>227 (続き)

14. Shapiro
[初代スレ.497-502]
[第2章.284-285]
[第3章.172-173, 218-220]
[第4章.463-470]

n≦6の解法
[第2章.889-890]
[第8章.170-172]
コメント2件

230
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/07/21 20:28:46  ID:hHnI1U1h.net(6)
作ってみたけど、簡単な証明あるかな? ( ゚∀゚) ウヒョッ!

a,b,c>0 に対して、{ a/sqrt(b+c) + b/sqrt(c+a) + c/sqrt(a+b) }^2 ≧ 3(a+b+c)/2
コメント6件

231
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/07/21 20:29:28  ID:hHnI1U1h.net(6)
>229
さんくす。過去スレは宝箱ですなあ。

232
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/07/22 15:48:14  ID:G0nvuSlz.net(4)
>230

(解1)
a+b+c=s とおく。
f(X) = X/√(s-X)= s/√(s-X) - √(s-X)
は下に凸ゆえ Jensen で
f(a)+ f(b)+ f(c)≧ 3f(s/3)= √(3s/2),

(解2)
x=b+c, y=c+a, z=a+b とおく。
 a/√(b+c)=(y+z-x)/(2√x)≧{2√(yz) -x}/(2√x),
したがって、
 a/√(b+c)+ b/√(c+a)+ c/√(a+b)
 ≧{√(yz/x)+ √(zx/y)+ √(xy/z)}/2     …(*)
 = (xy+yz+zx)/(2√xyz),

(左辺) ≧ (xy+yz+zx)^2 /(4xyz)≧ 3(x+y+z)/4   …(**)
 = 3(a+b+c)/2,


*){√(yz)-x}/√x +{√(zx)-y}/√y +{√(xy)-z}/√z
 ={(xy+yz+zx)-x√(yz) -y√(zx)-z√(xy)}/√(xyz)
 ={x(√y-√z)^2 + y(√z-√x)^2 + z(√x-√y)^2}/(2√xyz)
 ≧0,

**)(xy+yz+zx)^2 - 3xyz(x+y+z)={xx(y-z)^2 + yy(z-x)^2 + zz(x-y)^2}≧ 0,
コメント4件

233
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/07/22 16:03:11  ID:G0nvuSlz.net(4)
さて、本題に戻って…

(a+b+c)^5 ≧(ab+bc+ca){27(K+1)(aab+bbc+cca) -81K・abc}

とおいて、A^i の係数を求めます。 >225

A^3 の係数から
 K ≦ 1/3,

A^2 の係数から
 K ≦ 0.182688493788
 (等号成立は y/z = 1.52984518)

A^1 の係数から
 K ≦ 0.07648328329
 (等号成立は y/z = 1.5765615)

A^0 の係数から
 27yyyzz = (2916/3125)(5y/3)^3 (5z/2)^2 ≦ (2916/3125)(y+z)^5 = (2916/3125)x^5,
 K ≦(3125/2916)- 1 =(209/2916)= 0.0716735…
 (等号成立は y/z = 3/2)

なんか上限がだんだん下がって来て窮屈ですが・・・
 K =(209/2916)とすれば OKです。

------------------------------------------------
(訂正)
27(ab+bc+ca) (aab+bbc+cca)= A^5 + 5A^4・x + …
コメント2件

234
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/07/23 09:39:32  ID:p7xlQ3BC.net(4)
>232
さすがなり。 >230の元になった問題は以下。
https://math.stackexchange.com/questions/1483425/olympiad-inequality-problem...

 a,b,c>0、a+b+c+abc=4 に対して、
 (ab+bc+ca)*{ a/sqrt(b+c) + b/sqrt(c+a) + c/sqrt(a+b) }^2 ≧ (1/2)*(4-abc)^3

条件 a+b+c+abc=4 は、右辺を難しそうに見せるだけのノイズと見て削除して、

 a,b,c>0 に対して、
 (ab+bc+ca)*{ a/sqrt(b+c) + b/sqrt(c+a) + c/sqrt(a+b) }^2 ≧ (1/2)*(a+b+c)^3

これは一般化されたヘルダーの不等式から出てくるが、他に易しい証明ないかな?
この右辺を弄って >230 を得る。
コメント4件

235
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/07/23 09:50:23  ID:p7xlQ3BC.net(4)
>234
>  a,b,c>0 に対して、
>  (ab+bc+ca)*{ a/sqrt(b+c) + b/sqrt(c+a) + c/sqrt(a+b) }^2 ≧ (1/2)*(a+b+c)^3
>
> これは一般化されたヘルダーの不等式から出てくるが、

について、蛇足。

{a(b+c)+b(c+a)+c(a+b)}^(1/3)*{ a/sqrt(b+c) + b/sqrt(c+a) + c/sqrt(a+b) }^(2/3) ≧ a+b+c

236
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/07/23 10:08:15  ID:yTyAIG7a.net(6)
>225 >233
 参考のため残しておきまつ。

(a+b+c)^5 -(ab+bc+ca){27(1+K)(aab+bbc+cca)- 81K・abc}における

A^3 の係数:
 (1-3K)(yy-yz+zz),

A^2 の係数:
 (4-6K)yyy -(6+9K)yyz + 3yzz +(4-6K),

A^1 の係数:
 5y^4 -(7+27K)y^3・z -(6+9K)yyzz + (11-9K)yz^3 + 5z^4,

A^0 の係数:
 (y+z)^5 - 27(1+K)yyyzz,

y≧0、z≧0 において上記がすべて非負となるような K≧0
を取れば十分でござる。
(x=y+z を使った)

237
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/07/23 11:15:00  ID:yTyAIG7a.net(6)
>234-235
 コーシーで一発でしたか... 参ったでござる。

238
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/07/23 19:25:31  ID:yTyAIG7a.net(6)
>184 >201 >214 を改造...

a+b+c = s、ab+bc+ca = t とおく。

{(a+c)s}^2 - 4(aa+ac+cc)t = (aa+ac+cc - t)^2 = δ

ss - 3t ={(a-c)^2・t + δ}/(a+c)^2 ≧ t|(a-c)/(a+c)|^2,
コメント2件

239
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/07/24 10:30:53  ID:mq+pfYuQ.net(16)
>232
> *){√(yz)-x}/√x +{√(zx)-y}/√y +{√(xy)-z}/√z

{2√(yz)-x}/2√x +{2√(zx)-y}/2√y +{2√(xy)-z}/2√z を計算しないといけないのでは?
コメント2件

240
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/07/24 13:11:01  ID:mq+pfYuQ.net(16)
0 ≦ x ≦ π/2 に対して、2^{(sin x)*(cos x)} ≦ sinx + cos x ≦ sqrt(2)
コメント4件

241
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/07/24 14:26:58  ID:mq+pfYuQ.net(16)
>240 をプチ改造。
> 0 ≦ x ≦ π/2 に対して、2*sqrt{(sin x)*(cos x)} ≦ 2^{(sin x)*(cos x)} ≦ sinx + cos x ≦ sqrt(2)

242
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/07/24 15:01:01  ID:qItz5GdJ.net(4)
>238
(大意)
ss/t の値は、a,b,c が似たり寄ったりのときは3よりチョト大きいだけだが、
a,b,c が極端に違うときは(2変数値の)4に近いよ。


>239
略しすぎた…
{2√(yz) -x}/(2√x) = {√(yz)}/(2√x) + {√(yz) - x}/(2√x),
のように分けたのでござる。
後ろの項は 巡回和すれば ≧0 でござる。(*)

ついでながら(**)の方も 1/2 が抜けてますな。トホホ

243
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/07/24 15:54:27  ID:qItz5GdJ.net(4)
>240-241

t = 2sin(x)cos(x)とおくと、0≦t≦1

一方、f(t)= 2^t は下に凸で f(0)=1, f(1)=2, f(2)=4 を通る。

0≦t≦1 では
(t=1、t=2 の割線)より上で、(t=0、t=1 の割線)より下。
∴  2t ≦ f(t) ≦ 1 + t ≦ 2,
4sin(x)cos(x)≦ 2^{2sin(x)cos(x)}≦ 1 + 2sin(x)cos(x)≦ 2,
各辺≧0 ゆえ平方根をとる。
コメント2件

244
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/07/24 16:08:03  ID:mq+pfYuQ.net(16)
>243
実にエレガント!

元ネタは [数蝉NOTE (2005.08締切分)]
x, y≧0 かつ x^2 + y^2=1 のとき、2^(xy) ≦ x+y ≦ sqrt(2).

まず、0 ≦ (x-y)^2 = 1-2xy より、0 ≦ xy ≦ 1/2 だから、

右 : (x+y)^2 = 1+2xy ≦ 2.
左 : (x+y)^{1/(xy)} = (1+2xy)^{1/(2xy)} ≧ 1 + 2xy*{1/(2xy)} = 2.

ベルヌーイの不等式を用いて、鶏を割くに焉んぞ牛刀を用いん…。

245
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/07/24 16:37:45  ID:mq+pfYuQ.net(16)
まぁ、いろんな証明方法が身につくから褒め言葉なんですがね → 牛刀。

246
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/07/24 16:38:56  ID:dN93W7ZJ.net(2)
夏休みだから賑わってるのかな?
コメント2件

247
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/07/24 16:49:08  ID:mq+pfYuQ.net(16)
>246
君も混ざれ!

248
132人目の素数さん[]   投稿日:2017/07/24 19:10:05  ID:DNnE4oh/.net(2)
おめでとう
君は質問スレと面白スレの次くらいに人がいるスレを見つけた!!
コメント2件

249
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/07/24 19:10:56  ID:mq+pfYuQ.net(16)
>248
上げるなよ。コピペ荒らしの被害を受けるだろうが! 迷惑な奴め!

250
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/07/24 19:31:23  ID:mq+pfYuQ.net(16)
どうしてそういう嫌がらせをするのかな? やる気なくすわ…。

251
[sage]   投稿日:2017/07/25 00:56:07  ID:1OMr9h78.net(20)

252
[sage]   投稿日:2017/07/25 00:56:24  ID:1OMr9h78.net(20)

253
[sage]   投稿日:2017/07/25 00:56:40  ID:1OMr9h78.net(20)

254
[sage]   投稿日:2017/07/25 00:56:56  ID:1OMr9h78.net(20)

255
[sage]   投稿日:2017/07/25 00:57:13  ID:1OMr9h78.net(20)

256
[sage]   投稿日:2017/07/25 00:57:30  ID:1OMr9h78.net(20)

257
[sage]   投稿日:2017/07/25 00:57:46  ID:1OMr9h78.net(20)

258
[sage]   投稿日:2017/07/25 00:58:11  ID:1OMr9h78.net(20)

259
[sage]   投稿日:2017/07/25 00:58:37  ID:1OMr9h78.net(20)

260
[sage]   投稿日:2017/07/25 00:58:53  ID:1OMr9h78.net(20)

261
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/07/27 23:44:58  ID:1T4+Oazx.net(2)
〔問題1.96改〕
x, y, z ≧ 0 のとき
 x^3 + y^3 + z^3 -3xyz ≧ 4|(x-y)(y-z)(z-x)|,

ルーマニアMO-2007(改)
[9] 佐藤、演習問題1.96(改) >2

-------------------------------
(略証)
yはxとzの中間にあるとする。
(x-y)(y-z)≧0,
 xx+yy+zz-xy-yz-zx =(x-y)^2 +(x-y)(y-z)+(y-z)^2,
 x+y+z ≧ |x-y| + |y-z| + min{|x-y|,|y-z|},
辺々掛けて
 x^3 + y^3 + z^3 -3xyz ≧(|x-y| + |y-z|)^3
 = |x-z|^3
 ≧4|(x-y)(y-z)(z-x)|,
コメント10件

262
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/07/28 00:01:37  ID:j+jikqys.net(4)
〔楠瀬の不等式〕
x, y, z≧0 のとき
x^3 + y^3 + z^3 -3xyz ≧ k|(x-y)(y-z)(z-x)|,
 但し k = √(9+6√3)= 4.403669475・・・・・

数セミ創刊30周年記念『エレガントな問題をもとむ』【優秀賞】受賞問題2
 出題: 1992年4月, p.79
 解説: 1992年7月, p.59-60
 [初代スレ.836-869]
コメント4件

263
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/07/28 00:35:42  ID:KBT/ECMI.net(14)
なんで k の値が、上では 4 なのに、下では4より大きくなってるん? 上では等号は成立しないの?
コメント2件

264
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/07/28 11:59:01  ID:j+jikqys.net(4)
>263

 >261 は少しユルいのですが、簡単・便利な式です。
 x=y=z のときは等号が成立します。

 >262 のkの値は「限界」で、もうこれ以上改良できません。

265
132人目の素数さん[]   投稿日:2017/07/28 12:45:15  ID:O9aq1xVP.net(8)
今高2で不等式をうまく使えるようになりたいのですが不等式の入門書?的なものはありますか?
一応高校数学の範囲は全部終わっています
コメント4件

266
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/07/28 12:45:54  ID:KBT/ECMI.net(14)
>265
ageるなよ!

267
[sage]   投稿日:2017/07/28 12:52:31  ID:tqhSG1tp.net(46)
###政治家が愚かなのと同様に馬鹿板を行うのも愚かな行為。そやし止めるべき。###


268
[sage]   投稿日:2017/07/28 13:49:57  ID:tqhSG1tp.net(46)

269
[sage]   投稿日:2017/07/28 13:50:20  ID:tqhSG1tp.net(46)

270
[sage]   投稿日:2017/07/28 13:50:43  ID:tqhSG1tp.net(46)

271
[sage]   投稿日:2017/07/28 13:51:00  ID:tqhSG1tp.net(46)

272
[sage]   投稿日:2017/07/28 13:51:18  ID:tqhSG1tp.net(46)

273
[sage]   投稿日:2017/07/28 13:51:36  ID:tqhSG1tp.net(46)

274
[sage]   投稿日:2017/07/28 13:51:55  ID:tqhSG1tp.net(46)

275
[sage]   投稿日:2017/07/28 13:52:14  ID:tqhSG1tp.net(46)

276
[sage]   投稿日:2017/07/28 13:52:45  ID:tqhSG1tp.net(46)

277
[sage]   投稿日:2017/07/28 13:53:03  ID:tqhSG1tp.net(46)

278
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/07/28 15:28:25  ID:KBT/ECMI.net(14)
>265
馬鹿がageるから、コピペに荒らされる・・・

279
[sage]   投稿日:2017/07/28 15:33:55  ID:tqhSG1tp.net(46)
###政治家が愚かなのと同様に馬鹿板を行うのも愚かな行為。そやし止めるべき。###


280
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/07/28 15:36:12  ID:KBT/ECMI.net(14)
中身のある書き込みがあると 中身のないレスでageる奴が現れるような気がする。

281
132人目の素数さん[]   投稿日:2017/07/28 16:19:13  ID:O9aq1xVP.net(8)
今高2で不等式をうまく使えるようになりたいのですが不等式の入門書?的なものはありますか?
一応高校数学の範囲は全部終わっています

282
132人目の素数さん[]   投稿日:2017/07/28 16:19:42  ID:O9aq1xVP.net(8)
今高2で不等式をうまく使えるようになりたいのですが不等式の入門書?的なものはありますか?
一応高校数学の範囲は全部終わっています

283
132人目の素数さん[]   投稿日:2017/07/28 16:20:00  ID:O9aq1xVP.net(8)
今高2で不等式をうまく使えるようになりたいのですが不等式の入門書?的なものはありますか?
一応高校数学の範囲は全部終わっています

284
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/07/28 16:59:03  ID:KBT/ECMI.net(14)
上げるなボケ!
コメント2件

285
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/07/28 16:59:48  ID:KBT/ECMI.net(14)
質問スレに逝けよ
コメント2件

286
132人目の素数さん[]   投稿日:2017/07/28 17:01:45  ID:Zm1hbnDt.net(4)
>284
すまんこ

287
132人目の素数さん[]   投稿日:2017/07/28 17:01:56  ID:Zm1hbnDt.net(4)
>285
許してクレメンス

288
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/07/28 18:21:20  ID:bsIbQPNs.net(2)
>262
以前>261を改良して得たけど既にやられてたんだね
エレガントな解放が知りたい

289
[sage]   投稿日:2017/07/28 18:55:12  ID:tqhSG1tp.net(46)

290
[sage]   投稿日:2017/07/28 18:55:30  ID:tqhSG1tp.net(46)

291
[sage]   投稿日:2017/07/28 18:55:46  ID:tqhSG1tp.net(46)

292
[sage]   投稿日:2017/07/28 18:56:03  ID:tqhSG1tp.net(46)

293
[sage]   投稿日:2017/07/28 18:56:20  ID:tqhSG1tp.net(46)

294
[sage]   投稿日:2017/07/28 18:56:37  ID:tqhSG1tp.net(46)

295
[sage]   投稿日:2017/07/28 18:56:57  ID:tqhSG1tp.net(46)

296
[sage]   投稿日:2017/07/28 18:57:14  ID:tqhSG1tp.net(46)

297
[sage]   投稿日:2017/07/28 18:57:32  ID:tqhSG1tp.net(46)

298
[sage]   投稿日:2017/07/28 18:57:56  ID:tqhSG1tp.net(46)

299
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/07/28 23:18:23  ID:KBT/ECMI.net(14)
>261
まずココが分かりません。
>  x+y+z ≧ |x-y| + |y-z| + min{|x-y|,|y-z|}

次にココ。辺々掛けたら |x-y|^3 + |y-z|^3 + C にならないかな?
> 辺々掛けて x^3 + y^3 + z^3 -3xyz ≧(|x-y| + |y-z|)^3

最後にココ。AM-GMでもないし何だろう?
>  |x-z|^3 ≧ 4|(x-y)(y-z)(z-x)|
コメント2件

300
[sage]   投稿日:2017/07/28 23:22:27  ID:tqhSG1tp.net(46)
###政治家が愚かなのと同様に馬鹿板を行うのも愚かな行為。そやし止めるべき。###


301
[sage]   投稿日:2017/07/29 01:25:06  ID:2P2kn60N.net(66)

302
[sage]   投稿日:2017/07/29 01:25:25  ID:2P2kn60N.net(66)

303
[sage]   投稿日:2017/07/29 01:25:43  ID:2P2kn60N.net(66)

304
[sage]   投稿日:2017/07/29 01:26:01  ID:2P2kn60N.net(66)

305
[sage]   投稿日:2017/07/29 01:26:20  ID:2P2kn60N.net(66)

306
[sage]   投稿日:2017/07/29 01:26:45  ID:2P2kn60N.net(66)

307
[sage]   投稿日:2017/07/29 01:27:04  ID:2P2kn60N.net(66)

308
[sage]   投稿日:2017/07/29 01:27:21  ID:2P2kn60N.net(66)

309
[sage]   投稿日:2017/07/29 01:27:43  ID:2P2kn60N.net(66)

310
[sage]   投稿日:2017/07/29 01:28:01  ID:2P2kn60N.net(66)

311
132人目の素数さん[261]   投稿日:2017/07/29 10:40:59  ID:0o5qwo4/.net(2)
>299
それでは|x-y|= a,|y-z|= b とおきましょう。

まず
0≦x≦y≦z のとき
 x+y+z = 3x + 2(y-x)+(z-y)≧ 2(y-x)+(z-y) = 2a + b,
x≧y≧z≧0 のとき
 x+y+z =(x-y)+ 2(y-z)+ 3z ≧(x-y)+ 2(y-z)= a + 2b,

次に、辺々掛けると
 (2a+b)(aa+ab+bb)= a^3 +(a+b)^3 ≧(a+b)^3,
 (a+2b)(aa+ab+bb)=(a+b)^3 + b^3 ≧(a+b)^3,

最後は、
 (a+b)^2 = 4ab +(a-b)^2 ≧ 4ab,
コメント2件

312
132人目の素数さん[]   投稿日:2017/07/29 11:10:20  ID:f+sckW2v.net(2)
sage厨が湧いてくるぞ
コメント2件

313
[sage]   投稿日:2017/07/29 11:11:33  ID:2P2kn60N.net(66)
###政治家が愚かなのと同様に馬鹿板を行うのも愚かな行為。そやし止めるべき。###


314
[sage]   投稿日:2017/07/29 12:06:46  ID:2P2kn60N.net(66)

315
[sage]   投稿日:2017/07/29 12:07:05  ID:2P2kn60N.net(66)

316
[sage]   投稿日:2017/07/29 12:07:24  ID:2P2kn60N.net(66)

317
[sage]   投稿日:2017/07/29 12:07:42  ID:2P2kn60N.net(66)

318
[sage]   投稿日:2017/07/29 12:08:00  ID:2P2kn60N.net(66)

319
[sage]   投稿日:2017/07/29 12:08:20  ID:2P2kn60N.net(66)

320
[sage]   投稿日:2017/07/29 12:08:38  ID:2P2kn60N.net(66)

321
[sage]   投稿日:2017/07/29 12:09:04  ID:2P2kn60N.net(66)

322
[sage]   投稿日:2017/07/29 12:09:22  ID:2P2kn60N.net(66)

323
[sage]   投稿日:2017/07/29 12:09:42  ID:2P2kn60N.net(66)

324
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/07/29 13:11:06  ID:7AgJghW0.net(2)
>312
荒らしが逆切れすんなよ

325
[sage]   投稿日:2017/07/29 13:37:43  ID:2P2kn60N.net(66)
###政治家が愚かなのと同様に馬鹿板を行うのも愚かな行為。そやし止めるべき。###


326
132人目の素数さん[]   投稿日:2017/07/29 16:33:20  ID:N79FPBpM.net(2)
ageる奴ってほんま糞だな
ケツに「>」をぶち込んで拡張してやりたい

327
[sage]   投稿日:2017/07/29 16:38:28  ID:2P2kn60N.net(66)
###政治家が愚かなのと同様に馬鹿板を行うのも愚かな行為。そやし止めるべき。###


328
[sage]   投稿日:2017/07/29 19:53:14  ID:2P2kn60N.net(66)

329
[sage]   投稿日:2017/07/29 19:53:30  ID:2P2kn60N.net(66)

330
[sage]   投稿日:2017/07/29 19:53:47  ID:2P2kn60N.net(66)

331
[sage]   投稿日:2017/07/29 19:54:04  ID:2P2kn60N.net(66)

332
[sage]   投稿日:2017/07/29 19:54:19  ID:2P2kn60N.net(66)

333
[sage]   投稿日:2017/07/29 19:54:39  ID:2P2kn60N.net(66)

334
[sage]   投稿日:2017/07/29 19:54:59  ID:2P2kn60N.net(66)

335
[sage]   投稿日:2017/07/29 19:55:16  ID:2P2kn60N.net(66)

336
[sage]   投稿日:2017/07/29 19:55:33  ID:2P2kn60N.net(66)

337
[sage]   投稿日:2017/07/29 19:55:54  ID:2P2kn60N.net(66)

338
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/07/31 03:54:33  ID:XzE3duxv.net(4)
[数蝉2014.07, p.51]
△ABCに対して、
|sin (A-B)/2|*(cos A/2)*(cos B/2) + |sin (B-C)/2|*(cos B/2)*(cos C/2) ≧ |sin (C-A)/2|*(cos C/2)*(cos A/2)

  ○ < ショウメイ スルマデ アガッテ クルナ!
 く|)へ
  〉 ヾ○シ
 ̄ ̄7 ヘ/
  /  ノ
  |
 /
`|

コメント4件

339
[sage]   投稿日:2017/07/31 04:14:36  ID:M76QQSs2.net(20)

340
[sage]   投稿日:2017/07/31 04:14:53  ID:M76QQSs2.net(20)

341
[sage]   投稿日:2017/07/31 04:15:10  ID:M76QQSs2.net(20)

342
[sage]   投稿日:2017/07/31 04:15:26  ID:M76QQSs2.net(20)

343
[sage]   投稿日:2017/07/31 04:15:44  ID:M76QQSs2.net(20)

344
[sage]   投稿日:2017/07/31 04:16:01  ID:M76QQSs2.net(20)

345
[sage]   投稿日:2017/07/31 04:16:20  ID:M76QQSs2.net(20)

346
[sage]   投稿日:2017/07/31 04:16:37  ID:M76QQSs2.net(20)

347
[sage]   投稿日:2017/07/31 04:16:57  ID:M76QQSs2.net(20)

348
[sage]   投稿日:2017/07/31 04:17:14  ID:M76QQSs2.net(20)

349
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/07/31 23:55:08  ID:XzE3duxv.net(4)
任意の実数 x, y に対して、(1 + x^2 + y^2)/{1 + x^2 + (x-y)^2} の最大値を求めよ。

  Σ○
   く|)へ。
    〉   〉
 ̄ ̄   ○ノ 道連れッホォォ!
.  /  <ヽ
   |  /, |
 /
 |

コメント2件

350
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/08/01 11:40:49  ID:MADJ3GR6.net(6)
>349

φ =(1+√5)/2 = 1.618034 とおくと、

φ(1+xx+yy)-(φ-1){1+xx+(x-y)^2}= 1 + (x/φ + y)^2 ≧ 1,

上限は
 (1+xx+yy)/{1+xx+(x-y)^2}< φ/(φ-1)= φ+1 = (3+√5)/2,


なお、蛇足だが
φ{1+xx+(x-y)^2}-(φ-1)(1+xx+yy)= 1 + (φx - y)^2 ≧ 1,

下限は
 (1+xx+yy)/{1+xx+(x-y)^2}>(φ-1)/φ = 2-φ = (3-√5)/2,
コメント2件

351
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/08/01 11:53:02  ID:MADJ3GR6.net(6)
>350 訂正

次の同値な2式を入れ替えてください。

φ{1+xx+(x-y)^2}-(φ-1)(1+xx+yy)= 1 + (φx - y)^2 ≧ 1,

φ(1+xx+yy)-(φ-1){1+xx+(x-y)^2}= 1 + (x/φ + y)^2 ≧ 1,

スマソ.

352
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/08/01 14:40:16  ID:XEmVHg+K.net(4)
最大最小といえば、高校のときに解けなかった以下を思い出す。係数はうろ覚え。

任意の実数 x, y に対して、(x+2y+3)/(x^2 + 2y^2 + 3) のとりうる値の範囲を求めよ。

    
 ̄ ̄ \○ノ テヲ ハナセ!
.  /  <ヽ
   |  / |
 /  (○ノ コトワルッ!
 |    ( )
/   / |
コメント2件

353
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/08/01 15:08:14  ID:MADJ3GR6.net(6)
>352
 (xx+2yy+3) - 2(√2 -1)(x+2y+3) = (x+1-√2)^2 + 2(y+1-√2)^2 ≧ 0,
 (xx+2yy+3) + 2(√2 +1)(x+2y+3) = (x+1+√2)^2 + 2(y+1+√2)^2 ≧ 0,
両辺を xx+2yy+3 >0 で割って
 -(√2 -1)/2 ≦ (x+2y+3)/(xx+2yy+3) ≦ (√2 +1)/2,
でござるか。
コメント4件

354
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/08/01 15:25:30  ID:XEmVHg+K.net(4)
>353
問題自体うろ覚えなので…。

355
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/08/02 01:25:07  ID:RQb3zemz.net(10)
[元ネタ不明]
任意の実数 x, y, z に対して、次式の最小値を求めよ。
sqrt{x^2 + (y-1)^2} + sqrt{y^2 + (z-1)^2} + sqrt{z^2 + (x-1)^2}


ウリャッ!
 Oノ
. ノ\_・'ヽO.
  └ _ノ ヽ
      〉
     ヾ○シ
 ̄ ̄7 ヘ/
  /  ノ
 /
 |

コメント2件

356
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/08/02 01:35:57  ID:iuzeTNl6.net(12)
>353

3(xx+2yy) = (x+2y)^2 + 2(x-y)^2 ≧(x+2y)^2,

 等号成立は x=y のとき。

x+2y+3 = s とおくと、
(分母)≧(ss-6s+18)/3,

-(√2 -1)/2 ≦ 3s/(ss-6s+18)≦(√2 +1)/2,

でも出ますが...

357
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/08/02 01:47:54  ID:iuzeTNl6.net(12)
>355

√{xx + (1-y)^2}≧(|x|+|1-y|)/√2、etc.
等号成立は|x|=|1-y|、|y|=|1-z|、|z|=|1-x|

△不等式 |x|+|1-x|≧ 1、etc.
等号成立は 0≦x,y,z≦1

より、3/√2。(x=y=z=1/2のとき)

358
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/08/02 04:05:52  ID:RQb3zemz.net(10)
0 ≦ x, y, z ≦1 のとき、(x+y+z)/3 + sqrt{x(1-x) + y(1-y) + z(1-z)} の最大値を求めよ。

  Σ○
   ノ()へ。
    〉   〉
 ̄ ̄ \○ノ 道連れッホォォ!
   /  ( )
   |  / |
 /  (○ノ ヒャッホォォォゥ!
 |    ( )
/   / |
コメント2件

359
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/08/02 04:16:32  ID:RQb3zemz.net(10)
巡回不等式のコレクションが少ないことに気づいた2017の夏。

正の数 a, b, c に対して、a^3/b^2 + b^3/c^2 + c^3/a^2 ≧ a+b+c を示せ。

    
 ̄ ̄ \○ノ テヲ ハナセ!
.  /  <ヽ
   |  / |
 /  (○ノ コトワルッ!
 |    ( )
/   / |
    (○ノ ザケンナヨ!
     ( )
    / |
コメント4件

360
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/08/02 13:10:06  ID:iuzeTNl6.net(12)
>358
相加平均(x+y+z)/3 = A とおくと、0≦A≦1.

x(1-x)+ y(1-y)+ z(1-z)
 =(x+y+z)- (xx+yy+zz)
 ≦ 3(1-A)・A   (←1変数)
 ≦{[3(1-A)+ A]/2}^2
 ≦{(3-2A)/2}^2

(左辺)≦ A +(3-2A)/2 = 3/2,
等号成立は 3(1-A)=A、A=3/4、x=y=z= 3/4 のとき

>359
{a^n,b^n,…,b^n}の相加-相乗平均で
 a^n +(n-1)b^n ≧ na・b^(n-1),
 (a^n)/b^(n-1)≧ na - (n-1)b,
巡回的にたす。
コメント2件

361
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/08/02 17:07:11  ID:RQb3zemz.net(10)
>360
さりげなく一般化とは、やはり神!
正の数 a, b, c に対して、a^n/b^(n-1) + b^n/c^(n-1) + c^n/a^(n-1) ≧ a+b+c.

気になるのは、
(1) Σ[cyc] a^(n+1)/b^n と Σ[cyc] a^n/b^(n-1) の大小
(2) Σ[cyc] a^(n-1)/b^n と 1/a + 1/b + 1/c の大小

(1)も(2)も≧が成り立ちそうな気がするけど、証明できていませぬ。
コメント2件

362
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/08/02 17:46:27  ID:RQb3zemz.net(10)
最大最小値問題を1変数にしたら、何通りくらいの解法があるのでせう?

任意の実数 x に対して、(5-2x)/(x^2 - 4x + 6) のとりうる値の範囲を求めよ。


 パキッ
    
 ̄`;:'. ̄ \○ノ 
.  /  <ヽ
   |  / |
 /  (○ノ 
 |    ( )
/   / |
    (○ノ 
     ( )
    / |
コメント2件

363
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/08/02 21:09:22  ID:iuzeTNl6.net(12)
>338

sin(a-b)cos(a)cos(b)+ sin(b-c)cos(b)cos(c)+ sin(c-a)cos(c)cos(a) + sin(a-b)sin(b-c)sin(c-a)

 | sin(a-b),-cos(c),cos(c)|
= | cos(a),sin(b-c),-cos(a)|
 | -cos(b),cos(b),sin(c-a)|

= 0,

を利用するか…?
コメント2件

364
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/08/02 21:26:42  ID:iuzeTNl6.net(12)
>362

(5-2x)/(xx-4x+6)= 1 -(x-1)^2/(xx-4x+6) ≦ 1,

(5-2x)/(xx-4x+6)= -1/2 +(x-4)^2/{2(xx-4x+6)} ≧ -1/2,

等号成立はそれぞれ、x=1、x=4.

365
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/08/02 22:07:04  ID:iuzeTNl6.net(12)
>361

(1)(a^n)/b^(n-1)は a^(n+1)/(b^n)(n-1)個と a 1個の相乗平均だから明らか。

ついでに、{a^n,…,a^n,b^n}で相加-相乗平均すると、
  n a^(n+1) + b^(n+1) ≧ (n+1)(a^n)b,
  n a^(n+1)/(b^n) ≧(n+1)(a^n)/b^(n-1) - b,
 循環的にたすと
  n S_(n+1) ≧(n+1)S_n - S_1,
  {S_(n+1)- S_1}/(n+1)≧(S_n - S_1)/n,
 (S_n - S_1)/n も単調増加。


* (a^n)/b^(n-1)は a^(n+1)/(b^n)(n-1)個と a 1個の相乗平均だが。

(2) a = 1/A、b = 1/B、c = 1/C とおくと…
コメント4件

366
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/08/03 02:08:30  ID:HTpcwzgX.net(10)
>363
[数蝉2014.07, p.51,NOTE] の前のページで証明されていた不等式が以下。
実数 x, y, z >0 に対して、|(x-y)/(x+y)| + |(y-z)/(y+z)| ≧ |(x-z)/(x+z)| …(★)

これをRavi変換 (a=y+z、b=z+x、c=x+y)すると、次の不等式になる。
三角形の辺長a,b,cに対して、ab|a-b| + bc|b-c| ≧ ca|c-a|…(★★)

これを a, c に関する対称性から a≦c として、bの位置を3通りに分けて証明。
正弦定理と2倍角の定理で書き直すと、次のようになって不等式が得られるみたい。

ab|a-b| = 32R^3 (sin A/2)*(sin A/2)*(sin A/2)*(cos A/2)*(cos B/2)*|sin (A-B)/2|

この不等式をNOTEに投稿した人のコメントに、(★)の元ネタが考古学の本とある。
「新井宏、理系から見た考古学の論争点、大和書房、2007」
不等式のネタが他にもあるかもしれないと思い、図書館や書店を探したが無かった。←今ココ。

ところで、(★★)を弄って、何か不等式が作れないかなと弄ったことがある。たとえば次式とか。
ab|a-b| + bc|b-c| + ca|c-a| ≧ k(a+b+c)
2014の夏ってことは、もう3年前の話になるのか。今考えたら、両辺の次数が合わないから無理やん…。
3乗にするか?
コメント2件

367
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/08/03 02:24:17  ID:HTpcwzgX.net(10)
>365
> (a^n)/b^(n-1)は a^(n+1)/(b^n)(n-1)個と a 1個の相乗平均

ムムム、スゴスギル…。

> 循環的にたすと n S_(n+1) ≧(n+1)S_n - S_1,

これから (S_n)/n は単調減少も出るでござるな。

これを差の形にして、nを 1,2,…,n-1として和を取り、右辺を部分分数分解して計算したら、
 (S_n)/n ≧ s_1/n
となって、何も得られなかったでござる…。
コメント2件

368
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/08/03 04:10:34  ID:HTpcwzgX.net(10)
>367
すまん、「これから (S_n)/n は単調減少も出るでござるな。」は勘違いですた。

369
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/08/03 10:53:04  ID:Dkz1wYp5.net(6)
>366

(x-y)/(x+y)+(y-z)/(y+z)+(z-x)/(z+x)+(x-y)(y-z)(z-x)/{(x+y)(y+z)(z+x)}

 |(x-y)(x+y), -1, 1|
= | 1,(y-z)/(y+z), -1|
 | -1, 1,(z-x)/(z+x)|

= 0,


ab(a-b)+ bc(b-c)+ ca(c-a)+(a-b)(b-c)(c-a)=

 |a-b,c,-c |
= |-a,b-c,a |
 | b,-b,c-a|

= 0,

でござるか…?

370
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/08/03 12:33:10  ID:Tp76V4JM.net(2)
(1) 任意の実数 a, b, c に対して次の不等式が成り立つような実数 k の最小値は?
|ab(a-b)+bc(b-c)+ca(c-a)| <= k (a+b+c)^3

(2) 実関数 f(a,b,c)=ab|a-b|+bc|b-c|+ca|c-a| は (a+b+c)^3 で上から、下からいぜれも抑えられないことを示せ。
コメント2件

371
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/08/03 15:54:13  ID:HTpcwzgX.net(10)
コレクションの中に、以下を発見。年度不明の学習院大ってmemoがあるが…。

三角形の3辺の長さ a, b, c に対して、a^2b(a-b) +b^2c(b-c) + c^2a(c-a) ≧0.
コメント2件

372
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/08/03 19:23:58  ID:Dkz1wYp5.net(6)
>371
 a=y+z,b=z+x,c=x+y とおく。(Ravi変換)
 (左辺) = 2{xy^3 +yz^3 +zx^3 -xyz(x+y+z)}
    = 2xy(y-z)^2 + 2yz(z-x)^2 + 2zx(x-y)^2
    ≧ 0.
 IMO-1983
 佐藤[9]演習問題2.24
 [第6章.793(71),828,833]

373
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/08/03 19:38:29  ID:Dkz1wYp5.net(6)
>365 の続き

* (a^n)/b^(n-1)は a^(n+1)/(b^n)(n-1)個と a 1個の相乗平均だが、
 それで(1)が明らかなワケではない。

相加-相乗平均
 n(3n+1)a^(n+1)/(b^n)+(n+1)b^(n+1)/(c^n)+ n c^(n+1)/(a^n)≧(3nn+3n+1)a^n/b^(n^1),
を巡回的にたす。
コメント2件

374
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/08/03 20:03:27  ID:HTpcwzgX.net(10)
>373
> * (a^n)/b^(n-1)は a^(n+1)/(b^n)(n-1)個と a 1個の相乗平均だが、
>  それで(1)が明らかなワケではない。

巡回的に加えて、(n-1)*S_(n+1) + S_1 ≧ n*S_n
この左辺に、証明済みの S_(n+1) ≧ S_1 を使って終わりじゃないの?
コメント2件

375
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/08/04 10:49:48  ID:1Od1zBAC.net(2)
>370
勘違いとかあったから訂正

(1) a+b+c > 0 を満たす任意の実数 a, b, c に対して次の不等式が成り立つような実数 k の最小値は?
|ab(a-b)+bc(b-c)+ca(c-a)| <= k (a+b+c)^3

(2) a+b+c > 0 を満たす任意の実数 a, b, c に対して次の不等式が成り立つような実数 k の最小値は?
ab|a-b|+bc|b-c|+ca|c-a| <= k (a+b+c)^3

(3) a+b+c >0 上の実関数 f(a,b,c)=ab|a-b|+bc|b-c|+ca|c-a| は (a+b+c)^3 で下から抑えられないことを示せ。
コメント4件

376
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/08/04 14:00:43  ID:EUBWZejf.net(2)
>2
> [3] 不等式への招待(数学ゼミナール6),大関信雄・大関清太,近代科学社,1987年

数年ぶりに読み返してみた。傑作だな。神書だわ!
コメント2件

377
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/08/04 19:07:55  ID:ajzxje+k.net(4)
>359
そのまま相加-相乗平均で
 (n+1)^2 a^(n+1)/(b^n)+(n+1)n b^(n+1)/(c^n)+ nn c^(n+1)/(a^n)≧(3nn+3n+1)a,
巡回的にたして
 S_(n+1)≧ S_1,

>374 >376
 そうですね。

378
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/08/04 22:15:15  ID:ajzxje+k.net(4)
>338

|sin((A-B)/2)|cos(A/2)cos(B/2)=|sin(A-B)+ sin(A)- sin(B)|/4
=|sin(A-B)|/4 +|sin(A)-sin(B)|/4
= sin|A-B|/4 +|sin(A)-sin(B)|/4,etc.

|sin(x)|+|sin(y)|≧|sin(x)cos(y)+ cos(x)sin(y)|=|sin(x+y)|,

あとは△不等式で。
コメント2件

379
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/08/05 09:03:16  ID:Ulw6Zmyj.net(12)
>375
(1) k=8/27 なら余裕だけど、よく分からん。

380
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/08/05 09:07:12  ID:Ulw6Zmyj.net(12)
>378
三角不等式だけであっさり片付くとは、恐るべし…。

>311
この第8章で >261 の証明方法は衝撃的だった。

381
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/08/05 09:23:14  ID:Ulw6Zmyj.net(12)
>375
(1) a≧b≧cとする。
|ab(a-b)+bc(b-c)+ca(c-a)|
= |(a-b)(b-c)(c-a)|
≦ {(|a-b|+|b-c|+|c-a)|)/3}^3
= (8/27)*(a-c)^3

(a+b+c)^3 - (a-c)^3 = (b+c)(3a^2+3ab+b^2+bc+c^2) > 0
コメント6件

382
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/08/05 10:01:17  ID:v2fSy4wb.net(6)
>381
最後三角不等式使ってるようだけど、正しくは |a-b|+|b-c| >= |a-c| です
不等号が逆
k=8/27のとき 例えば (a,b,c) = (1,-3,1) で成り立たない
コメント2件

383
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/08/05 10:03:10  ID:v2fSy4wb.net(6)
ていいつつ自分でも間違えてた
(a,b,c)=(3,-3,1)

384
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/08/05 10:06:55  ID:Ulw6Zmyj.net(12)
>382
最後は三角不等式じゃなくて、等式でござるなり。 a≧b≧cの仮定を用いて、
|a-b|+|b-c|+|c-a| = (a-b) + (b-c) + (a-c) = 2(a-c)
コメント2件

385
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/08/05 10:15:05  ID:Ulw6Zmyj.net(12)
>381
a,b,cは実数ということを忘れていたので、以下は0より大きくならんでござるな。

> (a+b+c)^3 - (a-c)^3 = (b+c)(3a^2+3ab+b^2+bc+c^2) > 0

386
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/08/05 11:17:13  ID:v2fSy4wb.net(6)
>384
そうか
かくいう自分も回答にミス発見してそもそも(a+b+c)^3で上からも下からも抑えられないことがわかってでござる

387
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/08/05 14:47:07  ID:ACnIlB8L.net(2)
>381

|(a-b)(b-c)(c-a)|≦(1/4)|a-c|^3   >261

ですが、a+b+c=0 の場合もアリなので…

388
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/08/05 19:20:38  ID:Ulw6Zmyj.net(12)
>2 [10] 思考力を鍛える不等式(大学への数学・別冊)、栗田哲也、東京出版、2014年 より

(1) [10] P.28
a>b>c>0 に対して、(a-b)sqrt(x+c) + (b-c)sqrt(x+a) + (c-a)sqrt(x+b) < 0

a,b,cの大小関係いらないんじゃ?


(2) [2006 山形大(医)] [10] P.77
三角形の辺長 a,b,c に対して、(2+a^2)(2+b^2) > 2c^2

⇒ (2+a^2)(2+b^2) ≧ 2(a+b)^2 > 2c^2

a.b.c>0 に対して、(2+a^2)(2+b^2)(2+c^2) ≧ 9(ab+bc+ca) だから、
これらを組合せたりして、なにか改造できないかな?


(3) [10] P.82
a,b,c>0に対して、(abc)^2 + a^2 + b^2 + c^2 + 2 ≧ 2(ab+bc+ca)

aの関数として微分して証明しているけど、他の証明ないかな。平方和とか…


(4) [10] P.115, 116
四面体ABCDに対して、
(i) ∠AOB + ∠BOC > ∠COA
(ii) ∠AOB + ∠BOC + ∠COA < 2π

[1992 東大(後)] >2 [10] P.116
空間内の相異なる4点A,B,C,Dに対して、
(iii) ∠ABC + ∠BCD + ∠CDA + ∠DAB ≦ 2π

(iii)の条件を四面体ABCDに限定したら、等号がなくなるだけかな?


(5) [10] P.120
四面体ABCDに対して、vec(OA), vec(OB), vec(OC), vec(OD) を a,b,c,dと略すとき、
|a| + |b| + |c| + |a+b+c| > |a+b| + |b+c| + |c+a|

これは Hlawka's ineequality かな?


(6) [2012 大阪教育大]、[10] P.125
x,y>0 かつ (x^6)(y^2) - (x^5)(y^3) + (x^5)(y^5) - (x^4)(y^6) ≧ 4 のとき、x^3+y^2≧3

どうやって、こういう変な条件を出したのか分からないから、類題を作りにくい。


(7) [2013 北海道大]、[10] P.126
a,b,c,x,y>0 に対して、ax^(a+b+c) + by^(a+b+c) + c ≧ (a+b+c)(x^a)(y^b)

⇒ a,b,c,x,y,z>0 に対して、ax^(a+b+c) + by^(a+b+c) + cz^(a+b+c) ≧ (a+b+c)(x^a)(y^b)(z^c)

weighted-AM-GMだけど、入試問題で出されると答案書くのはシンドイな。
コメント23件

389
132人目の素数さん[]   投稿日:2017/08/05 22:22:51  ID:BdLSvd9B.net(4)
別にこのスレの参加者ではないが
面白い問題を見つけたので


平面上にA(p,q),B(r,s),C(t,u)とD(v,w)があるとき
(Dが△ABCの内部および周上)
⇔ ∃k, ∀(x,y)>0, (x^v)(y^w)≦k((x^p)(y^q)+(x^r)(y^s)+(x^t)(y^u)

出典:近大数コン2009-A4
コメント10件

390
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/08/05 22:24:18  ID:BdLSvd9B.net(4)
うっかり上げてしまった
ガハハ

391
[sage]   投稿日:2017/08/06 00:03:17  ID:+CYdGQny.net(42)

392
[sage]   投稿日:2017/08/06 00:03:37  ID:+CYdGQny.net(42)

393
[sage]   投稿日:2017/08/06 00:03:57  ID:+CYdGQny.net(42)

394
[sage]   投稿日:2017/08/06 00:04:15  ID:+CYdGQny.net(42)

395
[sage]   投稿日:2017/08/06 00:04:34  ID:+CYdGQny.net(42)

396
[sage]   投稿日:2017/08/06 00:04:54  ID:+CYdGQny.net(42)

397
[sage]   投稿日:2017/08/06 00:05:14  ID:+CYdGQny.net(42)

398
[sage]   投稿日:2017/08/06 00:05:33  ID:+CYdGQny.net(42)

399
[sage]   投稿日:2017/08/06 00:05:52  ID:+CYdGQny.net(42)

400
[sage]   投稿日:2017/08/06 00:06:14  ID:+CYdGQny.net(42)

401
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/08/06 09:42:51  ID:toVHuNxr.net(2)
>388-389
指数祭りかな?
自作問題でおじゃるが、簡単すぎた。

定数 a>0 に対して b = a^a とおくとき、a^a、a^b、b^a、b^b の大小を比較せよ。


   (^⌒⌒^)
    | i i i i i|    不等式、作るよ!
    | i i i i i|    
   (;`・ω・)っ-O・゚・⌒) 
   /  つ━ゝ,.゚__.,ノ))
        _l从从从从l_
  | ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄|

402
[sage]   投稿日:2017/08/06 10:15:43  ID:+CYdGQny.net(42)
☆☆☆馬鹿板は数学徒の脳を腐らせる悪い板であり、そやし廃止してナシにすべき。☆☆☆


403
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/08/06 12:55:32  ID:pqWLs7wT.net(2)
(1)
√(x+a) = A、√(x+b)= B、√(x+c)= C とおくと
(左辺)=(AA-BB)C +(BB-CC)A +(CC-AA)B =(A-B)(B-C)(C-A),
ヤパーリ 要る…


(2)
(2+aa)(2+bb)(2+cc)≧(2√2)(a+b)(c+c)(c+a)≧{(16√2)/9}(a+b+c)(ab+bc+ca),
等号は a=b=c=√2.


(3)
 a = A^(3/2)、b = B^(3/2)、c = C^(3/2)とおく。
(左辺)=(ABC)^3 + A^3 + B^3 + C^3 +1 +1
  ≧ A^3 + B^3 + C^3 + 3ABC
  = AB(A+B)+ BC(B+C)+ CA(C+A)+ F_1(A,B,C)  ← Schur(n=1)
  ≧ 2{(AB)^(3/2)+(BC)^(3/2)+(CA)^(3/2)}
  = 2(ab+bc+ca),

404
[sage]   投稿日:2017/08/06 14:59:24  ID:+CYdGQny.net(42)

405
[sage]   投稿日:2017/08/06 14:59:42  ID:+CYdGQny.net(42)

406
[sage]   投稿日:2017/08/06 15:00:00  ID:+CYdGQny.net(42)

407
[sage]   投稿日:2017/08/06 15:00:19  ID:+CYdGQny.net(42)

408
[sage]   投稿日:2017/08/06 15:00:34  ID:+CYdGQny.net(42)

409
[sage]   投稿日:2017/08/06 15:00:51  ID:+CYdGQny.net(42)

410
[sage]   投稿日:2017/08/06 15:01:08  ID:+CYdGQny.net(42)

411
[sage]   投稿日:2017/08/06 15:01:25  ID:+CYdGQny.net(42)

412
[sage]   投稿日:2017/08/06 15:01:43  ID:+CYdGQny.net(42)

413
[sage]   投稿日:2017/08/06 15:02:01  ID:+CYdGQny.net(42)

414
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/08/07 14:18:42  ID:8+FZkWXB.net(2)
[不等式スレ 第7章 984] 出典 「平成24年 第1回 東大入試プレ(文科)」

> 実数 a,b,c,d が a+b+c+d=0, a^2+b^2+c^2+d^2=100 をみたすとき、
> a^3+b^3+c^3+d^3 のとりうる値の範囲を求めよ。

> (-1000/√3, 1000/√3)に一票

エレガントな解法か、エロイ解法あるかな?
コメント8件

415
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/08/07 22:48:29  ID:EtB15xZg.net(2)
>414
普通にやっただけだからつまらないと思うけど
EV-theorem から a=b=c のときに最大・最小となるのは明らか。これを念頭に変形する

d=-(a+b+c) を第 2 式に代入して (a+b)^2+(b+c)^2+(c+a)^2=100
よって |(a+b)(b+c)(c+a)|<=(100/3)^(3/2)
|a^3+b^3+c^3+d^3|
=|3(a+b)(b+c)(c+a)|
<=1000/sqrt(3)
一方 d=a とすると c=-(2a+b), (a+b)^2+2a^2=50 (よって-5<=a<=5) から
与式 = -6*a*(b+a)^2 = -6a(50-2a^2)
これは [-1000/sqrt(3), 1000/sqrt(3)] の任意の値を取りうる

416
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/08/08 06:26:42  ID:0ekMhM3z.net(2)
>414-415
「東大入試プレ」で検索したが出てこない
 ↓
そもそも東大入試プレは何か検索すると、代ゼミの模試らしい
 ↓
「東大入試プレ 代ゼミ」で検索すると、かなり近づいてきた気がする
https://www.yozemi.ac.jp/news/osirase/1277627_3435.html
 ↓
左上のweb構成を見て、さらに検索し、目的の物を発見
https://www.yozemi.ac.jp/news/osirase/1285660_3435.html


その模範解答では、p+q=x、pq=y とおいて、x, y の関数として考えているらしい。
出典情報は大事だね。 まさか見つかるとは思っても見なかった。

417
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/08/09 08:03:24  ID:A2I5YGTu.net(20)
いつもと違う出題形式。 いろんな解法を考えていて、おかしくなったでござる。

『実数 a, b>0 が ab ≧ a+b+1 をみたすとき、ab の最小値を求めよ。』
について、以下の解法(a)、(b)、(c)を考える。
(a)、(b)のどこがおかしいのか?

(a)
ab ≧ a+b+1 ≧ 3*(a*b*1)^(1/3)、等号はa=b=1 かつab=a+b+1
∴ (ab)^3 ≧ 27ab
ab>0で割って、(ab)^2 ≧ 27
ab>0だから、ab ≧ 3√3
等号成立条件をみたすa, bがないから、ab > 3√3

(b)
ab ≧ a+b+1 ≧ 2√(ab) + 1、等号はa=b かつab=a+b+1
∴ab-1 ≧ 2√(ab)
∴(ab-1)^2 ≧ 4ab
∴(ab)^2 - 6ab - 1 ≧ 0
ab>0だから、0 < ab ≦3-2√2 または 3+2√2 ≦ab

(c)
a+b ≧ 2√(ab) ≧ 2√(a+b+1)、等号はa=b かつ ab=a+b+1
∴ (a+b)^2 ≧4(a+b+1)
∴ (a+b)^2 - 4(a+b) - 4 ≧0
∴ a+b>0 だから、a+b ≧ 2+2√2
∴ ab ≧ a+b+1 ≧ 3+2√2
abの最小値は、3+2√2 (a=b=1+√2)
コメント4件

418
132人目の素数さん[]   投稿日:2017/08/09 09:43:16  ID:DWUU74oj.net(4)
>417
(a)
間違ってない
ただ等号が成立しない雑な不等式を用いてるから最後の結論もいい加減になっただけ
ab>3sqrt3 を満たすとは言ってるけどそのすべての範囲を取りうるとは言っていない

(b)
条件 ab>=1 を加えればいい
コメント2件

419
[sage]   投稿日:2017/08/09 10:29:08  ID:WvFggA1P.net(70)
★★★馬鹿板は悪い習慣であり、大脳が劣化します。なので早く止めましょう。★★★


420
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/08/09 13:30:53  ID:A2I5YGTu.net(20)
>418
ありがとう。
脊髄反射でAM-GMを使って (a) のやり方でやって、アレレとなった。
結局、真面目に領域図示で片付けたんだが…。

421
[sage]   投稿日:2017/08/09 13:48:05  ID:WvFggA1P.net(70)

422
[sage]   投稿日:2017/08/09 13:48:22  ID:WvFggA1P.net(70)

423
[sage]   投稿日:2017/08/09 13:48:38  ID:WvFggA1P.net(70)

424
[sage]   投稿日:2017/08/09 13:48:55  ID:WvFggA1P.net(70)

425
[sage]   投稿日:2017/08/09 13:49:12  ID:WvFggA1P.net(70)

426
[sage]   投稿日:2017/08/09 13:49:27  ID:WvFggA1P.net(70)

427
[sage]   投稿日:2017/08/09 13:49:44  ID:WvFggA1P.net(70)

428
[sage]   投稿日:2017/08/09 13:50:02  ID:WvFggA1P.net(70)

429
[sage]   投稿日:2017/08/09 13:50:20  ID:WvFggA1P.net(70)

430
[sage]   投稿日:2017/08/09 13:50:36  ID:WvFggA1P.net(70)

431
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/08/09 14:15:40  ID:A2I5YGTu.net(20)
荒れまくリング… ('A`)ヴォエァ!

432
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/08/09 14:30:22  ID:vWdGLnQX.net(8)
>388
(3)平方和で表わした。

(左辺)-(右辺) ={(abc)^2 -3GG +2}+{3(a+b+c -3G)GG + F_1(a,b,c)}/(a+b+c),

ここで、G =(abc)^(1/3)

(abc)^2 -3GG +2 = G^6 -3GG +2 = (GG+2)(GG-1)^2,

(a+b+c)-3G =(a'+b'+c'){(a'-b')^2+(b'-c')^2+(c'-a')^2}/2, a'=a^(1/3), b'=b^(1/3), c'=c^(1/3),

F_1(a,b,c) = a(a-b)(a-c) + b(b-c)(b-a) + c(c-a)(c-b)
 = {ab(aa-bb)^2 + bc(bb-cc)^2 + ca(cc-aa)^2}/{(a+b)(b+c)(c+a)}

(4) (i)

OB方向をz軸とし、
OAの天頂角を ∠AOB=α
OCの天頂角を ∠BOC=γ
とする。
cosβ = cos(∠COA) =(OC・OA)= cosα cosγ + sinα sinγ cosφ (φは方位角の差、0<φ<π)
∴ cos(α+γ)< cosβ < cos(α-γ),
∴ α+γ > β > |α-γ|
コメント4件

433
[sage]   投稿日:2017/08/09 14:39:57  ID:WvFggA1P.net(70)

434
[sage]   投稿日:2017/08/09 14:40:12  ID:WvFggA1P.net(70)

435
[sage]   投稿日:2017/08/09 14:40:26  ID:WvFggA1P.net(70)

436
[sage]   投稿日:2017/08/09 14:40:42  ID:WvFggA1P.net(70)

437
[sage]   投稿日:2017/08/09 14:40:57  ID:WvFggA1P.net(70)

438
[sage]   投稿日:2017/08/09 14:41:32  ID:WvFggA1P.net(70)

439
[sage]   投稿日:2017/08/09 14:41:48  ID:WvFggA1P.net(70)

440
[sage]   投稿日:2017/08/09 14:42:05  ID:WvFggA1P.net(70)

441
[sage]   投稿日:2017/08/09 14:42:21  ID:WvFggA1P.net(70)

442
[sage]   投稿日:2017/08/09 14:42:38  ID:WvFggA1P.net(70)

443
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/08/09 14:51:36  ID:vWdGLnQX.net(8)
>417
(d)
a,b>0 ゆえ
(√ab -1)^2 - 2 = ab -2√(ab) -1
 = ab -(a+b+1) +(√a-√b)^2
 ≧ 0,
∴ √ab ≧ 1+√2,

444
[sage]   投稿日:2017/08/09 15:28:26  ID:WvFggA1P.net(70)
★★★馬鹿板は悪い習慣であり、大脳が劣化します。なので早く止めましょう。★★★


445
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/08/09 15:58:47  ID:QFWbMnD6.net(2)
(3)
a,b,cは任意の実数でよい
L-R=(a^2-1)(b^2-1)(c^2-1)+(ab-1)^2+(bc-1)^2+(ca-1)^2
よって絶対値が 1 以下のものが奇数個あるときのみ示せば十分
それを c とすると
(a^2-1)(b^2-1)(c^2-1)+(ab-1)^2 >= -(a^2-1)(b^2-1)+(ab-1)^2 = (a-b)^2 >= 0

446
[sage]   投稿日:2017/08/09 15:59:21  ID:WvFggA1P.net(70)
★★★馬鹿板は悪い習慣であり、大脳が劣化します。なので早く止めましょう。★★★


447
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/08/09 16:02:22  ID:nXKHrols.net(2)
>388
>432
の(3)ね

448
[sage]   投稿日:2017/08/09 16:53:02  ID:WvFggA1P.net(70)

449
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/08/09 17:01:42  ID:A2I5YGTu.net(20)
a, b, c >0 かつ abc=1 のとき、

(1) [memoには 2004 JMO とあるが、全然違っていた…]
 c/(1+a) + b/(1+b) + a/(1+c) ≧ 3/2

(2) [memoには 1998 Ukraina とあるが、もう自信がない]
 (1+ab)/(1+a) + (1+bc)/(1+b) + (1+ca)/(1+c) ≧ 3

(3) [疑問]
 1/(1+a) + 1/(1+b) + 1/(1+c) ≧?
 bc/(1+a) + ca/(1+b) + ab/(1+c) ≧?

(4) [1998 IMO shortlist.A3]
 a^3/{(1+b)(1+c)} + b^3/{(1+c)(1+a)} + c^3/{(1+a)(1+b)} ≧ 3/4

-----------------------------------------------------

TeXで編集する際に、問題順を入れ替えたりしているうちに、
問題番号と出典番号がずれて、もはや修正のしようがない。

確認したくても、リンク先が消えているし。
https://mks.mff.cuni.cz/kalva/index2.html


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| ‖           ノノノノ -__
|| ‖           (゚∈゚ )  ─_____ ___
|∧ 从ノ      (ミ_ (⌒\ヽ _ ___
( (≡ ̄ ̄ ̄ ̄三\⌒ノ ノ )
|(つWつ  ̄ ̄\  ⌒彡)   ノ  =_
| \つ つ    \,___,ノノ
|  |  )        / / ≡=
|  |          / ノ      __________
|  |         /ノ _─ (´⌒(´
|  |       ミ/= (´⌒(´⌒;;
| ''''""'''"'''"""''"""'''''"'"''''""''"''''"""''"'''""''"''"'''"''()
|  / ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄
コメント22件

450
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/08/09 17:34:49  ID:vWdGLnQX.net(8)
>388
(5) Hlawka の不等式 にござりまする。

(左辺)*(左辺 - 右辺)= Sq + Trig,

Sq = |a|^2 + |b|^2 + |c|^2 + |a+b+c|^2 - |a+b|^2 - |b+c|^2 - |c+a|^2,

Trig = (|b|+|c|-|b+c|) (|a|-|b+c|+|a+b+c|)
 + (|c|+|a|-|c+a|) (|b|-|c+a|+|a+b+c|)
+ (|a|+|b|-|a+b|) (|c|-|a+b|+|a+b+c|).
式の変形とはいえ、うまいものと感心するばかり。

Trig ≧0 は△不等式から出るが、Sq = 0 を出すには内積計算などが要る。(← Euclid性)

文献[3] 大関「不等式への招待」 p.33-34 例題8. >2
コメント6件

451
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/08/09 17:42:17  ID:A2I5YGTu.net(20)
>450
ありがとう!

452
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/08/09 17:49:46  ID:A2I5YGTu.net(20)
>449 に付け足し。

a, b, c >0 かつ abc=1 のとき、

(4) [出典不明、元問題は"3乗和≧2乗和"を一般化した]
 自然数nに対して、a^n + b^n + c^n ≧ a^(n-1) + b^(n-1) + c^(n-1)

(5) [出典不明]
 b/a + c/b + a/b ≧ a+b+c ≧ √a + √b + √c
 b/a + c/b + a/b ≧ 1/a + 1/b + 1/c ≧ √a + √b + √c

(6) [2016 東北大]
 a^2 + b^2 + c^2 ≧ 1/a + 1/b + 1/c

(7) [疑問]
 a^n + b^n + c^n ≧ b/a + c/b + a/b をみたす最小の n∈N はあるかな?

(8) [参考までに、これも出典のmemoがなくて困るが…]
 a^3 + b^3 + c^3 + (ab)^3 + (bc)^3 + (ca)^3 ≧ b/a + c/b + a/b

--------------------------------------------------------------

同じ条件の不等式を整理していると、この問題と あの問題は繋がるのでは?
などと気になりはじめると、整理どころではなくなる。そうして未整理の不等式が貯まっていく。

(5)の2つの不等式の中辺の大小は定まらない。(過去スレでやったような希ガス…)
abc=1 に注意して、(a+b+c)-(ab+bc+ca) = (a-1)(b-1)(c-1)
a, b, cと1の大小で、正にも、0にも、負にもなる。
コメント4件

453
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/08/09 17:50:44  ID:A2I5YGTu.net(20)
>452
(8)の訂正。右辺は2倍ですた。
 a^3 + b^3 + c^3 + (ab)^3 + (bc)^3 + (ca)^3 ≧ 2(b/a + c/b + a/b)
コメント4件

454
[sage]   投稿日:2017/08/09 18:14:30  ID:WvFggA1P.net(70)
★★★馬鹿板は悪い習慣であり、大脳が劣化します。なので早く止めましょう。★★★


455
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/08/09 18:51:30  ID:sOQtPSi2.net(2)
>449
(1), (2) a=y/x … とおくだけ
(3)
Σ1/(1+a) = 1 + (a+b+c+1)/(ab+bc+ca+a+b+c+1) -> 1 (c=1/(ab), a->inf, b->inf)
Σbc/(1+a) = Σ1/(a+a^2) >= Σ(-3/4log(a)+1/2) = 3/4
(4) 相加相乗で終わり
コメント6件

456
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/08/09 19:19:25  ID:vWdGLnQX.net(8)
>388 (2)
 (aa+2)(bb+2)(cc+2) ≧ 3(a+b+c)^2

Asia-Pacific MO-2004改
文献 [9] 佐藤(訳)、問題3.85改

(左辺)=(abc)^2 + 2(ab)^2 +2(bc)^2 +2(ca)^2 +4(aa+bb+cc) +8
 =(abc)^2 +2(ab-1)^2 +2(bc-1)^2 +2(ca-1)^2 +3(a+b+c)^2 -2(ab+bc+ca) +2
 ={(abc)^2 +aa +bb +cc +2 -2(ab+bc+ca)}+2(ab-1)^2 +2(bc-1)^2 +2(ca-1)^2 +3(a+b+c)^2
 ≧ 3(a+b+c)^2,

※ (abc)^2 +aa +bb +cc +2 -2(ab+bc+ca)≧ 0
 は >388 (3)または練習問題1.90(i)を使う。


>449 (4)
文献 [9] 佐藤(訳)、演習問題 1.120
コメント3件

457
[sage]   投稿日:2017/08/09 20:54:19  ID:WvFggA1P.net(70)

458
[sage]   投稿日:2017/08/09 20:54:39  ID:WvFggA1P.net(70)

459
[sage]   投稿日:2017/08/09 20:54:55  ID:WvFggA1P.net(70)

460
[sage]   投稿日:2017/08/09 20:55:11  ID:WvFggA1P.net(70)

461
[sage]   投稿日:2017/08/09 20:55:27  ID:WvFggA1P.net(70)

462
[sage]   投稿日:2017/08/09 20:55:43  ID:WvFggA1P.net(70)

463
[sage]   投稿日:2017/08/09 20:56:02  ID:WvFggA1P.net(70)

464
[sage]   投稿日:2017/08/09 20:56:18  ID:WvFggA1P.net(70)

465
[sage]   投稿日:2017/08/09 20:56:35  ID:WvFggA1P.net(70)

466
[sage]   投稿日:2017/08/09 20:56:51  ID:WvFggA1P.net(70)

467
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/08/09 22:45:59  ID:A2I5YGTu.net(20)
不等式が少しだけ載っているというタレコミがあったので、事情徴収(立ち読み)してきた。
容疑者 : 佐久間一浩、『高校数学と大学数学の接点』、PP.18-30

(1) PP.18-24
三角形の辺長を a, b, c、面積をSとするとき、a^2 + b^2 + c^2 ≧ (4√3)S.

(2) PP.25-30
R ≧ 2r (球殻不等式)

(1)に対して、8通りの証明を与えていた。
(2)は d^2 = R^2 - 2Rr (茶ップル-オイラーの定理)を証明して片付けていた。
ここで d は外心と内心の距離。



   ∧,,∧    
   (`・ω・´) 8通りの証明だと? 詳しく聞こうか?
   (    )
 ̄ ̄Φ口U ̄ ̄\
   _ _.        \
_(    ) ← 佐久間\
 ̄┏┳┓)
コメント16件

468
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/08/09 22:47:06  ID:A2I5YGTu.net(20)
>467
> 三角形の辺長を a, b, c、面積をSとするとき、a^2 + b^2 + c^2 ≧ (4√3)S.

(証明1)
ヘロンの公式を使って a, b, c だけの式にして、(左辺)^2 - (右辺)^2

(証明2)
面積公式と余弦定理を使って a, b, c だけの式にして、(左辺)^2 - (右辺)^2

(証明3)
b+c-a=A, c+a-b=B, a+b-c=C とおいて、AM-GM とヘロンの公式。

(証明4)
a^2 + b^2 + c^2 ≧ ab+bc+ca の右辺に正弦定理を用いてから、凸不等式。

(証明5)
a^2 + b^2 + c^2 ≧ (4√3)S + (1/2){(a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2} を証明。

(証明6)
a^2 + b^2 + c^2 ≧ (4√3)S + (a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2 を証明。

(証明7)
証明6の不等式を三角関数で証明。

(証明8)
座標平面上に、頂点を A(a/2,0)、B(-a/2,0)、C(s,t)、t>0 とおいて計算。

---------------------------------------------------------------------

[1] そもそもヘロンの公式は、面積公式と余弦定理から三角関数を消去して得られるものだから、
  証明1と証明2は全く同じものである。証明6と証明7も一緒。つまり6通りの証明ですな。

[2] この不等式には、オノとかフランダースとか、なんか名前はついていないのかな?

[3] 他に証明は無いのかな。証明3と実質同じだが、Ravi変換くらいしか思いつかない。

ヘロンの公式を行列式で表すと、S = (√D)/4。ここでDは以下の行列式。
|0 1   1   1 |
|1 0 a^2 b^2|
|1 a^2 0 c^2|
|1 b^2 c^2 0 |

469
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/08/09 22:48:59  ID:DWUU74oj.net(4)
>388
>456
相当な量の改良問題があった

for reals
[1] (a^2+1)(b^2+1)(c^2+1) >= (1+a+b)(1+b+c)(1+c+a)
[2] ((a^2+3)(b^2+3)(c^2+3))^2 >= 512(a+b)(b+c)(c+a)

for nonnegarives
[3] (a^2+2)(b^2+2)(c^2+2) >= 3(a+b+c)^2+(abc-1)^2
[4] (x^2+2)(y^2+2)(z^2+2) >= 4(x^2+y^2+z^2)+5(xy+yz+zx)+(xyz-1)^2
[5] (a^2+2)(b^2+2)(c^2+2) >= 4(a^2+b^2+c^2)+5(ab+bc+ca)+(abc(a-1)^2(b-1)^2(c-1)^2)^(1/3)

AOPS
[1], [2] : c6h588096p3481394
[3] : c6h4830p15309
[4], [5] : c6h581954p3438879

他にもいろいろ
コメント3件

470
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/08/09 22:51:59  ID:A2I5YGTu.net(20)
>469
キタ─wwヘ√レvv〜(゚∀゚)─wwヘ√レvv〜─ !! 素晴らしい!

471
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/08/10 00:03:36  ID:ZcMNVdrv.net(12)
[出典不明]
実数 a,b,c,x,y,z が ax-2by+cz=0 かつ ac > b^2 > 0 をみたすとき、y^2 ≧ xz を示せ。

こういう掴みどころのない問題は、改造や類題を作りにくいので困る。 ('A`)ヴォエァ!
コメント2件

472
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/08/10 01:44:43  ID:DPXWgKrx.net(8)
>471
xz≦0 のときは明らか。
xz>0 のとき
4{bbyy -(ax)(cz)}≧(2by)^2 -(ax+cz)^2 = -(ac-2by+cz)(ac+2by+cz)= 0,
∴ yy ≧(ac/bb)xz ≧ xz,

473
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/08/10 02:37:02  ID:DPXWgKrx.net(8)
>467
(2)
 △の3辺を切る円はその内接円より大きい、を認めよう。
 △の各辺の中点を通る円を考える。
 この円は半径R/2であるが、△の3辺を切る。
 R/2 ≧ r
 (清水多門氏による)

文献[3]、p.7-8 例題4 >2

474
[sage]   投稿日:2017/08/10 02:40:57  ID:JHmEReZW.net(88)

475
[sage]   投稿日:2017/08/10 02:41:14  ID:JHmEReZW.net(88)

476
[sage]   投稿日:2017/08/10 02:41:29  ID:JHmEReZW.net(88)

477
[sage]   投稿日:2017/08/10 02:41:43  ID:JHmEReZW.net(88)

478
[sage]   投稿日:2017/08/10 02:41:59  ID:JHmEReZW.net(88)

479
[sage]   投稿日:2017/08/10 02:42:15  ID:JHmEReZW.net(88)

480
[sage]   投稿日:2017/08/10 02:42:31  ID:JHmEReZW.net(88)

481
[sage]   投稿日:2017/08/10 02:42:46  ID:JHmEReZW.net(88)

482
[sage]   投稿日:2017/08/10 02:43:01  ID:JHmEReZW.net(88)

483
[sage]   投稿日:2017/08/10 02:43:27  ID:JHmEReZW.net(88)

484
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/08/10 02:47:00  ID:ZcMNVdrv.net(12)
>414
> 実数 a,b,c,d が a+b+c+d=0, a^2+b^2+c^2+d^2=100 をみたすとき、
> a^3+b^3+c^3+d^3 のとりうる値の範囲を求めよ。

追加問題 : 同じ条件の下で、aのとりうる値の範囲を求めよ。


     |
 \  __  /
 _ (m) _ピコーン
    |ミ|
 /___\ 
 ./  ≧ \ 
 |::::  \ ./ | 
 |::::: (● (● | < 改造せずにはいられない!
 ヽ::::... .ワ.....ノ   (閃いたが、簡単過ぎる…)
   人つゝ 人,,         
  Yノ人 ノ ノノゞ⌒〜ゞ    
 ノ /ミ|\、    ノノ ( 彡
`⌒  .U~U`ヾ    丿
         ⌒〜⌒
コメント2件

485
[sage]   投稿日:2017/08/10 02:48:50  ID:JHmEReZW.net(88)

486
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/08/10 02:58:19  ID:DPXWgKrx.net(8)
>449 (4)
チェビシェフにより
(左辺)≧ a/{(1+b)(1+c)}+ b/{(1+c)(1+a)}+ c/{(1+a)(1+b)}
 ={a(1+a)+ b(1+b)+ c(1+c)}/{(1+a)(1+b)(1+c)}
 ≧(s+t)/(1+s+t+u),
 ≧ 3/4,
∵題意より u=abc=1 ゆえ s+t≧3{u^(1/3)+u^(2/3)}= 6,

487
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/08/10 03:13:12  ID:ZcMNVdrv.net(12)
>414
> 実数 a,b,c,d が a+b+c+d=0, a^2+b^2+c^2+d^2=100 をみたすとき、
> a^3+b^3+c^3+d^3 のとりうる値の範囲を求めよ。
>
> 追加問題 : 同じ条件の下で、aのとりうる値の範囲を求めよ。

さらに追加 : 同じ条件の下で、ab+bc+cd+da のとりうる値の範囲を求めよ。


           /⌒\ っ   /\
          /'⌒'ヽ \ っ/\  |
          (●.●) )/   |: | 
           >冊/  ./     |: /
         /⌒   ミミ \   〆
         /   / |::|λ|   
         |√7ミ   |::|  ト、  
         |:/    V_ハ   
        /| i         | 
         и .i      N 
          λヘ、| i .NV 
            V\W  
     |
 \  __  /
 _ (m) _ピコーン
    |ミ|
 /___\ 
 ./  ≧ \ 
 |::::  \ ./ | 
 |::::: (● (● | < なんか降りてきた!
 ヽ::::... .ワ.....ノ    今夜は冴えてるぜ!
   人つゝ 人,,         
  Yノ人 ノ ノノゞ⌒〜ゞ    
 ノ /ミ|\、    ノノ ( 彡
`⌒  .U~U`ヾ    丿
         ⌒〜⌒
コメント2件

488
[sage]   投稿日:2017/08/10 03:24:41  ID:JHmEReZW.net(88)

489
[sage]   投稿日:2017/08/10 04:28:58  ID:JHmEReZW.net(88)

490
[sage]   投稿日:2017/08/10 04:29:18  ID:JHmEReZW.net(88)

491
[sage]   投稿日:2017/08/10 04:29:39  ID:JHmEReZW.net(88)

492
[sage]   投稿日:2017/08/10 04:29:58  ID:JHmEReZW.net(88)

493
[sage]   投稿日:2017/08/10 04:30:15  ID:JHmEReZW.net(88)

494
[sage]   投稿日:2017/08/10 04:30:33  ID:JHmEReZW.net(88)

495
[sage]   投稿日:2017/08/10 04:30:52  ID:JHmEReZW.net(88)

496
[sage]   投稿日:2017/08/10 04:31:12  ID:JHmEReZW.net(88)

497
[sage]   投稿日:2017/08/10 04:31:44  ID:JHmEReZW.net(88)

498
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/08/10 12:38:29  ID:60raC5j+.net(2)
>452
(7) n>=3
a^2+b^2+c^2 と b/a+c/b+a/c の大小は定まらない
(8) Schur + AMGM

499
[sage]   投稿日:2017/08/10 13:07:16  ID:JHmEReZW.net(88)

500
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/08/10 13:59:34  ID:DPXWgKrx.net(8)
>484
a=-(b+c+d)を代入して
aa = (-b-c-d)^2 ≦ 3(bb+cc+dd)= 3(100-aa),
aa ≦ 75,
|a| ≦ 5√3,

>487
(a+c)(b+d)= -(a+c)^2 = -(b+d)^2 ≧ -(aa+cc) -(bb+dd) = -100,
-100 ≦ (a+c)(b+d)≦ 0,
等号成立は(a,b,c,d)=(5,-5,5,-5)(5,5,-5,-5)など。

501
[sage]   投稿日:2017/08/10 15:01:44  ID:JHmEReZW.net(88)

502
[sage]   投稿日:2017/08/10 15:02:00  ID:JHmEReZW.net(88)

503
[sage]   投稿日:2017/08/10 15:02:17  ID:JHmEReZW.net(88)

504
[sage]   投稿日:2017/08/10 15:02:35  ID:JHmEReZW.net(88)

505
[sage]   投稿日:2017/08/10 15:02:52  ID:JHmEReZW.net(88)

506
[sage]   投稿日:2017/08/10 15:03:08  ID:JHmEReZW.net(88)

507
[sage]   投稿日:2017/08/10 15:03:25  ID:JHmEReZW.net(88)

508
[sage]   投稿日:2017/08/10 15:03:43  ID:JHmEReZW.net(88)

509
[sage]   投稿日:2017/08/10 15:04:00  ID:JHmEReZW.net(88)

510
[sage]   投稿日:2017/08/10 15:04:17  ID:JHmEReZW.net(88)

511
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/08/10 20:36:16  ID:ZcMNVdrv.net(12)
>467-468
> 三角形の辺長を a, b, c、面積をSとするとき、a^2 + b^2 + c^2 ≧ (4√3)S.
>
> [2] この不等式には、オノとかフランダースとか、なんか名前はついていないのかな?


Weitzenbock's inequality と言うらしい。ヴァイツェンベックと発音するのかな?
https://en.wikipedia.org/wiki/Weitzenb%C3%B6ck%27s_inequality

512
[sage]   投稿日:2017/08/10 21:00:27  ID:JHmEReZW.net(88)

513
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/08/10 21:41:35  ID:ZcMNVdrv.net(12)
Crux
https://cms.math.ca/crux/v43/n6/

いつの間にかパスワード制になって読めなくなったでござる。
パスワード無しで読める最後の記事は v37n8 (2011年)。
https://cms.math.ca/crux/v37/n8/

Problems
3690、3691、3694、3699

514
[sage]   投稿日:2017/08/10 21:57:11  ID:JHmEReZW.net(88)
★★★馬鹿板は悪い習慣であり、大脳が劣化します。なので早く止めましょう。★★★


515
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/08/10 21:57:26  ID:ZcMNVdrv.net(12)

516
[sage]   投稿日:2017/08/10 23:48:50  ID:JHmEReZW.net(88)

517
[sage]   投稿日:2017/08/10 23:49:09  ID:JHmEReZW.net(88)

518
[sage]   投稿日:2017/08/10 23:49:27  ID:JHmEReZW.net(88)

519
[sage]   投稿日:2017/08/10 23:49:45  ID:JHmEReZW.net(88)

520
[sage]   投稿日:2017/08/10 23:50:03  ID:JHmEReZW.net(88)

521
[sage]   投稿日:2017/08/10 23:50:22  ID:JHmEReZW.net(88)

522
[sage]   投稿日:2017/08/10 23:50:41  ID:JHmEReZW.net(88)

523
[sage]   投稿日:2017/08/10 23:50:57  ID:JHmEReZW.net(88)

524
[sage]   投稿日:2017/08/10 23:51:13  ID:JHmEReZW.net(88)

525
[sage]   投稿日:2017/08/10 23:51:31  ID:JHmEReZW.net(88)

526
132人目の素数さん[]   投稿日:2017/08/11 00:32:25  ID:UlqqGaeP.net(2)
ネタギレだな
興奮する問題が無い

527
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/08/11 00:46:30  ID:VAqorbPb.net(2)
(俺の経験人数)>Σ(このスレの住人の経験人数)
を示せ

528
[sage]   投稿日:2017/08/11 00:58:40  ID:ToUPXODc.net(66)
♪♪♪もう良い子は寝る時間です。そやし馬鹿板は止めて、また明日にしましょう。♪♪♪

ケケケ¥

529
[sage]   投稿日:2017/08/11 06:12:48  ID:ToUPXODc.net(66)

530
[sage]   投稿日:2017/08/11 06:13:04  ID:ToUPXODc.net(66)

531
[sage]   投稿日:2017/08/11 06:13:20  ID:ToUPXODc.net(66)

532
[sage]   投稿日:2017/08/11 06:13:36  ID:ToUPXODc.net(66)

533
[sage]   投稿日:2017/08/11 06:13:51  ID:ToUPXODc.net(66)

534
[sage]   投稿日:2017/08/11 06:14:08  ID:ToUPXODc.net(66)

535
[sage]   投稿日:2017/08/11 06:14:24  ID:ToUPXODc.net(66)

536
[sage]   投稿日:2017/08/11 06:14:39  ID:ToUPXODc.net(66)

537
[sage]   投稿日:2017/08/11 06:14:55  ID:ToUPXODc.net(66)

538
[sage]   投稿日:2017/08/11 06:15:11  ID:ToUPXODc.net(66)

539
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/08/11 12:57:10  ID:OXujv9yn.net(4)
>467 (1)を改造...

三角形の辺長を a,b,c、面積をSとするとき、(1/3)(a+b+c)^2 ≧ (4√3)S.

(証明3)
b+c-a=A, c+a-b=B, a+b-c=C とおく。
(1/3)(a+b+c)^2
=(1/3)(A+B+C)^2
≧ √{3(A+B+C)ABC} (← AM-GM)
=(4√3)S,


三角形の辺長を a,b,c、面積をSとするとき、ab+bc+ca ≧ (4√3)S.

(証明6)
b+c-a=A, c+a-b=B, a+b-c=C とおく。
ab+bc+ca = aa+bb+cc -{(a-b)^2 +(b-c)^2 +(c-a)^2}/2
≧ aa+bb+cc -(a-b)^2 -(b-c)^2 -(c-a)^2
= AB+BC+CA
≧ √{3(A+B+C)ABC}
=(4√3)S,
コメント8件

540
[sage]   投稿日:2017/08/11 12:59:40  ID:ToUPXODc.net(66)
★★★馬鹿板は悪い習慣であり、大脳が劣化します。なので早く止めましょう。★★★


541
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/08/11 16:26:36  ID:XzY0B0Bq.net(8)
a, b, c >0 かつ abc=1 のとき、

(1) [AYIN 2012.09]
(a+b)/(ab+a+b) + (b+c)/(bc+b+c) + (c+a)/(ca+c+a) ≧ 2

(2) [1997 Romania]
(a^3+b^3)/(ab+a^2+b^2) + (b^3+c^3)/(bc+b^2+c^2) + (c^3+a^3)/(ca+c^2+a^2) ≧ 2

(3) [1996 IMO shortlist.A1]
ab/(ab+a^5+b^5) + bc/(bc+b^5+c^5) + ca/(ca+c^5+a^5) ≦ 1

----------------------------------------------------

[1] (3)だけ向きが逆。もしかして (1)(2)(3) すべて最大値と最小値があるかな?

[2] 分母が ab+a^n+b^n のタイプで、他に類題ないかな?


     /⌒\ っ   /\
    /'⌒'ヽ \ っ/\  |
    (●.●) )/   |: | 
     >冊/  ./     |: /
   /⌒   ミミ \   〆
   /   / |::|λ|    |
   |√7ミ   |::|  ト、   |
   |:/    V_ハ   |
  /| i         | ∧|∧
   и .i      N /  ヽ) きりがないでござる…
    λヘ、| i .NV  |   | |
      V\W   ( 、 ∪
              || |
              ∪∪
コメント4件

542
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/08/11 16:46:26  ID:XzY0B0Bq.net(8)
>467>539
さらに改造。というか、コレクションに纏め済みでござった。

三角形の辺長 a, b, c、面積 S、外接円の半径 R、内接円の半径 r に対して、

9R^2 ≧ a^2 + b^2 + c^2 ≧ (1/3)(a+b+c)^2 ≧ ab+bc+ca ≧ 3(abc)^(2/3) ≧ (4√3)S ≧ 36r.


          ○   ∇ 、___,、´`゙;~、  ';冫 ☆
           ┏  ━ゝヽ''/  ≧ \━〆A!゚━━┓。
 ╋┓"〓┃  < ゝ\',冫。' |::::  \ ./ |゛△│´'´,.ゝ'┃.      ●┃ ┃┃
 ┃┃_.━┛ヤ━━━━━━|::::: (● (● |━━━━━━━━━  ━┛ ・ ・
        ∇  ┠─Σ-  ヽ::::... .ワ.....ノ  冫 そ',´; ┨'゚,。
           .。冫▽ <   ⊂     ./⊃     乙  ≧   ▽
         。 ┃   Σ   (⌒ゞ ,l, 、''  │   て く
           ┠─ム┼   ゝ,,ノ ノゝ. 、,, .┼ ァ Ζ┨ ミo''`
         。、゚`。、   i/   レ' o。了 、'' ×  个o
        ○  ┃   `、,~´+√ ▽   ',!ヽ.◇    o┃
            ┗〆━┷ Z,.' /┷━''o ヾo┷+\━┛,゛;
       ヾ                  '、´    ∇
コメント4件

543
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/08/11 17:08:13  ID:XzY0B0Bq.net(8)
>467 >539 >542
さらに行けそうだぜ! ヒャッハー!
http://forumgeom.fau.edu/FG2005volume5/FG200519index.html

9abc/(a+b+c) ≧ (4√3)S が成り立つらしい (証明は未だ読んでいない)

AM-GMから直ちに >542 とドッキングさせられるぜ! ヒャッハー!

9R^2 ≧ a^2 + b^2 + c^2 ≧ (1/3)(a+b+c)^2 ≧ ab+bc+ca ≧ 3(abc)^(2/3) ≧ 9abc/(a+b+c)≧ (4√3)S ≧ 36r.



     _  ())二) )) 、,r:ニヽ  いいぞ ベイべー!
 @ニ===)二二ニニ)('A` ))  不等式を収集し証明する奴は 不等式ヲタだ!!
     ^ ̄" フ\''|ノ=ノ-(  )   不等式を改造し拡張する奴は よく訓練された不等式ヲタだ!!
         _/  \_   L L   ホント不等式はハァハァするぜ! フゥハハハーハァー
コメント4件

544
[sage]   投稿日:2017/08/11 17:28:47  ID:ToUPXODc.net(66)

545
[sage]   投稿日:2017/08/11 17:29:04  ID:ToUPXODc.net(66)

546
[sage]   投稿日:2017/08/11 17:29:20  ID:ToUPXODc.net(66)

547
[sage]   投稿日:2017/08/11 17:29:36  ID:ToUPXODc.net(66)

548
[sage]   投稿日:2017/08/11 17:29:52  ID:ToUPXODc.net(66)

549
[sage]   投稿日:2017/08/11 17:30:07  ID:ToUPXODc.net(66)

550
[sage]   投稿日:2017/08/11 17:30:22  ID:ToUPXODc.net(66)

551
[sage]   投稿日:2017/08/11 17:30:56  ID:ToUPXODc.net(66)

552
[sage]   投稿日:2017/08/11 17:31:12  ID:ToUPXODc.net(66)

553
[sage]   投稿日:2017/08/11 17:31:29  ID:ToUPXODc.net(66)

554
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/08/11 18:20:48  ID:OXujv9yn.net(4)
>467 (1)>539 を再改造…
>541
(2)
(aa-ab+bb)/(aa+ab+bb)≧ 1/3,など。
(左辺)≧ 2(a+b+c)/3 ≧ 2(abc)^(2/3)= 2,


(3)
ab +a^5 +b^5 = aabbc +a^5 +b^5 ≧ aabb(a+b+c)= ab(a+b+c)/c,
IMO-1996 予選
文献[9]佐藤、演習問題1.15


>543
abc =(A+B)(B+C)(C+A)/8 ≧(A+B+C)(AB+BC+CA)/9,
∴ ab+bc+ca ≧ 9abc/(a+b+c)≧ AB+BC+CA
>539 により成立。

きりがないでござるよ…
コメント4件

555
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/08/11 18:50:48  ID:XzY0B0Bq.net(8)
>554
むむむ、再改造とは 恐るべし不等式ヲタ…

List of triangle inequalities
https://en.wikipedia.org/wiki/List_of_triangle_inequalities



彳叩 ,イ云”   ,.ッ          |  ィ1 |l  |       、   ,. '´
レ/   チ     rf少        [> |||| ||  |       迅  /
rf   fリイ     {孖        _レ-ー、|__ト-、     什 (      む
lト   {iヌ    {iヌ      _/´,.´ ,.  .., 、 フ _ヽ、  ノ糸 _,)    む
斗   弋z    弋z,.     〃_` /',ニ=ュ> lxニ∠ヽ|_ ァzソ (       む
も、  `マチtz,        { G レ‐、ゝー"´=ゝ一'‐, L     `┐
ミマ辷   ` =z.,,__      ! ,r〉 ,二_,.{,_,}二,,,..、 .}     ゝ
 ` t述シtr、         {`-”し',. '"´`ゝv, ィ/´゛ヽレ'      `つ
     `ー≧= ‐ .,,,    ト,  || ゝ ひ フ  / てソj |:|       〈 ⊂´ ̄ ̄
` 爻ミzz,,           | | . || , '´ ̄   |` ̄''` i,|       ,)r'"
   `弋≧=ー'       |  || J      ,._|    .//      /"
               ,/、.  ||   、_,,,.--、_, //
              ,.r' !、  ̄ ゝ....,,,,____,,,/,1
         ,,.. ‐'フ´   >`、「 0        C.〕、
       ,. < ``、、   /'  ,.ヘ>========< \‐- .._

556
[sage]   投稿日:2017/08/11 19:51:33  ID:ToUPXODc.net(66)

557
[sage]   投稿日:2017/08/11 19:51:49  ID:ToUPXODc.net(66)

558
[sage]   投稿日:2017/08/11 19:52:21  ID:ToUPXODc.net(66)

559
[sage]   投稿日:2017/08/11 19:52:37  ID:ToUPXODc.net(66)

560
[sage]   投稿日:2017/08/11 19:52:54  ID:ToUPXODc.net(66)

561
[sage]   投稿日:2017/08/11 19:53:10  ID:ToUPXODc.net(66)

562
[sage]   投稿日:2017/08/11 19:53:26  ID:ToUPXODc.net(66)

563
[sage]   投稿日:2017/08/11 19:53:42  ID:ToUPXODc.net(66)

564
[sage]   投稿日:2017/08/11 19:53:58  ID:ToUPXODc.net(66)

565
[sage]   投稿日:2017/08/11 19:54:14  ID:ToUPXODc.net(66)

566
[sage]   投稿日:2017/08/11 19:54:30  ID:ToUPXODc.net(66)

567
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/08/12 00:51:27  ID:WPvdvXKS.net(2)
なんかこのスレきもいな
ただのキモオタじゃん

568
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/08/12 00:51:30  ID:rvCA1oPA.net(6)
>389 >515

△ABC における重心座標を考える。
 ↑D = L・↑A + m・↑B + n・↑C, L+m+n=1,

(v,w)=((Lp+mr+nt)/(L+m+n),(Lq+ms+nu)/(L+m+n))

(Dが△ABCの内部または周上) ⇔ 0 ≦ L,m,n

∴ AM-GM により
 x^v・y^w ≦{L(x^p)(y^q) + m(x^r)(y^s) + n(x^t)(y^u)}/(L+m+n)
     ≦ (x^p)(y^q) + (x^r)(y^s) + (x^t)(y^u),

(Dが△ABCの外部) ⇔ min{L,m,n}<0
 さて、どうする?
コメント2件

569
[sage]   投稿日:2017/08/12 02:20:34  ID:Ay3s6hqd.net(20)

570
[sage]   投稿日:2017/08/12 02:20:51  ID:Ay3s6hqd.net(20)

571
[sage]   投稿日:2017/08/12 02:21:10  ID:Ay3s6hqd.net(20)

572
[sage]   投稿日:2017/08/12 02:21:27  ID:Ay3s6hqd.net(20)

573
[sage]   投稿日:2017/08/12 02:21:45  ID:Ay3s6hqd.net(20)

574
[sage]   投稿日:2017/08/12 02:22:05  ID:Ay3s6hqd.net(20)

575
[sage]   投稿日:2017/08/12 02:22:22  ID:Ay3s6hqd.net(20)

576
[sage]   投稿日:2017/08/12 02:22:39  ID:Ay3s6hqd.net(20)

577
[sage]   投稿日:2017/08/12 02:22:57  ID:Ay3s6hqd.net(20)

578
[sage]   投稿日:2017/08/12 02:23:15  ID:Ay3s6hqd.net(20)

579
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/08/12 03:30:21  ID:hiSFFC3j.net(2)
不等式ではなくって、等式なんだけど、
>467の本 : 佐久間一浩、『高校数学と大学数学の接点』
を立ち読みしてきたときに見つけた問題を。

Σ[n=1 to ∞] (15n^2 - 30πn^4 + 8π^2 n^6)*e^(-πn^2) = ?


あと、名前の付いた等式を一つ。(只の式変形で出るので面白くはないが…)

ヒルツェブルフの等式 : x/ tanh x = 2x/(e^(2x)-1) + x
コメント2件

580
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/08/12 11:28:19  ID:rvCA1oPA.net(6)
>388 (4)

(i) >432

(ii) OA=OB=OC とし、Oから平面ABCに垂線OHを下し、z軸とする。
  A,B,C の天頂角をθとおくと、OH =|OA|・cosθ,etc.

 2平面 OAH と OBH のなす角(二面角)を ∠AHB = φとおく。
 cos(∠AOB)=(OA・OB)/|OA||OB|=(cosθ)^2 +(sinθ)^2 cosφ ≧ cosφ,
∴ ∠AOB ≦ φ = ∠AHB,
循環的にたす。

581
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/08/12 12:31:19  ID:rvCA1oPA.net(6)
>579

0

L(x) = 1/tanh(x) - 1/x をランジュヴァン関数というらしい。
|x| << 1 で L(x)≒x/3

582
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/08/13 16:43:33  ID:/or+kDcE.net(2)
>541 (1)

(a+b)/(ab+a+b) = (a+b)c/{1+(a+b)c}= z/(1+z),

通分して
(1+x)(1+y)z +(1+x)y(1+z)+ x(1+y)(1+z)- 2(1+x)(1+y)(1+z)
 = -2 -(x+y+z) +xyz,
 = -2 -2(ab+bc+ca)+ abc(a+b)(b+c)(c+a)
={1 - (abc)^2}+(ab+bc+ca-3)+(ab+bc+ca){abc(a+b+c) -3}
 ≧ 0,

583
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/08/14 03:30:28  ID:DhVyRLdl.net(4)
>449 >455

(2)
(1+ab)/(1+a)= (1+c)/{c(1+a)},etc.
 AM-GM する。

>455 とほとんど同じだ....

(3)
 1/(1+a)+ 1/(1+b)+ 1/(1+c)
 ≧ 1/(1+a+ab)+ 1/(1+b+bc)+ 1/(1+c+ca)
 = x/(x+y+z)+ y/(y+z+x)+ z/(z+x+y)
 = 1,

 bc/(1+a) + ca/(1+b) + ab/(1+c) ≧ 3/2,
通分して
 bc(1+b)(1+c)+ ca(1+c)(1+a)+ ab(1+a)(1+b)-(3/2)(1+a)(1+b)(1+c)
 = t +(st-3u)+(tt-2su)-(3/2)(1+s+t+u)
 ={(s-3)t + s(t-3)}/6 +(2s+3)(u-1)/2 + 2(st-9u)/3 +(tt-3su)
 ={(s-3)t + s(t-3)}/6 +(2s+3)(u-1)/2
 ≧0,    (← s≧3、t≧3、u=1)
コメント8件

584
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/08/14 14:19:59  ID:2wTFMFcz.net(4)
>543-544
> 9R^2 ≧ a^2 + b^2 + c^2 ≧ (1/3)(a+b+c)^2 ≧ ab+bc+ca ≧ 3(abc)^(2/3) ≧ 9abc/(a+b+c)≧ (4√3)S ≧ 36r.

書き直すと
(√3)R ≧ (a^2+b^2+c^2)/3 ≧ AM ≧ √{(ab+bc+ca)/3} ≧ GM ≧ √|3abc/(a+b+c)} ≧ 2√(S/√3) ≧ (2√3)r.

>544より、√|3abc/(a+b+c)} ≧ √|(AB+BC+CA)/3}.

ところで、(ab+bc+ca)^2 - 3abc(a+b+c) ≧ 0 より、√|3abc/(a+b+c)} ≧ HM.

そこで気になるのは、2√(S/√3)、HM、√|(AB+BC+CA)/3} の大小だけど、定まるかな?
 
    /⌒ヽ
  /⌒  ・ >
  E ̄U) ε | きりがないでござる
  E ̄∩) ・ >
゛゛゛゛゛゛゛゛゛゛゛゛゛゛゛゛゛゛゛゛゛゛
コメント6件

585
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/08/14 16:40:29  ID:2wTFMFcz.net(4)
数学文化という雑誌に不等式の特集があるというタレ込みがあったので買ってきた。未だ目を通していない。

586
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/08/14 21:52:11  ID:DhVyRLdl.net(4)
>449
(3)下
チェビシェフで
(左辺)= 1/{a(1+a)}+ 1/{b(1+b)}+ 1/{c(1+c)}
   ≧ 1/{a(1+b)}+ 1/{b(1+c)}+ 1/{c(1+a)}
よって、次の問題に帰着する。

〔問題3.93〕
 1/{a(1+b)}+ 1/{b(1+c)}+ 1/{c(1+a)}≧ 3/(1+abc),

 バルカンMO-2006
 文献[9] 佐藤(訳)、問題3.93

左辺に 1+abc を掛ける。
 (1+abc)/{a(1+b)}= (1+a)/{a(1+b)}-1 + b(1+c)/(1+b),etc.
巡回的に AM-GM すると
(1+abc)(左辺)≧ 3(1/G -1 +G)
 = 3(1-G+GG)/G
 = 3(1+GGG)/{G(1+G)}.
∴ (左辺)≧ 3/{G(1+G)},
ここに G=(abc)^(1/3)
コメント4件

587
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/08/15 00:00:45  ID:CDzXTDus.net(4)
>584

(AB+BC+CA)/3 ≧ √{(A+B+C)ABC/3} =(4/√3)S, >554
(HM)^2 ≧(4/√3)S
にて御座候。

HM と √{(AB+BC+CA)/3}の大小は不定と思われ...

き、きりがねぇ。。。
コメント2件

588
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/08/15 11:55:24  ID:MRdTx6vq.net(6)
>587
> (HM)^2 ≧(4/√3)S

これがうまく証明できませぬ…
コメント4件

589
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/08/15 11:56:07  ID:MRdTx6vq.net(6)
>584-585より、
(√3)R ≧ (a^2+b^2+c^2)/3 ≧ AM ≧ √{(ab+bc+ca)/3} ≧ GM ≧ √|3abc/(a+b+c)}≧ HM ≧ 2√(S/√3) ≧ (2√3)r

ところで、三角形の辺長a,b,cに対して、2(ab+bc+ca) > (1/2)(a+b+c)^2 > a^2+b^2+c^2 だから、
{√2(ab+bc+ca)}/3 > (a+b+c)/(3√2) > (a^2+b^2+c^2)/3

合体させて、
{√2(ab+bc+ca)}/3 > (a+b+c)/(3√2) > (a^2+b^2+c^2)/3 ≧ AM ≧ √{(ab+bc+ca)/3} ≧ GM ≧ √|3abc/(a+b+c)}≧ HM ≧ 2√(S/√3) ≧ (2√3)r

さて、(√3)R はどこに入るのだろう?



    ('A`)  出口が見えないでござる
    ノ ノ)_
コメント4件

590
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/08/15 12:37:59  ID:MRdTx6vq.net(6)
>589
> >584-585より、
> (√3)R ≧ (a^2+b^2+c^2)/3 ≧ AM ≧ √{(ab+bc+ca)/3} ≧ GM ≧ √|3abc/(a+b+c)}≧ HM ≧ 2√(S/√3) ≧ (2√3)r
>
> ところで、三角形の辺長a,b,cに対して、2(ab+bc+ca) > (1/2)(a+b+c)^2 > a^2+b^2+c^2 だから、

GMの左側から合体させたら、
√{(ab+bc+ca)/3} > (a+b+c)/(2√3) > √|(a^2+b^2+c^2)/6} ≧ GM/(√2)
√{(ab+bc+ca)/3} ≧ GM ≧ √|3abc/(a+b+c)}≧ HM ≧ 2√(S/√3) ≧ (2√3)r

この2つは合体は無理そうかな。上側はGMより小さくなってるようだし…
コメント2件

591
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/08/15 13:03:49  ID:CDzXTDus.net(4)
>589

{√2(ab+bc+ca)/3}>(a+b+c)/√6 > √{(aa+bb+cc)/3}≧ AM

>590

正△でも等号不成立なので、無理そうでござる。

592
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/08/16 07:17:47  ID:QnvYtidY.net(8)
>588
(HM)^2 ≧(4/√3)S
⇔ (3√3)(abc)^2 ≧ 4(ab+bc+ca)^2 √{s(s-a)(s-b)(s-c)}
⇔ (3√3) sin A sin B sin C ≧ 2 (sin A sin B + sin B sin C + sin C sin A)^2

この証明は難しいのでは?
a, b, c で表しても、sin で表してもややこしい。
レムスで削り落としても、まだ複雑な形でござる…

Lehmu's inequality : abc ≧ (s-a)(s-b)(s-c)

           , /    ,
        ,   / /   ,   /  ,
          / '^メ-' ─/- 、   / ,
       ∠r  _,゛_ /  , ヽ/__/ モウ ダメポ…
        ''ヽ'_・.ノ` ' r/、 ヘ /‐’
       ./ " j 厂゙j | レ_`> j__ /
        '  .:‘::'ニ‘.:‐'´─゙.:´一’ 
コメント4件

593
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/08/16 08:03:22  ID:QnvYtidY.net(8)
>592
左辺の係数間違ごうとる

(HM)^2 ≧(4/√3)S
⇔ (9√3)(abc)^2 ≧ 4(ab+bc+ca)^2 √{s(s-a)(s-b)(s-c)}
⇔ (9√3) sin A sin B sin C ≧ 2 (sin A sin B + sin B sin C + sin C sin A)^2

594
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/08/16 13:54:15  ID:QnvYtidY.net(8)
>592
(HM)^2 ≧(4/√3)S ⇔ (x+y+z)/3 ≧ (xyz)^(1/3)

ラビで一発だった。
コメント4件

595
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/08/16 14:18:02  ID:QnvYtidY.net(8)
>594
いや別の不等式の話でした。
ごめん、あれこれ弄っていて混乱していました。

596
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/08/18 01:02:25  ID:90S02hzN.net(2)
>588-595

HM^2 と (4/√3)S の大小
1辺だけが短い楔状△の場合は不成立のようでござる。

手間取らせて、すまぬ。
コメント2件

597
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/08/18 11:06:43  ID:WHydeLcz.net(8)
>596
さんくす。(a,b,c)=(1/3,1,1)で、HMの方が小さくなりますね。

[疑問] HM ≧ (2/√3)r は成り立つか?

b=c=1、0<a<2でWolfram先生にグラフを書かせたら、0以上っぽいので、基本対称式で表すと、
(HM^2 - 12r)/3 の分子
= 3su^2+s^3t^2-4st^3+8t^2u
= (s^2-3t)st^2 - (t^2-3su)u
= 正 - 正
で、この方法では失敗でござった。
コメント6件

598
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/08/18 12:33:10  ID:WHydeLcz.net(8)
>597
ちがった。最後は
(s^3t^2-4st^3+9t^2u) - (t^2-3su)u
コメント4件

599
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/08/18 17:50:32  ID:WHydeLcz.net(8)
>449>583>586
> a, b, c >0 かつ abc=1 のとき、bc/(1+a) + ca/(1+b) + ab/(1+c) ≧ 3/2

>586
>  1/{a(1+b)}+ 1/{b(1+c)}+ 1/{c(1+a)}≧ 3/(1+abc),
>
>  バルカンMO-2006、文献[9] 佐藤(訳)、問題3.93


似たような不等式を見つけた。
[IMO 1995 第2問] http://www.cs.cornell.edu/~asdas/imo/imo/imo95.html

1/(a^3*(b+c)) + 1/(b^3*(c+a)) + 1/(c^3*(a+b)) ≧ 3/2.
コメント2件

600
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/08/18 18:07:26  ID:WHydeLcz.net(8)
>449>455>583
a, b, c >0 かつ abc=1 のとき、3 > 1/(1+a)+ 1/(1+b)+ 1/(1+c) > 1

上限を厳しく評価するには、どういう考え方でやればいいんでせうか?
コメント6件

601
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/08/18 22:17:20  ID:/k+bKW+I.net(2)
>600
f(x)=1/(1+e^x)
x+y+z=0 なる実数 x, y, z に対して f(x)+f(y)+f(z) の上限を調べればよい
f は x<=0 で狭義凸だから LCF から y=x, z=-2x のときの上限を調べれよばよい
sup 2f(x)+f(-2x) = 2
よって上限は 2
コメント2件

602
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/08/19 03:06:30  ID:HQ7H9Ohy.net(6)
>599
x=1/a、y=1/b、z=1/c とおくと、xyz=1
S = xx/(y+z)+ yy/(z+x)+ zz/(x+y)
≧ (x+y+z)^2 /{(y+z)+(z+x)+(x+y)}  (←コーシー)
=(x+y+z)/2
≧3/2,
 文献[9] 佐藤(訳)例1.4.9

>600
 a,b,… のうち最小のものをmとおきます。(m≦1)
 1より大きい2要素 p,q があったときは
 (p, q)→(m, pq/m)と置き換えてみます。
 このとき相乗平均は変わらず、
 (m + pq/m)-(p+q)= (p-m)(q-m)/m ≧ 0 ゆえ左辺は
 1/(1+m)+ 1/(1+pq/m)- 1/(1+p)- 1/(1+q)
 = (2+m+pq/m)/{(1+m)(1+pq/m)}-(2+p+q)/{(1+p)(1+q)}
 =(2+m+pq/m)/{1+(m+pq/m)+pq}-(2+p+q)/{1+(p+q)+pq}
 = -(pq-1)/{1+(m+pq/m)+pq}+(pq-1)/{1+(p+q)+pq}
 ≧0
増大します。

603
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/08/19 03:14:58  ID:Q+nr/ATk.net(18)
LCF、RCF、LCRCF、SIP、EV、AC(UMV)、GI、GC、SMV…。さっぱり

604
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/08/19 04:32:39  ID:Q+nr/ATk.net(18)
>4 に追加。

Vasile Cirtoaje
http://ac.upg-ploiesti.ro/vcirtoaje/vcirtoaje.php

柳田五夫、初等的な不等式靴曚
http://izumi-math.jp/I_Yanagita/I_Yanagita.html

605
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/08/19 04:33:53  ID:Q+nr/ATk.net(18)
>601-602
ありがとうございまする。

606
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/08/19 05:22:53  ID:Q+nr/ATk.net(18)
Arithmetic Compensation Theorem (AC-Theorem)
Equal Variable Theorem (EV-Theorem)
Half Convex Function Theorem (HCF-Theorem)
Left Concave Function Theorem (LCF-Theorem)
Right Convex Function theorem (RCF-Theorem)
Left Convex-Right Concave Function Theorem (LCRCF-Theorem)
Single Inflection Point Theorem (SIP-Theorem)
Strong Mixing Variables Theorem (SMV-Theorem)

GC-Theorem (文献[8] 安藤 P.197)は何の略?
コメント2件

607
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/08/19 10:17:54  ID:F2dH2OvX.net(2)
>606
AC が arithmetic なんだから GC はgeometric でしょ...

608
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/08/19 13:16:25  ID:HQ7H9Ohy.net(6)
>597 >598

s^3 -4st +9u = a(a-b)(a-c)+ b(b-c)(b-a)+ c(c-a)(c-b),
tt-3su = bc(a-b)(a-c)+ ca(b-c)(b-a)+ ab(c-a)(c-b),
より
(s^3 -4st +9u)tt - (tt-3su)u = P(a-b)(a-c)+ Q(b-c)(b-a)+ R(c-a)(c-b),
ここに
P=a(tt-bbcc),Q=b(tt-ccaa),R=c(tt-aabb),
P,Q,R≧0 かつ(P,Q,R)(a,b,c)は同順序なので Schurの拡張で成立..
コメント4件

609
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/08/19 14:37:54  ID:Q+nr/ATk.net(18)
>608
Schurの拡張について詳しく教えてください。

f : R→(0,∞) が単調増加 or 単調減少のとき、a, b, c∈R に対して、
f(a)(a-b)(a-c) + f(b)(b-c)(b-a) + f(c)(c-a)(c-b) ≧0

というのは知っているけど、この場合は f(x) が f(a,b,c)の3変数関数で、
同順序ならokってのが、ピンと来ない…
コメント2件

610
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/08/19 15:39:17  ID:Q+nr/ATk.net(18)
>600-602
> a,b,c>0, abc=1のとき、1 < 1/(1+a)+ 1/(1+b)+ 1/(1+c) < 2

>583の真似をして上限を出してみたなり。 ( ゚∀゚) ウヒョッ!

1/(1+a)+ 1/(1+b)+ 1/(1+c)
= 1 + (1-ab)/(1+a+b+ab) + 1/(1+c)
< 1 + 1/(1+ab) + 1/(1+c)
= 1 + c/(1+c) + 1/(1+c)
= 2
コメント2件

611
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/08/19 16:13:06  ID:Qk9aUlzH.net(6)
>610
>583
その解き方で本当に上限下限って言えるの?

612
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/08/19 16:34:50  ID:Q+nr/ATk.net(18)
つまり、不等式を証明するだけなら、そのやり方でよいが、上限、下限であることを言うには、
a, b → +0 や a.,b → ∞ を調べて、限界値であることを確認しろってことかな?

613
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/08/19 17:26:48  ID:Qk9aUlzH.net(6)
うん
でもその解き方でもa,b->0考えれば最適であることは言えるかもね

614
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/08/19 17:44:45  ID:Q+nr/ATk.net(18)
>449
(3)下を、Jensen + AMGM で。

f(x) = 1/(a+a^2) は下に凸だから、
左辺
= f(a) + f(b) + f(c)
≧ 3*f( (a+b+c)/3 )
≧ 3*f( (abc)^(1/3) )
= 3*f(1)
= 3/2
コメント2件

615
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/08/19 18:43:45  ID:Qk9aUlzH.net(6)
>614
f は単調増加じゃないから f( (a+b+c)/3 ) >= 3*f( (abc)^(1/3) ) は成り立たない
むしろ逆の不等号が成り立つ

616
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/08/19 20:10:08  ID:Q+nr/ATk.net(18)
たしかに…。うっかりしていました。

617
132人目の素数さん[]   投稿日:2017/08/19 20:33:36  ID:C7tE2SmP.net(2)
不等式を極めるとなんかいいことがある?
コメント2件

618
[sage]   投稿日:2017/08/19 20:35:11  ID:LB3Hl+jp.net(20)

619
[sage]   投稿日:2017/08/19 20:35:29  ID:LB3Hl+jp.net(20)

620
[sage]   投稿日:2017/08/19 20:35:47  ID:LB3Hl+jp.net(20)

621
[sage]   投稿日:2017/08/19 20:36:05  ID:LB3Hl+jp.net(20)

622
[sage]   投稿日:2017/08/19 20:36:22  ID:LB3Hl+jp.net(20)

623
[sage]   投稿日:2017/08/19 20:36:41  ID:LB3Hl+jp.net(20)

624
[sage]   投稿日:2017/08/19 20:36:58  ID:LB3Hl+jp.net(20)

625
[sage]   投稿日:2017/08/19 20:37:14  ID:LB3Hl+jp.net(20)

626
[sage]   投稿日:2017/08/19 20:37:35  ID:LB3Hl+jp.net(20)

627
[sage]   投稿日:2017/08/19 20:38:02  ID:LB3Hl+jp.net(20)

628
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/08/19 22:28:51  ID:HQ7H9Ohy.net(6)
>597 >598

a,b,c が△の辺長の場合は Ravi変換で簡単でござるよ。 >594
b+c-a=A, c+a-b=B, a+b-c=C, a+b+c=A+B+C.

HM = 3abc/(ab+bc+ca)
=(3/2)(A+B)(B+C)(C+A)/{(A+B+C)^2 +(AB+BC+CA)}
≧(4/3)(A+B+C)(AB+BC+CA)/{(4/3)(A+B+C)^2}
=(AB+BC+CA)/(A+B+C)
≧(4√3)S/(a+b+c)
=(2√3)r,

したがって a,b,c>0 で成立するかがミソのようでござる… >608
コメント8件

629
[sage]   投稿日:2017/08/20 03:18:58  ID:vRIJh8/a.net(62)

630
[sage]   投稿日:2017/08/20 03:19:14  ID:vRIJh8/a.net(62)

631
[sage]   投稿日:2017/08/20 03:19:29  ID:vRIJh8/a.net(62)

632
[sage]   投稿日:2017/08/20 03:20:01  ID:vRIJh8/a.net(62)

633
[sage]   投稿日:2017/08/20 03:20:18  ID:vRIJh8/a.net(62)

634
[sage]   投稿日:2017/08/20 03:20:35  ID:vRIJh8/a.net(62)

635
[sage]   投稿日:2017/08/20 03:20:50  ID:vRIJh8/a.net(62)

636
[sage]   投稿日:2017/08/20 03:21:13  ID:vRIJh8/a.net(62)

637
[sage]   投稿日:2017/08/20 03:21:29  ID:vRIJh8/a.net(62)

638
[sage]   投稿日:2017/08/20 03:21:44  ID:vRIJh8/a.net(62)

639
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/08/20 11:39:21  ID:XEX21MRP.net(12)
>628
かたじけない。その証明が難しいので、もう少し時間を。

640
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/08/20 11:40:27  ID:XEX21MRP.net(12)
疑問でござる。

(1)
a, b, c >0 の相乗平均を G とおくとき、a/(b+G) + b/(c+G) + c/(a+G) ≧ 3/2 は成り立つか?

(2)
上式で、右辺の定数をGを含む式に変えられないか? たとえば、3/(1+G) みたいな感じで。

(3)
a, b, c >0、s = a+b+c、t = ab+bc+ca、u = abc に対して、s^3u - t^3 ≧0 は成り立つか?
コメント4件

641
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/08/20 12:03:13  ID:XEX21MRP.net(12)
>640
(3)は(a,b,c) = (1,1,2), (2,2,1) で正負になった。すまぬすまぬ…。

642
[sage]   投稿日:2017/08/20 14:02:17  ID:vRIJh8/a.net(62)

643
[sage]   投稿日:2017/08/20 14:02:34  ID:vRIJh8/a.net(62)

644
[sage]   投稿日:2017/08/20 14:02:51  ID:vRIJh8/a.net(62)

645
[sage]   投稿日:2017/08/20 14:03:09  ID:vRIJh8/a.net(62)

646
[sage]   投稿日:2017/08/20 14:03:26  ID:vRIJh8/a.net(62)

647
[sage]   投稿日:2017/08/20 14:03:44  ID:vRIJh8/a.net(62)

648
[sage]   投稿日:2017/08/20 14:03:59  ID:vRIJh8/a.net(62)

649
[sage]   投稿日:2017/08/20 14:04:19  ID:vRIJh8/a.net(62)

650
[sage]   投稿日:2017/08/20 14:04:36  ID:vRIJh8/a.net(62)

651
[sage]   投稿日:2017/08/20 14:04:54  ID:vRIJh8/a.net(62)

652
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/08/20 18:47:22  ID:XEX21MRP.net(12)
>628
ようやく理解。ところでRavi変換は (b+c-a)/2 = x、… なのでは?

基本対称式を使って、力任せに証明してみた。
a, b, c の基本対称式を s, t, u とおくと、
HM^2 - (2√3*r)^2 = 3{3s(st-u)^2 - 4u(s^2+t)^2}/{s(s^2+t)^2}
分子 = u(s^2t+3su-4t^2) + s^2(st^2-4s^2u+3tu) + 2s^2t(st-9u) ≧0

週末が始まったと思ったら、もう終わっていたでござる… ('A`)
コメント6件

653
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/08/20 18:48:49  ID:XEX21MRP.net(12)
>652
正確には、分子じゃなくて、分子の中括弧の中身。

654
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/08/20 18:56:12  ID:XEX21MRP.net(12)
>652
何度もすまぬ。
Ravi変換 (b+c-a)/2 = x、…をしてから、x, y, z の基本対称式 s, t, u を使ったのでござった。
コメント2件

655
[sage]   投稿日:2017/08/20 22:07:16  ID:vRIJh8/a.net(62)

656
[sage]   投稿日:2017/08/20 22:07:34  ID:vRIJh8/a.net(62)

657
[sage]   投稿日:2017/08/20 22:07:52  ID:vRIJh8/a.net(62)

658
[sage]   投稿日:2017/08/20 22:08:09  ID:vRIJh8/a.net(62)

659
[sage]   投稿日:2017/08/20 22:08:27  ID:vRIJh8/a.net(62)

660
[sage]   投稿日:2017/08/20 22:08:43  ID:vRIJh8/a.net(62)

661
[sage]   投稿日:2017/08/20 22:09:00  ID:vRIJh8/a.net(62)

662
[sage]   投稿日:2017/08/20 22:09:20  ID:vRIJh8/a.net(62)

663
[sage]   投稿日:2017/08/20 22:09:38  ID:vRIJh8/a.net(62)

664
[sage]   投稿日:2017/08/20 22:09:56  ID:vRIJh8/a.net(62)

665
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/08/20 22:50:23  ID:mA3fdDEU.net(4)
>609
〔Schur 不等式の拡張〕
P,Q,R≧0 かつ(P,Q,R)(a,b,c)が同順または逆順ならば
 P(a-b)(a-c)+ Q(b-c)(b-a)+ R(c-a)(c-b)≧ 0.

(略証)
bはa,cの中間にあるとしてよい。
 (a-b)(b-c)≧ 0
題意より、P,Q,R≧0 かつ QはP,Rの中間にあるから、
 P-Q+R ≧0
これらより、
 P(a-b)(a-c)+ Q(b-c)(b-a)+ R(c-a)(c-b)
= P(a-b)^2 +(P-Q+R)(a-b)(b-c)+ R(b-c)^2
≧ 0, (終)

いろいろな拡張があり、まとめて Vornicu−Schur 不等式と云うらしい。

詳しくは、ニコニコ大百科の「シューアの不等式」の項を参照


>640
(1) >449(1)と同じでつ。
(2)同次式ゆえ、定数でつ。


>654
それなら、>652>628 と同じでつね。
コメント2件

666
[sage]   投稿日:2017/08/20 23:01:59  ID:vRIJh8/a.net(62)

667
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/08/20 23:03:56  ID:mA3fdDEU.net(4)
>617
専門バカになるでござる。

(ただし、専門を持たぬ只のバカよりは、すこーしマシである。)
コメント2件

668
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/08/21 09:09:30  ID:QiJqP8rB.net(6)
>628

a,b,c が△の辺長でない場合も簡単でござるよ。

A+B=2c≧0,B+C=2a≧0,C+A=2b≧0,
∴ A,B,Cのうち負となるのは1つだけ。
∴ HM^2 ≧ 0 ≧ 3ABC/(A+B+C),

669
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/08/21 17:53:20  ID:8ztbkIZ8.net(2)
a, b, c >0 かつ abc≧1 のとき、

(1) [2004 ウクライナ、 文献 [9] 佐藤(訳)P.139]
 a^3 + b^3 + c^3 ≧ ab+bc+ca

(2) [2006.3 エレ解、一松信]
 a^2b + b^2c + c^2a ≧ ab+bc+ca

(3) [疑問]
上の左辺 a^3 + b^3 + c^3 と a^2b + b^2c + c^2a の大小は定まるのか?
巡回不等式に有効な手段って何? 真ん中の数を固定して場合分けくらいかな?
コメント6件

670
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/08/21 22:19:47  ID:QiJqP8rB.net(6)
>669
(abc)^(1/3) = G とおき、AM-GM する。

(1)
 a^3+a^3+b^3 -3aab = (2a+b)(a-b)^2 ≧ 0
 ゆえ、(2)に帰着する。


(2) aab+aab+bbc ≧ 3aG,
 巡回的にたす。


(3) Muirheadの不等式
コメント4件

671
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/08/21 22:26:23  ID:QiJqP8rB.net(6)
>669
 >670 の訂正

(2) aab + aab + bbc ≧ 3abG
でござった。

(3) 非対称のときは微妙な場合もあるが、この場合は成立つでござる。

672
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/08/21 22:55:53  ID:qV/a4a+5.net(2)
>670
(3)muilheadで出来ると?

673
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/08/22 00:50:18  ID:fGEhoquB.net(16)
>2 安藤 [8] に著者のHPのリンクを追加 (まとめwikiは更新済み)
http://www.math.s.chiba-u.ac.jp/~ando/ (著者のページに正誤表+補遺)

Muirhead's inequality は難しくて、>1のまとめwikiを見たけど挫折。
その後、>2 安藤 [8] PP.11-14を読んで、なんとか証明は辿れたけど、
簡単な例を作るなどで練習していないから、全く使いこなせない。 ← 今ココ

今が勉強するときなのかもしれないなあ。

  ( ゚д゚ ) ガタッ
  .r   ヾ
__l_l / ̄ ̄ ̄/_
  \/    /

674
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/08/22 00:57:31  ID:fGEhoquB.net(16)
古いmemoを見つけたので、紛失する前に書き込んでおく。
証明は簡単だけど、見た目がよかったので。

〔出典不明〕
A(a,b) = (a+b)/2、G(a,b) = √(ab)、A(a,b,c) = (a+b+c)/3 などと書くことにする。
正の数 a, b, c, d に対して、
A(a,b,c,d) ≧ G(A(a,b,c),A(b,c,d),A(c,d,a),A(d,a,b)) ≧ G(A(a,b).A(a,c).A(a,d).A(b,c).A(b,d).A(c,d).) ≧ G(a,b,c,d)
コメント2件

675
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/08/22 13:46:51  ID:yCSUoaY7.net(2)
>674
[第6章.151-159]の辺りにござる。

G(A(a,b,c), A(b,c,d), A(c,d,a), A(d,a,b))^4
= (a+b+c)(b+c+d)(c+d+a)(d+a+b)/81
= (sst -su +v)/81,

G(A(a,b), A(a,c), A(a,d), A(b,c), A(b,d), A(c,d))^6
= (a+b)(a+c)(a+d)(b+c)(b+d)(c+d)/64
= (stu -ssv -uu)/64,

A(ab, ac, ad, bc, bd, cd)
= (ab+ac+ad+bc+bd+cd)/6
= t/6,

A(abc, bcd, cda, dab)
= (abc+bcd+cda+dab)/4
= u/4,

676
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/08/22 15:23:36  ID:fGEhoquB.net(16)
>669(3)
(a^2, b^2, c^2) と (a,b,c) は大小の順が同じだから、
『同順序積の和 ≧ 乱順序積の和 ≧ 逆順除籍の和』 で、
a^3 + b^3 + c^3 ≧ a^2b + b^2c + c^2a
で問題ない蟹?

677
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/08/22 18:38:27  ID:fGEhoquB.net(16)
(1) [1999 Russia]
a, b, c >0 に対して、1 + 3/(ab+bc+ca) ≧ 6/(a+b+c)

(2) [1999 Russia]
a, b, c >0、abc=1 に対して、1 + 3/(a+b+c) ≧ 6/(ab+bc+ca)

(3) [不明]
a, b, c >0、abc=1 に対して、2/(a+b+c) + 1/3 ≧ 3/(ab+bc+ca)
コメント18件

678
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/08/22 18:49:45  ID:fGEhoquB.net(16)
(1) [出典不明]
a, b, c, d >0、abcd=1 とする。
1/(1+ab+bc+ca) + 1/(1+bc+cd+db) + 1/(1+cd+da+ac) + 1/(1+da+ab+bd) ≦ 1

[疑問]
1/(1+ab+bc+cd) + 1/(1+bc+cd+da) + 1/(1+cd+da+ab) + 1/(1+da+ab+bc) だと、どうなるのだろう?
コメント2件

679
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/08/22 18:56:05  ID:fGEhoquB.net(16)
以下、a, b, c >0、abc=1 とする。いずれも出典不明

(1)
(a+b)(b+c)(c+a) + 7 ≧ 5(a+b+c)

(2)
(a+b+c)/3 ≧ {(a^2+b^2+c^2)/3}^(1/5)

(3)
(a-1)/b + (b-1)/c + (c-1)/a ≧ 0

(4)
(a-1)/(b+c) + (b-1)/(c+a) + (c-1)/(a+b) ≧ 0

(5)
(a/c)^2 + (b/a)^2 + (c/b)^2 ≧ 2(a-b)(b-c)(c-a) + 3
-----------------------------------

未整理のmemoの中で abc=1、abcd=1 のタイプは片付いたかも…。

          r〜〜〜〜〜〜〜〜〜
   __    _ノ きりがないでござる・・・
  /__  `ヽ_ ⌒ヽ〜〜〜〜〜〜〜〜〜
  |〈___ノf レ1(
 ,L| しL.し'゙"
 "`  "′
コメント22件

680
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/08/22 19:09:30  ID:fGEhoquB.net(16)
[おまけ]
友愛数みたいな関係でござるな。

(1)
a, b, c >0、a+b+c=3 のとき、a^2 + b^2 + c^2 + abc ≧ 4.

(2)
a, b, c >0、a^2 + b^2 + c^2 + abc = 4 のとき、a+b+c ≦3.
コメント2件

681
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/08/22 21:17:04  ID:fGEhoquB.net(16)
>679
(5) やはり巡回式は全く手が出ない…
コメント2件

682
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/08/23 17:00:04  ID:edu8Brze.net(4)
>667
(1)
1 -6/s +3/t =(1 -3/s)^2 + 9/(3t)- 9/ss ≧ 0,  (ss≧3t)

(2)
1 -6/t +3/(su)=(1 -3/t)^2 + 9/(3su)- 9/tt ≧ 0,  (tt≧3su)

(3)
a=b<c のとき不成立(a=b≧c では成立)でござる。
コメント2件

683
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/08/23 17:04:32  ID:edu8Brze.net(4)
>680
(1)題意より
(左辺)= s(ss-2t)/3 + u
 ={4s^3 + 3(s^3 -4st+9u) + 2(ss-3t)}/27
 ≧(4/27)s^3
 = 4,
セビリアMO-2008改
佐藤(訳)、[9] 問題3.118


(2)
題意より、0<a〜c<2、
(3-a-b-c)(3+a-b-c+bc)=(4-aa-bb-cc-abc)+ 1 -(2-b)(2-c)(b+c-1)
≧ 1 -(2-b)(2-c)(b+c-1)≧0
∵ b+c-1>0 のとき、AM-GMで(2-b)(2-c)(b+c-1)≦1
イランMO-2002、A.16

>682 (3)
不等号が逆でござった。

684
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/08/23 22:42:04  ID:6dHoZEIo.net(4)
>679
>681

(3)
a=y/x, ... とおくだけ

(5)
x=b/a, ..., f(x, y, z)=LHS-RHSとおくと
f(x, y, z) - f(t, t, t) = 3/4 * (x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx) >= 0 where t = (x+y+z)/3
よって x = y = z = 1 のとき示せばよいがこれは明らか

685
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/08/23 23:35:42  ID:6dHoZEIo.net(4)
>678
両方とも逆数考えればいい

686
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/08/24 00:19:32  ID:9N+3FV4m.net(6)
>677
(1)
1 -6/s +3/t =(1 -3/s)^2 + 9/(3t)- 9/ss ≧ 0,  (ss≧3t)

(2)
1 -6/t +3/(su)=(1 -3/t)^2 + 9/(3su)- 9/tt ≧ 0,  (tt≧3su)

(3)
成り立ったでござる。死んでお詫びを…(AA略

687
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/08/24 01:23:07  ID:9N+3FV4m.net(6)
>679

(2)
ss =(aa+bb+cc)+ t + t,
s^6 ≧{(aa+bb+cc) +t +t}^3
 ≧ 27(aa+bb+cc)tt
 ≧ 81(aa+bb+cc)su,
∴(s/3)^5 ≧{(aa+bb+cc)/3}u,

〔補題196〕
 (8/27)(a+b+c)^5 ≧ (a+b)(b+c)(c+a)(a+b+c)^2 ≧ 24abc(aa+bb+cc),
を使う。(じゅー)


(4)
チェビシェフで,
箔ッ順序積 ≧ 迫随?マ,
(左辺)≧(1/3)(a+b+c-3){1/(b+c)+1/(c+a)+1/(a+b)}≧0,
コメント8件

688
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/08/24 03:22:45  ID:rYRHhAcs.net(2)
>687
> 〔補題196〕
>  (8/27)(a+b+c)^5 ≧ (a+b)(b+c)(c+a)(a+b+c)^2 ≧ 24abc(aa+bb+cc),

左側はアッサリ、右側はサッパリ…。

8(a+b+c)^3 - 27(a+b)(b+c)(c+a) = 3(s^3-4st+9u) + 5s(s^2-3t) ≧ 0

(a+b)(b+c)(c+a)(a+b+c)^2 - 24abc(aa+bb+cc) = s^3t - 25s^2u +48tu

--------------------------------------------------

ついでに、過去ログ漁っていて出てきたやつですが、すっきりした証明ができませぬ。
[第6章.908]
a,b,c>0のとき、{(a+b+c)(ab+bc+ca)}^2≧27abc(a^3+b^3+c^3),

{(a+b+c)(ab+bc+ca)}^2 - 27abc(a^3+b^3+c^3)
= s^2t^2 - 27s^3u + 81stu - 81u^2

次数が上がると、s, t, u の不等式のどれを組み合わせるか難しくなる。
コメント4件

689
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/08/24 10:30:59  ID:9N+3FV4m.net(6)
>688

〔補題196〕の略証
チョト難しいのでSchurの拡張で。
bはa、cの間にあるとする。
(左辺)-(右辺)= P(a-b)(a-c)+ Q(b-c)(b-a)+ R(c-a)(c-b)
 = P(a-b)^2 +(P-Q+R)(a-b)(b-c)+ R(b-c)^2,
P =(b+c)(b+c-a)^2 + 2(a+b+c)(b-c)^2 ≧ 0,
P-Q+R = 2b{(a+c)^2 -6ac+3bb}= 2b{(a+c-3m)^2+3(bb-mm)}≧ 0,
R =(a+b)(a+b-c)^2 + 2(a+b+c)(a-b)^2 ≧0,
ここに、m = min{a,c}、ac=m(a+c-m)

-----------------------------ーーーーーーーーーーーーーーーーーーー--------------------
[第6章.908]の略証

S = aaa+bbb+ccc, T =(ab)^3+(bc)^3+(ca)^3,
p = aab+bbc+cca, q = abb+bcc+caa, u=abc とおく。
pq = T+uS+3uu ≧ 3u(3ST)^(1/3)≧ 3u√(3Su)より、
(左辺)={(a+b+c)(aa+bb+cc)}^2 =(S+p+q)^2 ≧ 9(Spq)^(2/3)≧ 27Su,

Casphy!-不等式2-177 じゅー
コメント4件

690
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/08/25 00:31:48  ID:oetrvUQn.net(6)
>677 (3)
 st +6Gt -9GGs ≧ 0,

>679 (1)
st +6u -5GGs ≧ 0,

の特効薬は無いでござるか?(G=(abc)^(1/3))

3次方程式
 X^3 -sX^2 +tX -u=0
の判別式は
 27^2 = 27{(a-b)(b-c)(c-a)}^2
= 4(ss-3t)^3 - (2s^3 -9st +27u)^2
 =(st-9u)^2 -4(t^3 +s^3・u +27uu -9stu)
 =(st+9u)^2 -4(t^3 +s^3・u +27uu)
 =(st+6GGs +6Gt +9u)^2 -4(t +Gs +3GG)^3,
3つの実根 a,b,c をもつときは
 st+6GGs+6Gt+9u ≧ 2(t+sG+3GG)^(3/2),
と思われるが、さて…
コメント10件

691
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/08/25 01:15:11  ID:3FtU8w0T.net(4)
>679
>690
f(a, b, c)=LHS-RHS, a>=c>=b とすると
f(a, b, c)- f(a, t, t) = 1/4 *(2a-b-c) >= 0 where t = (b+c)/2
f(a, b, c) - f(ab, c, 1) = (a-1)(1-b)(c^2+abc+ab+bc+ca+c-5) >=0
よって a = b = c = 1 のとき調べればよいが明らか
コメント2件

692
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/08/25 01:21:08  ID:3FtU8w0T.net(4)
>691
二個目の不等式成り立たないや

693
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/08/25 04:26:49  ID:Yhp4f37o.net(4)
>690
f(X) = X^3 -sX^2 +tX -u
f'(X) = 3X^2 - 2sX + t

AN-GMより f'(X)の判別式 D/4 = s^2-3t ≧0
f'(X)=0の解α,βは、α+β, αβ>0 より、α,β>0
また f(0)=-u<0

グラフを考えると、f(X)=0が正の解a, b, cをもつ条件は f(α)f(β)≦0
f(α)f(β) = -(s^2t^2 - 4s^3u +18stu - 4t^3 -27u^2) ≦0
∴ s^2t^2 - 4s^3u +18stu - 4t^3 -27u^2 ≧0

残念無念…
s, t, u に関する既知の不等式が出てきただけでござった。
s^2t^2 - 4s^3u +18stu - 4t^3 -27u^2 = {(a-b)(b-c)(c-a)}^2

  ('A`) ,..;:〜''"
 ノ( ヘヘ ,,.、;;:〜'''

694
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/08/25 17:27:20  ID:oetrvUQn.net(6)
>677 (3) が成立つとする。
 2/s + 1/3 ≧ 3/t,
または
 t ≧ 9s/(s+6),
一方、9ss -(s+6)(5s-6)= 4(s-3)^2 ≧ 0 より
 9s/(s+6)≧(5s-6)/s,
したがって
 t ≧(5s-6)/s,
または
 st + 6 ≧ 5s  >679(1)

それぢゃ、>677(3)はどうするか?
コメント4件

695
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/08/25 19:30:02  ID:Yhp4f37o.net(4)
Schur's inequality を対称性を崩さずに証明するときの以下の変形は、どうやって思いつくんでしょうか?

F_1 = xy(x+y)(x-y)^2/{(y+z)(z+x)} + yz(y+z)(y-z)^2/{(z+x)(x+y)} + zx(z+x)(z-x)^2/{(x+y)(y+z)}

F_2 = {(x+y-z)2(x-y)^2 + (y+z-x)2(y-z)^2 + (z+x-y)2(z-x)^2 }/2
コメント4件

696
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/08/25 22:34:00  ID:oetrvUQn.net(6)
>695

>665 にある文献か

Casphy! - highmath - 不等式2 - 175(じゅー)

をサンショウウオ

697
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/08/26 01:33:14  ID:MEky4IFO.net(4)
[疑問1]
Schur's inequality を対称性を崩さずに証明できるのは、n=0,1,2,3 以外には知られていないのかな?
検索の仕方が下手なのか見当たらんでござる。

[疑問2]
>677のように、同次でない不等式の証明で、お決まりのテクニックって何じゃらほい?
条件式を使って無理やり同時にして、基本対称式の不等式を利用するくらいしか思いつかないけど、
この問題では、条件式を使っても3乗根が現れて大変だし…
コメント2件

698
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/08/26 02:00:02  ID:a5WQhO5r.net(6)
>695 >697 [1]
拙者にも分かりませぬ。
F_(n+3)=(x+y+z)F_(n+2)-(xy+yz+zx)F_(n+1)+ xyz F_n
では対称性は崩れませぬが、うまく証明できるのか疑問だし。
コメント4件

699
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/08/26 02:32:02  ID:MEky4IFO.net(4)
>698
> F_(n+3)=(x+y+z)F_(n+2)-(xy+yz+zx)F_(n+1)+ xyz F_n

ちょうど今、その等式を導いたとこでござる。
それから F_1 を対称性を保つように変形中に次式が出てきて、Wolfram先生に確認してもらった。

F_1
= (1/2){(x^2+y^2-z^2)(x-y)^2 + (y^2+z^2-x^2)(y-z)^2 + (z^2+x^2-y^2)(z-x)^2}
= (1/2){(x+y-z)^2(x-y)^2 + (y+z-x)^2(y-z)^2 + (z+x-y)^2(z-x)^2}

しかし、ここから (結果を知らずに) 次式に変形する方法が思いつかない。

F_1 = xy(x+y)(x-y)^2/{(y+z)(z+x)} + yz(y+z)(y-z)^2/{(z+x)(x+y)} + zx(z+x)(z-x)^2/{(x+y)(y+z)}

700
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/08/26 15:31:34  ID:a5WQhO5r.net(6)
>698
3F_2 = 2(x+y+z)F_1 +{(x+y+z)^2 -4(xy+yz+zx)}F_0,
を使うと
F_3 =(xx+yy+zz)F_1 - 2xyzF_0
となるが、その後が…

700げとー
コメント2件

701
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/08/26 16:54:34  ID:a5WQhO5r.net(6)
>700

P=p(z-y), Q=q(x-z), R=r(y-x), p+q+r=0 のとき
 P(x-y)(x-z)+ Q(y-z)(y-x)+ R(z-x)(z-y)
 =(p+q+r)
 = 0,
ここに=(x-y)(y-z)(z-x),

例 p=z-y,q=x-z,r=y-x のとき P=pp、Q=qq、R=rr.

702
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/08/27 00:28:26  ID:NetfQ0ow.net(16)
>677 (3) >690 >694

・t≧9 のときは明らか。

・3≦t≦9 のとき。

24tt -(9-t)(t^3 +9u)= t(t-3)^3 + 3(9-t)(t-3)≧ 0,

(9-t)/3t ≦ 8t/(t^3 +9u),

(左辺)-(右辺)=(2/s + 1/3)- 3/t
 = 2/s - (9-t)/3t
 ≧ 2/s -8t/(s^3 +9u)
 = 2(s^3 -4st +9u)/{s(s^3 +9u)}
 = 2F_1(x,y,z)/{s(s^3 +9u)}
 ≧ 0,
コメント2件

703
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/08/27 00:47:52  ID:NetfQ0ow.net(16)
>677 (3) >690 >694

・t≧9 のときは明らか。

・3≦t≦9 のとき。

24tt -(9-t)(t^3 +9uu)= t(t-3)^3 +3(9-t)(t-3)≧ 0,

(9-t)/3t ≦ 8t/(t^3 +9uu),

(左辺)-(右辺)=(2/s + 1/3)- 3/t
 = 2/(su) - (9-t)/3t
 ≧ 2/(su) -8t/(t^3 +9uu)
 = 2(t^3 -4stu +9uu)/{su(t^3 +9uu)}
 = 2uu・F_1(1/x,1/y,1/z)/{s(t^3 +9uu)}
 ≧ 0,
コメント4件

704
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/08/27 01:08:20  ID:NetfQ0ow.net(16)
>679 (1) >690

・t≧5 のときは明らか。

・3≦t≦5 のとき、

24t -(5-t)(t^3 +9uu)=(t-3)^4 +7(t-3)^3 +9(t-3)^2 +6(t-3)≧0,

5-t ≦ 24t/(t^3 +9uu),

(左辺)-(右辺)= 6 -(5-t)s
 ≧ 6 -24st/(t^3 +9uu)
 = 6(t^3 -24stu +9uu)/(t^3 +9uu)
 = 6u^3・F_1(1/x,1/y,1/z)/(t^3 +9uu)
 ≧ 0,
コメント8件

705
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/08/27 02:24:43  ID:NetfQ0ow.net(16)
>702 は大間違いです。

706
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/08/27 10:23:54  ID:NetfQ0ow.net(16)
>703 >704
 
t^3 -4stu +9uu = u^3・F_1(1/x,1/y,1/z)= uu・F_{-2}(x,y,z)

={(z^5)(xx-yy)^2 + (x^5)(yy-zz)^2 +(y^5)(zz-xx)^2}/{(x+y)(y+z)(z+x)}

≧0

を使いますた。
コメント6件

707
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/08/27 16:11:26  ID:NetfQ0ow.net(16)
>677

佐藤(訳):文献[9]、演習問題1.86

u=1 のときは(s,t)を入れ換えても成り立つ。(duality)
コメント2件

708
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/08/27 16:26:59  ID:NetfQ0ow.net(16)
>388 (5) >450

〔Hlawkaの不等式〕を拡張…
r≧1 のとき
 K(r){|a|^r +|b|^r +|c|^r +|a+b+c|^r}≧|a+b|^r +|b+c|^r +|c+a|^r,

ここに K(r)は
 1≦r≦2 のとき、K(r)=(2^r)/{1+3^(r-1)},
 2≦r のとき、K(r)= 2^(r-2),

 kurims 講究録-1136-11 p.90-95 (2000) Theorem 2


>449 (2)
 佐藤(訳):文献[9]、演習問題1.43、問題3.67
 (1+ab)(1+a)= ab(1+c)/(1+a), など。
 AM-GMする。


>453
 佐藤(訳):文献[9]、演習問題1.61
 x^3 +x^3 +y^3 ≧ 3xxy, (AM-GM)より
 x^3 +y^3 +z^3 ≧ xxy + yyz + zzx,
 (x,y,z)=(a,b,c)と(x,y,z)=(ab,bc,ca)をたす。
コメント4件

709
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/08/27 20:32:51  ID:u/VQjdir.net(2)
>689
> 〔補題196〕の略証
> (左辺)-(右辺)= P(a-b)(a-c)+ Q(b-c)(b-a)+ R(c-a)(c-b)

この形に変形するのって、ものすごく大変なんじゃないん?
コメント2件

710
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/08/27 23:16:42  ID:NetfQ0ow.net(16)
>709
その通り。
(a,b,c)=(1,1,1)以外に(1,1,2)(1,2,1)(2,1,1)でも等号が成立するから、チョト難しい。
他に使えそうな方法は無いか?

711
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/08/28 00:00:38  ID:4VsD2YTN.net(6)
>708
 解答も訂正。

>453
チェビシェフ(または AM-GM)で
 a^3 +b^3 +c^3 ≧ aab + bbc + cca = (a/c + b/a + c/b)u,
 (ab)^3 +(bc)^3 +(ca)^3 ≧ ab(bc)^2 + bc(ca)^2 + ca(ab)^2 = (b/a + c/b + a/c)uu,
辺々たす。

712
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/08/28 01:54:30  ID:4VsD2YTN.net(6)
>679 (5)

a/c=y, b/a=z, c/b=x とおくと xyz=1.
(a-b)(b-c)(c-a)/abc =(a/b +b/c +c/a)-(c/b +a/c +b/a)=(xy+yz+zx)-(x-y-z),

(左辺)-(右辺)=(xx+yy+zz)-2(xy+yz+zx)+2(x-y-z)-3
=(x+y+z)^2 -4(xy+yz+zx)+2s -3
={F_1(x,y,z) -9xyz}/s +2s -3
= F_1(x,y,z)+(2s+3)(s-3)/s
≧0,   (s=x+y+z≧3)
コメント2件

713
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/08/28 03:43:27  ID:Xt3/xWpv.net(10)
(1) a, b, c>0 に対して、(a+b+c)^5 ≧ 81abc(a^2+b^2+c^2)
(2) a, b, c>0 に対して、(a+b+c)^6 ≧ 27(a^2+b^2+c^2)(ab+bc+ca)^2

AOPS:https://artofproblemsolving.com/community/c6h1282022p6753168

[疑問1]
(1)の証明について、

(a+b+c)^3 - 3(a+b)(b+c)(c+a) = s^3 - 3(st-u) = s(s^2-3t) + 3u >0
∴ (a+b+c)^3 > 3(a+b)(b+c)(c+a) ---(A)

>687 〔補題196〕 の右側
(a+b)(b+c)(c+a)(a+b+c)^2 ≧ 24abc(a^2+b^2+c^2) ---(B)

(A),(B)から、
(a+b+c)^3 *(a+b+c)^2 > 3(a+b)(b+c)(c+a)*(a+b+c)^2 ≧ 3*24abc(a^2+b^2+c^2)

等号が成り立たなくなるが、実際は例えば、a=b=c のときに等号が成り立つ。
このやり方は、何か間違っているのかな?

A≧B を証明するときに、途中に式を挟んで A≧C、C≧B を証明することがあるけど、
A=C かつ C=B から出した等号成立条件が、A=Bの等号成立条件と一致しないことがあるのは仕方のないことなのかな?
(具体例がすぐには出てこないけど、絶対値の入った不等式の証明とかで、なったことがある)

[疑問2]
(2)の証明が分かりませぬ…。
(1)を次のように証明して、そのコメントに、「コーラを飲んだらゲップが出るくらい明らか(嘘訳)」
と書いてあるけど、ピンときませぬ…。

(a+b+c)^6 ≧ 27(a^2+b^2+c^2)(ab+bc+ca)^2 ≧ 81abc(a^2+b^2+c^2)
コメント6件

714
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/08/28 06:21:36  ID:Xt3/xWpv.net(10)
>689
Q = (c+a)(c+a-b)^2 + 2(a+b+c)(c-a)^2 ですよね?
コメント2件

715
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/08/28 06:30:48  ID:Xt3/xWpv.net(10)
>688-689
> (a+b)(b+c)(c+a)(a+b+c)^2 ≧ 24abc(aa+bb+cc)
>
> bはa、cの間にあるとする。
> (左辺)-(右辺)
> = P(a-b)(a-c)+ Q(b-c)(b-a)+ R(c-a)(c-b)
> = P(a-b)^2 +(P-Q+R)(a-b)(b-c)+ R(b-c)^2,
>
> P =(b+c)(b+c-a)^2 + 2(a+b+c)(b-c)^2 ≧ 0,
> P-Q+R = 2b{(a+c)^2 -6ac+3bb}= 2b{(a+c-3m)^2+3(bb-mm)}≧ 0,
> R =(a+b)(a+b-c)^2 + 2(a+b+c)(a-b)^2 ≧0,
> ここに、m = min{a,c}、ac=m(a+c-m)


Q = (c+a)(c+a-b)^2 + 2(a+b+c)(c-a)^2 として、P-Q+R を計算したら、

P-Q+R = 2b{(a+c)^2 -6ac+3bb} + 8(c+a){(c-a)^2 + ca}

となったけど、計算合っているか確認おねがいしますだ。
コメント2件

716
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/08/28 06:52:45  ID:Xt3/xWpv.net(10)
>715
ごめん。私の計算違いでした。

       ヘ))∧
      (゚ ∀゚ )
     ノ || y / ヽ 切腹しまつ
  ━(m二フ⊂[__ノ、
     (_(__ノ

717
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/08/28 11:53:15  ID:4VsD2YTN.net(6)
>712 の訂正
× (x-y-z)
○ (x+y+z)


>713

[疑問1]
 (1)は >679 (2)ですね。
 >687 を参照。
 あえて難しい〔補題196〕を使う必要は無かったですね。

[疑問2]
 >687 を参照。
 (2)と(ab+bc+ca)^2 ≧ 3abc(a+b+c) から(1)を出します。

>714
 そうです。

718
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/08/28 21:24:09  ID:fpou6rxt.net(2)
>713
(1)
A >= 81B という不等式を示すのに A > 72B という不等式を示しても何も意味がない
より雑な不等式にしてるんだから等号が成立しなくなるのは必然

[疑問1]
A >=C, C >=B の両方の等号成立条件を合わせたものが A >= B の等号成立条件

(2)
因数分解が一番簡単

[疑問2]
uvw で右側の不等式は明らか
(おそらく AoPS での解き方はこれ)
コメント2件

719
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/08/28 22:03:31  ID:Xt3/xWpv.net(10)
>718
なんと! 因数分解できるとは…

(a+b+c)^6 - 27(a^2+b^2+c^2)(ab+bc+ca)^2
= (a^2 + b^2 + c^2 + 8ab + 8bc + 8ca)(a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca)^2


UVW-method って、これのことですか?
https://brilliant.org/wiki/the-uvw-method/
コメント2件

720
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/08/28 22:42:48  ID:sqcQ/xXt.net(2)
>719
それだよ
wikiがあったんだ
aopsにあるもとの記事読んでもいいと思うけど

721
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/08/29 01:52:29  ID:QmBHjFut.net(20)
a, b, c >0 に対して、AM + 3*HM ≧ 5*GM/{16^(1/3)}.
コメント8件

722
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/08/29 03:10:07  ID:QmBHjFut.net(20)
>69 (1)、>713 (1)
> a, b, c>0 に対して、(a+b+c)^5 ≧ 27(ab+bc+ca)(ab^2 + bc^2 + ca^2)
> a, b, c>0 に対して、(a+b+c)^5 ≧ 81abc(a^2 + b^2 + c^2)

改造手術の時間でござるよ。 右辺の大小は定まるのでせうか?

27(ab+bc+ca)(ab^2 + bc^2 +ca^2) = 27abc * (ab+bc+ca)(a/b + b/c + c/a)
         81abc(a^2+b^2+c^2) = 27abc * 3(a^2 + b^2 + c^2)

だから、(ab+bc+ca)(a/b + b/c + c/a) と 3(a^2 + b^2 + c^2) の大小が定まれば…。

(ab+bc+ca)(a/b + b/c + c/a) ≧ (a+b+c)^2 ≧ 3(ab+bc+ca) ≦ 3(a^2 + b^2 + c^2)

適当にやっても、うまく行かんでござる…

 ..::::::,、_,、::: ::::: ::: : 
  /ヨミ゙ヽ)-、. :: ::::
─(ノ─ヽ.ソ┴─
コメント2件

723
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/08/29 03:22:58  ID:QmBHjFut.net(20)
a, b, c >0 の基本対称式 s, t, u で、曲者を縛るでござる。 (曲者 = a/b + b/c + c/a)

(ab+bc+ca)(a/b + b/c + c/a) ≧ (a+b+c)^2
a(a-b)^2 + b(b-c)^2 + c(c-a)^2 = s^3 - 2st - 3u(a/b + b/c + c/a) ≧ 0

∴ s(s^2-2t)/(3u) ≧ a/b + b/c + c/a ≧ s^2/t

これしか思いつきませぬ…。 他にないでござるかな?

724
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/08/29 03:49:39  ID:1JAWO9sa.net(6)
>721

A + 4H =(A/2) +(A/2)+ 4H
≧ 3(AAH)^(1/3)  (← AM-GM)
= 3{(s/3)(s/3)(3u/t)}^(1/3)
≧ 3u^(1/3)   (← ss≧3t)
= 3G      (← Sierpinski)
を使うのが簡単かと...

A + 3H > (2/3)(A+4H)≧ 2G >{5/16^(1/3)} G
コメント8件

725
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/08/29 04:41:59  ID:QmBHjFut.net(20)
>721>724
出典を再発見。 (大量のブックマークの中から探すのに苦労したでござる)
https://math.stackexchange.com/questions/1806146/prove-fracxyz3-frac3-frac1x...;lq=1

斜め読みしたけど、何をやってるのかサッパリでござる ('A`)


>724
分かりやすい!
でも、この方法では等号がつかないですね。

726
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/08/29 05:25:02  ID:QmBHjFut.net(20)
>721>724
ごめん、リンク先の問題をよく見たら、問題が間違っていました。

正しくは、 「a, b, c >0 に対して、AM + HM ≧ 5*GM/{16^(1/3)}」 でした。
コメント6件

727
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/08/29 05:44:11  ID:QmBHjFut.net(20)
>721 再掲
a, b, c >0 に対して、AM + HM ≧ 5*GM/{16^(1/3)}

>724 の方法を真似てみたが、うまくいかなかった。

A + H
=(A/2) +(A/2)+ H
≧ 3(AAH/4)^(1/3)    …(1)
= 3{(ss/(3t))*(u/4)}^(1/3)
≧ 3{(u/4)}^(1/3)    …(2)
= 3G/{4^(1/3)}

(1)の等号は A=2H、(2)の等号は a=b=c で異なるから、
A+H > 3G/{4^(1/3)}

問題の右辺と較べたら、5/16^(1/3)} > 3/{4^(1/3)} でした。
コメント4件

728
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/08/29 09:12:22  ID:QmBHjFut.net(20)
【問題】
xyz座標平面において、次の不等式で表される立体の体積を求めよ。
 |x+y+z| + |-x+y+z| + |x-y+z| + |x+y-z| ≦ 4

検索中に、どこかで見たことのある問題を見つけた。
しばらく検索したものの、出典は分からず…。
コレクションに入っているかと探したが、そこにもなかった。

これが、どんな立体図形になるのかも分かりませぬ ('A`)ヴォエァ!
コメント6件

729
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/08/29 09:27:12  ID:QmBHjFut.net(20)
>679 (1) について

問題再掲
a, b, c >0、abc=1 に対して、(a+b)(b+c)(c+a) + 7 ≧ 5(a+b+c).

解答
>704>706

うますぎて、思いつきませぬ。
以下のような泥臭い方法で考えていたんだけど、行き詰まったでござる。

左辺 - 右辺 の最小値を考える。
abc=1 があるので、実質2文字の関数で、一方を任意に固定して、一変数関数で考えて出せないかと。
コメント2件

730
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/08/29 10:12:25  ID:PqzL+0/+.net(2)
>728
立方八面体
http://imgur.com/a/jNHOt

731
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/08/29 11:45:47  ID:1JAWO9sa.net(6)
>728
|a+b|+|a-b|= 2 Max{|a|,|b|}を使うと、
(左辺)= Max{4|x|,4|y|,4|z|,2|x+y+z|,2|-x+y+z|,2|x-y+z|,2|x+y-z|}

|x|≦1
|y|≦1
|z|≦1
|x+y+z|≦2
|-x+y+z|≦2
|x-y+z|≦2
|x+y-z|≦2
の14面で囲まれた立方八面体でござる。


>729
t^3 -4stu +9uu ≧ 0,  >706
s = a+b+c ≦ (t^3 +9uu)/4tu
u = abc = 1
を使って sとu を消し、t=ab+bc+ca だけの関数で考えて出したのが >704
コメント2件

732
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/08/29 14:01:31  ID:1JAWO9sa.net(6)
>726 >727
等号成立は(x、y、z)=λ(1,4,4) and cyclic shift
という所がミソ
コメント4件

733
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/08/29 17:18:34  ID:QmBHjFut.net(20)
>731
> t^3 -4stu +9uu ≧ 0,  >706
> s = a+b+c ≦ (t^3 +9uu)/4tu
> u = abc = 1
> を使って sとu を消し、t=ab+bc+ca だけの関数で考えて出したのが >704

なるほど。 u=1 だから、s か t のどちらかを消せばよいと。
そこで s を消すために、sを含む s, t, u の不等式の中から、s≦f(t) となりそうなものとして F_1 を選んだ訳でござるな。
考え方が分かってスッキリ!

するってぇと何かい? t^2 ≧ 3su を使ってもいいってことだね?

s ≦ (t^2)/(3u) = (t^2)/3 より、3≦t≦5 のとき、

(左辺)-(右辺)
= 6 - (5-t)s
≧ 6 - (5-t)*(t^2)/3
= (t-3)(t^2-2t-6)/3

-3 ≦ t^2-2t-6 ≦ 5 となって失敗したでござる。 F_1 じゃなきゃダメなのか…。
コメント4件

734
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/08/29 17:34:23  ID:QmBHjFut.net(20)
>733
-3 ≦ t^2-2t-6 ≦ 9 の間違いですた

735
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/08/30 01:43:40  ID:BK+APDDw.net(4)
>733
F_1 じゃなきゃダメですね…。

マクラーレン・ホンダ:F_1ベルギーGPの決勝レポート(8/28)

マクラーレンはF_1ベルギーGP決勝で、S.バンドーンが14位、F.アロンソはリタイアだった。

両ドライバーは見事なスタートを切り、F.アロンソは1周目には10番手から7番手に浮上。

しかし、その後エンジンの不調が発生したためリタイアし、入賞を逃しますた。残念

736
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/08/30 02:37:18  ID:4Q4sm7+y.net(14)
怒涛の abc=1 シリーズの際に書いたつもりが、書いてなかったようなので。

【問題】
a, b, c >0、abc=1 に対して、
1/(1+a)^3 + 1/(1+b)^3 + 1/(1+c)^3 + 5/{(1+a)(1+b)(1+c)} ≧ 1


 ∧_∧        積一定?
 ( ・ω・)=つ≡つ  ボコボコにしてやんよ!
 (っ ≡つ=つ
 /   ) ババババ
 ( / ̄∪
コメント2件

737
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/08/30 08:12:26  ID:4Q4sm7+y.net(14)
>677
(3)をプチ改造。
a, b, c >0、abc=1 に対して、2/(ab+bc+ca) + 1/3 ≧ 3/(a+b+c).
コメント2件

738
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/08/30 08:19:26  ID:4Q4sm7+y.net(14)
>722
成り立たなかった…。(a,b,c) = (1,1,2), (1,1,1), (1,1,1/2)

739
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/08/30 08:34:33  ID:4Q4sm7+y.net(14)
>732
AM-GM や Schur で証明できた場合は、等号成立条件が a=b=c になってしまうから、
証明の中で、それ以外の特殊な不等式が必要になるってことですかね?
コメント4件

740
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/08/30 11:56:04  ID:BK+APDDw.net(4)
>737

(a,b,c) →(1/a,1/b,1/c)としたでござるな。

a+b+c → (ab+bc+ca)/abc,
ab+bc+ca → (a+b+c)/abc,
abc → 1/abc,

>703 の(s,t)を入れ換えて
 F_1(a,b,c)= s^3 -4st +9u ≧0,
 t ≦(s^3 +9u)/4s,
これを使えば おk >707

>739
そうですね。
AM-GM や Schurは(1,4,4)で等しくないので使えません。

741
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/08/30 17:00:49  ID:4Q4sm7+y.net(14)
>736
難しいので、劣化改造してみた。こちらは力任せに証明できる。

a, b>0 かつ ab=1 のとき、1/(1+a)^2 + 1/(1+b)^2 + 2/{(1+a)(1+b)} ≧1.
コメント2件

742
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/08/30 17:18:01  ID:4Q4sm7+y.net(14)
ところで、AM + GM に関する不等式って何かあったっけ? Jacobsthal は差だし、Sierpinskiは商か。

743
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/08/30 17:24:20  ID:4Q4sm7+y.net(14)
>741
この劣化版って、等式だった…

744
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/08/31 00:00:50  ID:iQe17wVf.net(14)
>679
(4)をプチ改造。Nesbittの間に割り込んだ形ですね。

a, b, c >0、abc=1 に対して、
a/(b+c) + b/(c+a) + c/(a+b) ≧ 1/(b+c) + 1/(c+a) + 1/(a+b) ≧ 3/2
コメント4件

745
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/08/31 00:14:37  ID:iQe17wVf.net(14)
>744
左は(4)を変形しただけ。

右は間違っているかもしれん。
Cauchyの後にAM-GMを使ったんだけど、AM-GMの不等号が逆で、証明になっていなかった。

746
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/08/31 00:17:09  ID:iQe17wVf.net(14)
結局、こうですね。

a, b, c >0、abc=1 に対して、
a/(b+c) + b/(c+a) + c/(a+b) ≧ 1/(b+c) + 1/(c+a) + 1/(a+b) > 0

747
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/08/31 02:42:09  ID:iQe17wVf.net(14)
これでOK?

λを正定数、a, b>0 かつ ab=1 のとき、
1 + λ/4 ≧ 1/(1+a)^2 + 1/(1+b)^2 + (2+λ)/{(1+a)(1+b)} ≧1.

748
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/08/31 02:45:27  ID:iQe17wVf.net(14)
λを正定数、a, b>0 かつ ab=1 のとき、
1 + λ/4 ≧ 1/(1+a)^2 + 1/(1+b)^2 + (2+λ)/{(1+a)(1+b)} > 1.

こうですね。

749
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/08/31 04:26:22  ID:iQe17wVf.net(14)
>728
エレ解 1997.9 だった。

750
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/08/31 07:12:05  ID:iQe17wVf.net(14)
a, b, c ≧0 かつ a+b+c=1 のとき、a*(a+b)^2*(b+c)^3*(c+a)^4 の最大値を求めよ。
コメント2件

751
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/08/31 10:46:05  ID:DG2IOYgq.net(2)
>750
GM-AM で
(与式)= 16・a・(a+b)^2・(b+c)^3・{(c+a)/2}^4
 ≦ 16{[a + 2(a+b)+ 3(b+c)+ 4((c+a)/2)]/(1+2+3+4)}^10
 = 16{(a+b+c)/2}^10
 = 1/64.  (← a+b+c=1)
等号は(a,b,c)=(1/2,0,1/2)

752
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/08/31 22:15:21  ID:A7wnlx0o.net(4)
>744
a, b, c >0, abc=1
a/(b+c) + b/(c+a) + c/(a+b) >= 1/(b+c) + 1/(c+a) + 1/(a+b) + (3/2 - 4/((a+b)(b+c)(c+a)))
コメント2件

753
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/08/31 22:18:05  ID:A7wnlx0o.net(4)
>752
間違えた
a, b, c >0, abc=1
a/(b+c) + b/(c+a) + c/(a+b) >= 1/(b+c) + 1/(c+a) + 1/(a+b) + (1/2 - 4/((a+b)(b+c)(c+a)))

754
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/09/01 00:01:46  ID:3P2EPmWz.net(10)
【問題A】a, b, c >0 とする。

(1)
(ab+bc+ca)^3 ≧ (a^2 + 2b^2)(b^2 + 2c^2)(c^2 + 2a^2)

(2)
(a^2 + b^2 + c^2)^3 ≧ (a+b+c)(ab+bc+ca)(a^3 + b^3 + c^3)

(3)
(a^2 + bc)(b^2 + ca)(c^2 + ab) ≧ abc(a+b)(b+c)(c+a)

(4)
3*{(ab)^2 + (bc)^2 + (ca)^2} ≧ (ab+bc+ca)(a^2 + b^2 + c^2)

(5)
(a^2 + ab + b^2)(b^2 + bc + c^2)(c^2 + ca + a^2) ≧ (ab+bc+ca)^3

(6)
(a^2 + b^2 + c^2)/(ab+bc+ca) + 8abc/(a+b)(b+c)(c+a) ≧ 2


【問題B】

(7)
a, b, c, d >0 に対して、(a+b+c-d)(b+c+d-a)(c+d+a-b)(d+a+b-c) ≦ (a+b)(b+c)(c+d)(d+a)

(8)
0 ≦ a, b, c ≦ 1 に対して、a^(bc) + b^(ca) + c^(ab) > 2


【参考】
(8)の類題 [第5章.698, 708]
a, b, c >0 に対して、a^(b+c) + b^(c+a) + c^(a+b) ≧ 1


     ___   ====
\  ./ ≧  \   ====
  \| \ ./  ::::| 
   | ●) ●) :::::|  そんな不等式で俺様がクマ――!!
   ヽ......ワ...:::::.ノ
     `つ   `つ      (´⌒(´
      ゝ_つ_`つ≡≡≡(´⌒;;;≡≡≡
               (´⌒(´⌒;;
      ズザザザ
コメント28件

755
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/09/01 00:16:20  ID:3P2EPmWz.net(10)
【問題】
a, b, c >0 に対して、2*QM + 3*GM ≦ 5*AM。 ただし、QM = √{(a^2+b^2+c^2)/3}
コメント4件

756
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/09/01 06:54:43  ID:3P2EPmWz.net(10)
>388
条件 x>y が抜けとる。すみませぬ。

訂正
x>y>0 かつ (x^6)(y^2) - (x^5)(y^3) + (x^5)(y^5) - (x^4)(y^6) ≧ 4 のとき、x^3+y^2≧3.

757
132人目の素数さん[]   投稿日:2017/09/01 11:18:02  ID:QpLZW4eS.net(10)
>754
(1)
aa=A,bb=B,cc=C とおいて考える。

(右辺)=(A+2B)(B+2C)(C+2A)
= 2(AAB+BBC+CCA)+ 4(ABB+BCC+CAA)+ 9ABC,

(左辺)=(ab+bc+ca)^3
= aabb(ab+3bc+3ca)+ bbcc(bc+3ca+3ab)+ ccaa(ca+3ab+3bc)+6(abc)^2
≦ AB(2A+2B+3C)+ BC(2B+2C+3A)+ CA(2C+2A+3B)+ 6ABC
= 2(AAB+BBC+CCA)+ 2(ABB+BCC+CAA)+15ABC,

(右辺)-(左辺)≧ 2(ABB+BCC+CAA-3ABC)≧ 0,  (← AM-GM)

(4) a>>b,c では不成立?

(5)コーシーで
(ab+bb+aa)(bb+bc+cc)(aa+cc+ca)≧(ab+bc+ca)^3

(6)
9(st-u) - 8st = 9(a+b)(b+c)(c+a)- 8(a+b+c)(ab+bc+ca)
= a(b-c)^2 + b(c-a)^2 + c(a-b)^2
≧0,
(左辺)-2 = (ss-4t)/t + 8u/(st-u)
≧ 8s(ss-4t)/{9(st-u)} + 8u/(st-u)
= 8(s^3 -4st+9u)/{9(st-u)}
= 8F_1(a,b,c)/{9(st-u)}
≧0,
コメント12件

758
[sage]   投稿日:2017/09/01 14:09:25  ID:7A4+w7Rv.net(62)

759
[sage]   投稿日:2017/09/01 14:09:44  ID:7A4+w7Rv.net(62)

760
[sage]   投稿日:2017/09/01 14:10:00  ID:7A4+w7Rv.net(62)

761
[sage]   投稿日:2017/09/01 14:10:16  ID:7A4+w7Rv.net(62)

762
[sage]   投稿日:2017/09/01 14:10:32  ID:7A4+w7Rv.net(62)

763
[sage]   投稿日:2017/09/01 14:10:49  ID:7A4+w7Rv.net(62)

764
[sage]   投稿日:2017/09/01 14:11:05  ID:7A4+w7Rv.net(62)

765
[sage]   投稿日:2017/09/01 14:11:25  ID:7A4+w7Rv.net(62)

766
[sage]   投稿日:2017/09/01 14:11:42  ID:7A4+w7Rv.net(62)

767
[sage]   投稿日:2017/09/01 14:12:00  ID:7A4+w7Rv.net(62)

768
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/09/01 14:40:29  ID:QpLZW4eS.net(10)
>754

(2)
(左辺)-(右辺)=(aa+bb+cc)^3 -(a+b+c)(ab+bc+ca)(a^3+b^3+c^3)
= p'(b-c)^2 + q'(c-a)^2 + r'(a-b)^2
≧ 0,
ここに
p ' ={4a^4+b^4+c^4 +(a^4+a^4+b^4+c^4-4aabc)}/4 ≧(4a^4+b^4+c^4)/4,
q ' ={a^4+4b^4+c^4 +(a^4+b^4+b^4+c^4-4abbc)}/4 ≧(a^4+4b^4+c^4)/4,
r ' ={a^4+b^4+4c^4 +(a^4+b^4+c^4+c^4-4abcc)}/4 ≧(a^4+b^4+4c^4)/4,

(3)
(左辺)-(右辺)=(aa+bc)(bb+ca)(cc+ab)- abc(a+b)(b+c)(c+a)
= abc{a(a-b)(a-c)+b(b-c)(b-a)+c(c-a)(c-b)}+{(ab)^3 +(bc)^3 +(ca)^3 -3(abc)^2}
= u(s^3 -4st+9u)+ t(tt-3su)
= u・F_1(a,b,c)+ t・uF_{-1}(a,b,c)
≧ 0,
コメント4件

769
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/09/01 15:02:15  ID:QpLZW4eS.net(10)
>754
(7)
左辺の4つの因子のうち、負になれるのは高々1つだけ。
左辺が正のときは4つとも正。
GM-AMで
(a+b+c-d)(b+c+d-a)=(b+c)^2 -(a-d)^2 ≦(b+c)^2,
循環的に掛ける。

770
[sage]   投稿日:2017/09/01 17:01:31  ID:7A4+w7Rv.net(62)

771
[sage]   投稿日:2017/09/01 17:01:46  ID:7A4+w7Rv.net(62)

772
[sage]   投稿日:2017/09/01 17:02:00  ID:7A4+w7Rv.net(62)

773
[sage]   投稿日:2017/09/01 17:02:36  ID:7A4+w7Rv.net(62)

774
[sage]   投稿日:2017/09/01 17:02:57  ID:7A4+w7Rv.net(62)

775
[sage]   投稿日:2017/09/01 17:03:15  ID:7A4+w7Rv.net(62)

776
[sage]   投稿日:2017/09/01 17:03:35  ID:7A4+w7Rv.net(62)

777
[sage]   投稿日:2017/09/01 17:03:54  ID:7A4+w7Rv.net(62)

778
[sage]   投稿日:2017/09/01 17:04:39  ID:7A4+w7Rv.net(62)

779
[sage]   投稿日:2017/09/01 17:05:00  ID:7A4+w7Rv.net(62)

780
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/09/01 22:12:42  ID:3P2EPmWz.net(10)
>754 (4)は成立しませんでした、すみません。

781
[sage]   投稿日:2017/09/01 22:30:34  ID:7A4+w7Rv.net(62)

782
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/09/01 22:46:45  ID:QpLZW4eS.net(10)
>726 >727
>732 >739
AM-GMやSchurは使えそうにないので...

a ≦ b,c とすると、G =(abc)^(1/3)≧ a,
m = √(bc)とおき、
(a,b,c)→(a,m,m)としたとき、Gは不変で、
A(a,b,c)- A(a,m,m)=(b+c-2m)/3,
H(a,b,c)- H(a,m,m)=(b+c-2m)/3{-H(a,b,c)H(a,m,m)/bc}
 ≧(b+c-2m)/3(-GG/bc)
 =(b+c-2m)/3(-a/G)
∴ A(a,b,c)+ H(a,b,c)≧ A(a,m,m)+ H(a,m,m)
等号成立は b=c のとき。 ……(1)
大きい方の2つが等しい場合を考えればよいので、
ほぼ1変数の問題に帰着する。
A(a,m,m)+ H(a,m,m)
= 2(aa+7am+mm)/{3(2a+m)}
={5/16^(1/3)}G + f(x)・mm/{24(2a+m)}
≧{5/16^(1/3)}G,
ここに、x =(4a/m)^(1/3)とおいた。
f(x)= x^6 - 15x^4 +28x^3 -30x +16
=(x-1)^2{(xx-4)^2 + 2x(x-1)^2},
等号成立は x=1,4a=m=√(bc)のとき。 ……(2)

(1)(2)より、(a,b,c)=λ(1,4,4)

783
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/09/01 22:57:26  ID:3P2EPmWz.net(10)
>757
昔のmemoの中に、>754(5)を改造したものがあった。

a, b, c >0 に対して、
(a^2 + ab + b^2)(b^2 + bc + c^2)(c^2 + ca + a^2)
≧ (27/64)*[(a+b)(b+c)(c+a)]^2
≧ (1/3)*[(a+b+c)(ab+bc+ca)]^2
≧ (ab+bc+ca)^3.
コメント4件

784
[sage]   投稿日:2017/09/01 23:07:51  ID:7A4+w7Rv.net(62)

785
[sage]   投稿日:2017/09/01 23:08:08  ID:7A4+w7Rv.net(62)

786
[sage]   投稿日:2017/09/01 23:08:25  ID:7A4+w7Rv.net(62)

787
[sage]   投稿日:2017/09/01 23:08:42  ID:7A4+w7Rv.net(62)

788
[sage]   投稿日:2017/09/01 23:08:58  ID:7A4+w7Rv.net(62)

789
[sage]   投稿日:2017/09/01 23:09:14  ID:7A4+w7Rv.net(62)

790
[sage]   投稿日:2017/09/01 23:09:33  ID:7A4+w7Rv.net(62)

791
[sage]   投稿日:2017/09/01 23:09:50  ID:7A4+w7Rv.net(62)

792
[sage]   投稿日:2017/09/01 23:10:06  ID:7A4+w7Rv.net(62)

793
[sage]   投稿日:2017/09/01 23:10:23  ID:7A4+w7Rv.net(62)

794
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/09/01 23:50:29  ID:QpLZW4eS.net(10)
>726-727

〔類題〕
AM + 0.90096 HM ≧ 1.90096 GM

等号成立は(a,b,c)=λ( 0.3962570…,1,1)のとき

[第7章.897-903]

795
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/09/02 01:00:08  ID:Po7d73tU.net(12)
>388 (5) >450 >708

〔Hlawkaの不等式〕の拡張
m≧2 のとき、
(m-2)Σ[k=1,m]|x_k |^2 +|Σ[k=1,m] x_k |^2 = Σ[1≦i<j≦m]|x_i +x_j |^2.
(m-2)Σ[k=1,m]|x_k|+|Σ[k=1,m] x_k|≧ Σ[1≦i<j≦m]|x_i +x_j|.
(D.D.Adamovic)
[初代スレ.354-360,364]
文献[3] 大関、p.34

796
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/09/02 01:24:47  ID:88PUFUMG.net(2)
HMって何の略?
Heron M???

797
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/09/02 02:01:43  ID:3JI2dd7J.net(2)
調和平均だろ

798
[sage]   投稿日:2017/09/02 02:19:28  ID:z17/uuYO.net(60)

799
[sage]   投稿日:2017/09/02 02:20:02  ID:z17/uuYO.net(60)

800
[sage]   投稿日:2017/09/02 02:20:20  ID:z17/uuYO.net(60)

801
[sage]   投稿日:2017/09/02 02:20:35  ID:z17/uuYO.net(60)

802
[sage]   投稿日:2017/09/02 02:20:49  ID:z17/uuYO.net(60)

803
[sage]   投稿日:2017/09/02 02:21:04  ID:z17/uuYO.net(60)

804
[sage]   投稿日:2017/09/02 02:21:20  ID:z17/uuYO.net(60)

805
[sage]   投稿日:2017/09/02 02:21:38  ID:z17/uuYO.net(60)

806
[sage]   投稿日:2017/09/02 02:21:55  ID:z17/uuYO.net(60)

807
[sage]   投稿日:2017/09/02 02:22:12  ID:z17/uuYO.net(60)

808
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/09/02 02:38:52  ID:Po7d73tU.net(12)
>755

QQ =(ss-2t)/3 ≦{ss - 2√(3su)}/3 = 3AA - 2G√(AG),

(5A-3G)^2 -(2Q)≧(5A-3G)^2 -12AA +8G√(AG)
= 13AA -30AG +8G√(AG) +9GG
=(√A -√G)^2{13A +26√(AG)+9G}
≧ 0,
∴ 5A-3G ≧ 2Q,
コメント4件

809
[sage]   投稿日:2017/09/02 03:25:43  ID:z17/uuYO.net(60)

810
[sage]   投稿日:2017/09/02 03:26:00  ID:z17/uuYO.net(60)

811
[sage]   投稿日:2017/09/02 03:26:18  ID:z17/uuYO.net(60)

812
[sage]   投稿日:2017/09/02 03:26:34  ID:z17/uuYO.net(60)

813
[sage]   投稿日:2017/09/02 03:26:51  ID:z17/uuYO.net(60)

814
[sage]   投稿日:2017/09/02 03:27:07  ID:z17/uuYO.net(60)

815
[sage]   投稿日:2017/09/02 03:27:24  ID:z17/uuYO.net(60)

816
[sage]   投稿日:2017/09/02 03:27:40  ID:z17/uuYO.net(60)

817
[sage]   投稿日:2017/09/02 03:27:57  ID:z17/uuYO.net(60)

818
[sage]   投稿日:2017/09/02 03:28:14  ID:z17/uuYO.net(60)

819
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/09/02 04:25:20  ID:ziPENgdW.net(22)
>757 (6)
(左辺)-(右辺) の計算過程で、
  9(a+b)(b+c)(c+a) ≧ 8st …(1)
の使うタイミングが上手いですね。

私は 左辺の第1項に対して使ってしまい、その後の変形で分子が
  8F_1 - 2E_1 ここで E_1 = st-9u
となって、ずっと悩んでいました。

(左辺の第1項-2)に対して使うことで、あっさり片付くとは! いと難し… ('A`)ヴォエァ!
コメント2件

820
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/09/02 04:28:13  ID:LXq7kqvc.net(4)
Arithmetic Mean
Geometric Mean
Harmonic Mean

>775のQMは?
コメント4件

821
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/09/02 04:28:37  ID:LXq7kqvc.net(4)
>755のQMは何の略?
コメント4件

822
[sage]   投稿日:2017/09/02 04:31:02  ID:z17/uuYO.net(60)

823
[sage]   投稿日:2017/09/02 04:31:21  ID:z17/uuYO.net(60)

824
[sage]   投稿日:2017/09/02 04:31:41  ID:z17/uuYO.net(60)

825
[sage]   投稿日:2017/09/02 04:32:00  ID:z17/uuYO.net(60)

826
[sage]   投稿日:2017/09/02 04:32:18  ID:z17/uuYO.net(60)

827
[sage]   投稿日:2017/09/02 04:32:36  ID:z17/uuYO.net(60)

828
[sage]   投稿日:2017/09/02 04:32:56  ID:z17/uuYO.net(60)

829
[sage]   投稿日:2017/09/02 04:33:16  ID:z17/uuYO.net(60)

830
[sage]   投稿日:2017/09/02 04:33:37  ID:z17/uuYO.net(60)

831
[sage]   投稿日:2017/09/02 04:33:57  ID:z17/uuYO.net(60)

832
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/09/02 05:50:25  ID:ziPENgdW.net(22)
ここまでの荒らし数470くらい。 50%を超えているとは思わなんだ。
¥って何なんだ? 山崎パンかよ!

833
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/09/02 07:24:51  ID:ziPENgdW.net(22)
>757 (1)
左辺の変形は、同順序積の方が大きいことを利用して、瞬時に大きくしたのですかね?
コメント4件

834
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/09/02 07:36:00  ID:ziPENgdW.net(22)
と思ったが、係数まで変わっているから、やっぱり分からないなあ。
コメント4件

835
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/09/02 10:45:02  ID:Po7d73tU.net(12)
>833 >834
GM-AM で
 ab ≦(A+B)/2,bc ≦(B+C)/2,ca ≦(C+A)/2,
を使ったでござる。


>820 >821
 Q = RMS は Root Mean Square(二乗平均平方根)です。


>808 の修正
(5A-3G)^2 -(2Q)^2 ≧(5A-3G)^2 -12AA -2G√(AG)
= 13AA -30AG +8G√(AG)+9GG
= 9(A-G)^2 + 4{AA + G√(AG)+ G√(AG)-3AG}
≧ 0,
コメント2件

836
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/09/02 11:04:09  ID:ziPENgdW.net(22)
(・3・) QMは quadratic mean の頭文字アルェ-
コメント2件

837
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/09/02 11:10:47  ID:ziPENgdW.net(22)
>835
> >808 の修正
> (5A-3G)^2 -(2Q)^2 ≧(5A-3G)^2 -12AA -2G√(AG)
> = 13AA -30AG +8G√(AG)+9GG
> = 9(A-G)^2 + 4{AA + G√(AG)+ G√(AG)-3AG}
> ≧ 0,

修正前の方が分かりやすいような希ガス…。
コメント2件

838
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/09/02 12:54:10  ID:Po7d73tU.net(12)
>833 >834
たしかに
(ab+bc+ca)^3 ≦(8/7)(AAB+BBC+CCA)+(8/7)(ABB+BCC+CAA)+(141/7)ABC,
等号は(a,b,c)=(1,1,1)と(3/4,1,1)
が最良でしょうが、出すのが面倒でござる。

ここでは、簡単に出せる >757 を使ったでござる。(これで十分だし)

>837
すまぬ。あちらを正せばこちらが…でござった。

839
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/09/02 14:08:10  ID:ziPENgdW.net(22)
>768
>754 (2) を F_0 を残したまま展開してみたなり。

(左辺)-(右辺)
= (F_0 + t)^3 - st*(sF_0 + 3u)
= (F_0)^3 + 2t*(F_0)^2 + t*(uF_{-1})
≧ 0

840
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/09/02 14:29:19  ID:Po7d73tU.net(12)
>819

>757(6)は(左辺第1項 -2)< 0 の場合は?でしたね。
通分してSchurの拡張を使います。

(左辺)- 2 =(ss-4t)/t + 8u/(st-u)
={(ss-4t)(st-u)+8ut}/{t(st-u)}
={P(a-b)(a-c)+ Q(b-c)(b-a)+ R(c-a)(c-b)}/{t(st-u)},
ここで
P = aa(b+c)= at-u >0,
Q = bb(c+a)= bt-u >0,
R = cc(a+b)= ct-u >0,
(P,Q,R)は(x,y,z)と同順なので成立。
コメント2件

841
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/09/02 14:54:30  ID:ziPENgdW.net(22)
>840
たしかに!

842
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/09/02 15:45:20  ID:ziPENgdW.net(22)
最近は Schur の独壇場だな。

843
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/09/02 20:18:37  ID:VhdcIBK0.net(2)
>754
(1)
Holder の不等式
(b^2+b^2+a^2)(b^2+c^2+c^2)(a^2+c^2+a^2)(a^2+b^2+c^2) >= (ab+bc+ca)^4
から明らか

(2)
LHS >= sqrt(3(a^2+ab+b^2)(b^2+bc+c^2)(c^2+ca+a^2)) >= RHS

(3)
和積版並べ替え不等式から明らか
(a+x)(b+y)(c+z) >= (a+x’)(b+y’)(c+z’) >= (a+z)(b+y)(c+x)
for any positive a >= b >= c and x <= y <= z, {x’, y’, z’} = {x, y, z}

(5)
LHS >= 27/64 ((a+b)(b+c)(c+a)^2 >= RHS
コメント6件

844
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/09/02 22:48:54  ID:StTJDV1n.net(2)
>843
(1)
間違えた
LHS >= (a^2+a*b+b*c)*(b^2+b*c+c*a)*(c^2+c*a+a*b) >= RHS
コメント2件

845
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/09/02 22:53:02  ID:ziPENgdW.net(22)
>843
(2)は、何をやっているのか分かりませぬ…
コメント2件

846
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/09/02 22:59:58  ID:ziPENgdW.net(22)
>844
すみません、これもよく分からないです。
コメント2件

847
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/09/02 23:05:47  ID:Po7d73tU.net(12)
>843

(1)そのあと、どうするんでつか?

(3)なるほど!

(5)>783
コメント2件

848
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/09/03 00:38:23  ID:ueZS3BC0.net(2)
【問題】
a, b, c >0 に対して、(a+b+c)^2 (a^2 + b^2 + c^2)^3 ≧ 27*{(ab)^2 + (bc)^2 + (ca)^2}^2


     ///////
    ///////____________
    ///////  ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄| ̄ ̄
   ///////      ___    (~) チリンチリン
   ///////     /  ≧ \  ノ,,
  ///////     |::::: (● (● |    
  ///////      ヽ::::... .ワ.....ノ    日本の夏
 ///////      (つ へへ つ      不等式の夏
コメント6件

849
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/09/03 02:35:19  ID:T+8hKHMc.net(2)
>845
>846
>847
(1) 834は間違え
Holderから LHS >= (a^2+ab+bc)*(b^2+bc+ca)*(c^2+ca+ab)
(a^2+ab+bc)*(b^2+bc+ca)*(c^2+ca+ab) - RHS
= abc(a^3+b^3+c^3-3abc) + (x^6+y^6+z^6-xyz(x^3+y^3+z^3))
>= 0
where x=(a^2b)^(1/3), …

(2)
正しくは
LHS >= sqrt(3(a^2+ab+b^2)(b^2+bc+c^2)(c^2+ca+a^2))(a^3+b^3+c^3) >= RHS
だった
右側はIndia2007(柳田先生の初等的な不等式I, 問題202)
左側は解析的にゴリゴリやればなんとか(上手い解法ありそうだけど)
いずれにしてもこの不等式を用いて解くというよりこれも成り立つというだけです
コメント2件

850
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/09/03 12:20:38  ID:UCZgMxaf.net(2)
>849
(1)
コーシーで
(aa+bb+bb)(aa+aa+cc)≧(aa+ab+bc)^2
これを巡回的に掛けたでござるな。

(2)
右側は
√(aa+ab+bb)≧((√3)/2)(a+b),
(a+b)(b+c)(c+a)≧(8/9)(a+b+c)(ab+bc+ca),
で簡単ですが左側は
b=c=1 のとき
LHS - MHS =(aa+2)^3 - 3(aa+a+1)(a^3 +2)
=(a-1)^3・(a^3 -2),
1<a<2^(1/3)でゴリ霧中…
コメント2件

851
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/09/03 17:11:10  ID:eX/KAakW.net(2)
>850
(2) b=c=1としていいと結論付けるまでが長くない?

852
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/09/03 18:47:59  ID:Jd8W4i+s.net(2)
どうでもいいけどMHSって、お前手3本あんの?
コメント2件

853
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/09/04 01:47:36  ID:nXYDOT8Z.net(6)
>852
千手観音(千手千眼観自在菩薩)は、千本の手がありその手の掌には目が付いています。
へっへっへ

854
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/09/04 13:23:44  ID:nXYDOT8Z.net(6)
>754
(8)
f(x)=(1/a)^x は下に凸だから、0<x<1 で
f(x)- f(0)≦{f(1)- f(0)}x,
(1/a)^x - 1 ≦{(1/a)- 1}x,
∴ a^x ≧ a/(a+x-ax)= 1 - (1-a)x/(a+x-ax) …… ベルヌーイの式

x=bc を入れると、
a+x-ax = a+bc-abc = t-2u +a(1-b)(1-c)≧ t-2u,
∴ a^bc ≧ 1 -(bc-u)/(t-2u),
巡回的にたすと
(左辺)≧ 2 + u/(t-2u),
等号は u=abc=0 のとき。


【参考】
(8)の類題
a,b,c の中に1以上のものがあるときは明らか。
∴ 0< a,b,c <1 としてよい。
b+c,c+a,a+b の中に1より大きいものが無ければベルヌーイで一発なんだが…
コメント4件

855
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/09/04 15:08:41  ID:nXYDOT8Z.net(6)
>820 >821 >836
QM は Quantum Machanics(量子力学)です。
QED は Quantum Electro Dynamics(量子電磁力学)です。

856
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/09/04 15:53:26  ID:r8nwon/d.net(2)
>854
なぜかあぼーんされて見えないけど、何か悪さした?

857
132人目の素数さん[]   投稿日:2017/09/04 17:49:07  ID:VCnnUpGA.net(2)
>848 反例 a=b=c=3^(-1/2)

クソが作ったクソ問を避けるために出典欲しくなるのもわかる
コメント2件

858
[sage]   投稿日:2017/09/04 18:00:39  ID:xP4OelQr.net(22)

859
[sage]   投稿日:2017/09/04 18:00:56  ID:xP4OelQr.net(22)

860
[sage]   投稿日:2017/09/04 18:01:13  ID:xP4OelQr.net(22)

861
[sage]   投稿日:2017/09/04 18:01:30  ID:xP4OelQr.net(22)

862
[sage]   投稿日:2017/09/04 18:01:45  ID:xP4OelQr.net(22)

863
[sage]   投稿日:2017/09/04 18:02:01  ID:xP4OelQr.net(22)

864
[sage]   投稿日:2017/09/04 18:02:18  ID:xP4OelQr.net(22)

865
[sage]   投稿日:2017/09/04 18:02:35  ID:xP4OelQr.net(22)

866
[sage]   投稿日:2017/09/04 18:02:50  ID:xP4OelQr.net(22)

867
[sage]   投稿日:2017/09/04 18:03:05  ID:xP4OelQr.net(22)

868
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/09/04 18:13:26  ID:T4IfN+s2.net(2)
>857
a=b=cのとき=が成り立つ。

869
[sage]   投稿日:2017/09/04 18:32:16  ID:xP4OelQr.net(22)

870
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/09/04 19:47:33  ID:MgnBmrDH.net(2)
>848
LHS >= 27((ab^3+bc^3+ca^3)(a^3b+b^3c+c^3a)((ab)^2+(bc)^2+(ca)^2))^(2/3) >= RHS
コメント6件

871
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/09/04 22:31:06  ID:r46JbgIy.net(2)
>870
左側はさらに厳密な
LHS >= 9((ab^3+bc^3+ca^3)^2 + (a^3b+b^3c+c^3a)^2 + ((ab)^2+(bc)^2+(ca)^2))^2
を示した方が簡単なおもしろい不等式
コメント4件

872
[sage]   投稿日:2017/09/05 00:32:34  ID:ZSz+2Alj.net(40)

873
[sage]   投稿日:2017/09/05 00:32:56  ID:ZSz+2Alj.net(40)

874
[sage]   投稿日:2017/09/05 00:33:17  ID:ZSz+2Alj.net(40)

875
[sage]   投稿日:2017/09/05 00:33:35  ID:ZSz+2Alj.net(40)

876
[sage]   投稿日:2017/09/05 00:33:51  ID:ZSz+2Alj.net(40)

877
[sage]   投稿日:2017/09/05 00:34:09  ID:ZSz+2Alj.net(40)

878
[sage]   投稿日:2017/09/05 00:34:25  ID:ZSz+2Alj.net(40)

879
[sage]   投稿日:2017/09/05 00:35:02  ID:ZSz+2Alj.net(40)

880
[sage]   投稿日:2017/09/05 00:35:21  ID:ZSz+2Alj.net(40)

881
[sage]   投稿日:2017/09/05 00:35:38  ID:ZSz+2Alj.net(40)

882
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/09/05 02:53:45  ID:3z9XJ0W/.net(6)
>870 >871

LHS =(a+b+c)^2(aa+bb+cc)^3 ≧ 27(ab^3+bc^3+ca^3)(a^3b+b^3c+c^3a)
は無理ですね。


〔参考〕
(aa+bb+cc)^2 ≧ 3(ab^3+bc^3+ca^3)または 3(a^3b+b^3c+c^3a)

[第5章.268, 284-290]
[第2章.389]
文献[8]、安藤、§2.3.2 p.61 中段、g_{p,q}(a,b,c)≧0,

883
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/09/05 03:34:06  ID:3z9XJ0W/.net(6)
>754 (2)
>768

s = a+b+c,
t = ab+bc+ca,
S2 = aa+bb+cc,
S3 = a^3 +b^3 +c^3,
とおく。

S2 - t ={(a-b)^2 +(b-c)^2 +(c-a)^2}/2 = F_0,
とおく。コーシーより
s・S3 - S2・S2 = ab(a-b)^2 + bc(b-c)^2 + ca(c-a)^2 ≦ F_0・S2,
∵ ab ≦(aa+bb)/2 ≦ S2 /2,etc.

LHS - RHS =(S2)^3 - st・S3
=(S2-t)S2・S2 - t(s・S3-S2・S2)
≧ F_0・S2・S2 - t・F_0・S2
=(F_0)^2・S2
≧ 0,
コメント4件

884
[sage]   投稿日:2017/09/05 03:37:49  ID:ZSz+2Alj.net(40)

885
[sage]   投稿日:2017/09/05 03:38:08  ID:ZSz+2Alj.net(40)

886
[sage]   投稿日:2017/09/05 03:38:24  ID:ZSz+2Alj.net(40)

887
[sage]   投稿日:2017/09/05 03:38:40  ID:ZSz+2Alj.net(40)

888
[sage]   投稿日:2017/09/05 03:38:57  ID:ZSz+2Alj.net(40)

889
[sage]   投稿日:2017/09/05 03:39:13  ID:ZSz+2Alj.net(40)

890
[sage]   投稿日:2017/09/05 03:39:29  ID:ZSz+2Alj.net(40)

891
[sage]   投稿日:2017/09/05 03:39:46  ID:ZSz+2Alj.net(40)

892
[sage]   投稿日:2017/09/05 03:40:04  ID:ZSz+2Alj.net(40)

893
[sage]   投稿日:2017/09/05 03:40:23  ID:ZSz+2Alj.net(40)

894
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/09/05 05:07:23  ID:q778+o9X.net(4)
>883
> コーシーより
> ab(a-b)^2 + bc(b-c)^2 + ca(c-a)^2 ≦ F_0・S2,

caushyをどう使ったんでせうか?
たしかに差をとれば (F_0)^2 + uF_{-1} ≧0 となりますが、caushyでパッと出す方法を知りたいです。
コメント2件

895
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/09/05 05:20:01  ID:q778+o9X.net(4)
わかりました。おじゃましますた。

896
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/09/05 11:21:44  ID:3z9XJ0W/.net(6)
>894

〔補題〕(>754 (2) のための)
a,b,c >0 とすると
(aa+bb+cc){2(aa+bb+cc)-(ab+bc+ca)}≧(a+b+c)(a^3+b^3+c^3)≧(aa+bb+cc)^2,

(略証)
左側は
S2(S2+F_0)- s・S3 ={(a-b)^2+cc}/2 (a-b)^2 + cyclic. ≧ 0,
右側がコーシーでしたね。
s・S3 -(S2)^2 = ab(a-b)^2 + bc(b-c)^2 + ca(c-a)^2 ≧ 0,(終)

あとは >883 のとおり。

897
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/09/06 06:00:26  ID:AYr/rfmQ.net(4)
>848 >870 >871

(aa+bb+cc)^(3/2)={(ss + 2F_0)/3}^(3/2)
≧ √(ss/3)(ss/3 + F_0)   (← AM-GM)
= (4sss -9st)/(3√3)
≧(7st -36u)/(3√3)  (← F_1=sss-4st+9u≧0)
≧(3√3)(st -5u)/4   (← st-9u≧0)
= (3√3){(ab^3+bc^3+ca^3)+(a^3b+b^3c+c^3a)+ 2[(ab)^2+(bc)^2+(ca)^2]}/(4s)
≧(3√3){(ab)^2+(bc)^2+(ca)^2)}/s,  (← AM-GM)

を示した方が簡単なおもしろい不等式…
コメント2件

898
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/09/06 06:40:45  ID:XFngCi/7.net(6)
>897
ゴクリ…。弄り甲斐のある不等式ですね。

2行目のAM-GMの使い方が分かりませぬ。

899
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/09/06 06:47:49  ID:XFngCi/7.net(6)
すみません、わかりました。
それにしても、その形になるように変形しようという発想を知りたいですね。
コメント2件

900
132人目の素数さん[]   投稿日:2017/09/06 09:11:04  ID:VtL80ANE.net(2)
[問題]
nを2以上の自然数として
σ(n)をnの約数の総和、H_n:=農{k=1}^n 1/k とする
このとき
σ(n)<H_n+exp(H_n)log(H_n)
が成り立つことを示せ

901
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/09/06 09:27:53  ID:XFngCi/7.net(6)
a, b, c >0 に対して、

(a+b+c)^2 (a^2 + b^2 + c^2)^3 ≧ 27 {(ab)^2 + (bc)^2 + (ca)^2}^2
(a+b+c)^2 (a^2 + b^2 + c^2)^3 ≧ 27abc (a^2 + b^2 + c^2) (a^3 + b^3 + c^3)
(a+b+c)^2 (a^2 + b^2 + c^2)^3 ≧ (a+b+c)^3 (ab+bc+ca) (a^3 + b^3 + c^3)

などが得られるが、残念ながら、右辺の上中下の3式の大小は定まらないでおじゃる。
コメント4件

902
[sage]   投稿日:2017/09/06 10:40:07  ID:nJ0wcqLn.net(40)

903
[sage]   投稿日:2017/09/06 10:40:25  ID:nJ0wcqLn.net(40)

904
[sage]   投稿日:2017/09/06 10:40:44  ID:nJ0wcqLn.net(40)

905
[sage]   投稿日:2017/09/06 10:41:02  ID:nJ0wcqLn.net(40)

906
[sage]   投稿日:2017/09/06 10:41:20  ID:nJ0wcqLn.net(40)

907
[sage]   投稿日:2017/09/06 10:41:38  ID:nJ0wcqLn.net(40)

908
[sage]   投稿日:2017/09/06 10:41:56  ID:nJ0wcqLn.net(40)

909
[sage]   投稿日:2017/09/06 10:42:14  ID:nJ0wcqLn.net(40)

910
[sage]   投稿日:2017/09/06 10:42:32  ID:nJ0wcqLn.net(40)

911
[sage]   投稿日:2017/09/06 10:42:52  ID:nJ0wcqLn.net(40)

912
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/09/06 13:05:19  ID:AYr/rfmQ.net(4)
>899
左辺の無理式
(ss/3 + …)^(3/2)
を有理式で評価するために使ったでござる。

(ab^3+bc^3+ca^3)、(a^3b+b^3c+c^3a)を経由せずに直接
(4sss-9st)- 27(tt-3su)/s =((4ss+7t) F_1 + 21u F_0 + su F_{-1})/ss ≧ 0
も簡単でつが、面白いので入れますた。

F_n(a,b,c)=(a^n)(a-b)(a-c)+(b^n)(b-c)(b-a)+(c^n)(c-a)(c-b)≧0,

913
[sage]   投稿日:2017/09/06 13:22:19  ID:nJ0wcqLn.net(40)

914
[sage]   投稿日:2017/09/06 13:22:37  ID:nJ0wcqLn.net(40)

915
[sage]   投稿日:2017/09/06 13:22:54  ID:nJ0wcqLn.net(40)

916
[sage]   投稿日:2017/09/06 13:23:10  ID:nJ0wcqLn.net(40)

917
[sage]   投稿日:2017/09/06 13:23:27  ID:nJ0wcqLn.net(40)

918
[sage]   投稿日:2017/09/06 13:23:45  ID:nJ0wcqLn.net(40)

919
[sage]   投稿日:2017/09/06 13:24:02  ID:nJ0wcqLn.net(40)

920
[sage]   投稿日:2017/09/06 13:24:21  ID:nJ0wcqLn.net(40)

921
[sage]   投稿日:2017/09/06 13:24:39  ID:nJ0wcqLn.net(40)

922
[sage]   投稿日:2017/09/06 13:24:54  ID:nJ0wcqLn.net(40)

923
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/09/07 02:11:20  ID:Fuvmh2la.net(2)
>901

ならば 0.03826828245292 ≦ k ≦ 16/27 のとき

(下)≧(1-k)*(中)+ k*(上),

はいかがでござる?
コメント2件

924
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/09/07 05:11:20  ID:+sD3y4UN.net(10)
>923
なるほど、その発想はなかったでござるよ、ニンともカンとも。

0.03826828245292 ≦ k ≦ 16/27 をみたす k の中で、
(1-k)*(中)+ k*(上) がきれいな形に整理できるものがあれば、いい不等式が作れますな。

その k の範囲はどうやって求めたのですか。
kのままで差を取って計算したのですか?

925
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/09/07 05:11:48  ID:+sD3y4UN.net(10)
>754
> (8)の類題 [第5章.698, 708]
> a, b, c >0 に対して、a^(b+c) + b^(c+a) + c^(a+b) ≧ 1

[疑問]
a^(2a) * b^(2b) * c^(2c) ≧ a^(b+c) * b^(c+a) * c^(a+b) は余裕で成り立つけど、
a^(2a) + b^(2b) + c^(2c) ≧ a^(b+c) + b^(c+a) + c^(a+b) は成り立つでござるか?

下の式がうまく証明できませぬ…

 ..::::::,、_,、::: ::::: ::: : 
  /ヨミ゙ヽ)-、. :: ::::
─(ノ─ヽ.ソ┴─
コメント4件

926
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/09/07 05:26:00  ID:+sD3y4UN.net(10)
A,B,C,D>0 に対して、AB ≧ CD ⇒ A+B ≧ C+D は無条件では成り立たないから、
上の式を弄って、下の式を導くのは無理そう。

927
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/09/07 06:49:03  ID:+sD3y4UN.net(10)
(2^a + 2^b)/2 ≧ √(2^a*2^b) = 2^{(a+b)/2} ≧ 2^{√(ab)}

巡回させて加えて、2^a + 2^b +2^c ≧ 2^{√(ab)} + 2^{√(bc)} + 2^{√(ca)}

( ゚∀゚) OK?

928
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/09/07 07:12:08  ID:+sD3y4UN.net(10)
a, b, c >0 に対して、

2^(a^2) + 2^(b^2) + 2^(c^2)
≧ 2^(ab) + 2^(bc) + 2^(ca)
≧ 2^{a√(bc)} + 2^{b√(ca)} + 2^{c√(ab)}
≧ 2^{abc√(ab)} + 2^{abc√(bc)} + 2^{abc√(ca)}
≧ …
(以下無限に続く)

( 'A`) 自作の不等式といふものは、見栄えも悪いし、作成方法もバレバレよのぅ。 もう少し綺麗にならんものかな。
コメント2件

929
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/09/07 22:14:26  ID:pS+6z7mN.net(2)
>901
(上)(中) <= (下)^2

930
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/09/08 03:00:35  ID:Xvh/PpT+.net(8)
>925
上は対数とってチェビシェフで。
下はどうでおじゃる?


〔補題〕
a,b>0 のとき a^a + b^b ≧ a^b + b^a,

(略証)

・1≦a≦b のとき
 b^b ≧(b^a)a^(b-a),
(左辺)-(右辺)≧ a^a +(b^a)a^(b-a)- a^b - b^a
=(b^a - a^a)(a^b - a^a)/(a^a)
≧ 0,

・0<a≦1≦b のとき、ベルヌーイより、
(左辺)≦ 1 + ab ≦ a + b ≦(右辺),

・Max{1,a}≦b のとき
b^x ≧ a^x より
(左辺)-(右辺)=∫[a,b]{log(b) b^x - log(a) a^x}dx ≧ 0,


・0<a,b≦1 のとき、
う〜む。。。思ったよりめんどくせえ。


〔ベルヌーイの式〕
0<a,b≦1 のとき、
1-b+ab ≧ a^b ≧ a/(a+b-ab),
0<a≦1≦b のとき
1-b+ab ≦ a^b ≦ a/(a+b-ab),
コメント16件

931
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/09/08 08:37:49  ID:iwl1FmH8.net(20)
Cauchyより、
{a^(2b) + b^(2c) + c^(2a)}*{a^(2c) + b^(2a) + c^(2b)} ≧ {a^(b+c) + b^(c+a) + c^(a+b)}^2

そこで、
{a^(2a) + b^(2b) + c^(2c)}^2 ≧ {a^(2b) + b^(2c) + c^(2a)}*{a^(2c) + b^(2a) + c^(2b)}  …(★)

が成り立てば解決と考えたけど、(★)が証明できない。
試しに b=c=1 を代入してみたらいけるので、成り立っているような感じだけど、ニンともカンとも…。
コメント2件

932
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/09/08 08:44:00  ID:iwl1FmH8.net(20)
>930
ベルヌーイの式はどうやって証明するのですか?

ベルヌーイの不等式
r≦0 or 1≦r のとき、(1+x)^r ≧ 1+rx
0≦r≦1 のとき、(1+x)^r ≧ 1+rx

とは別物ですか?
コメント2件

933
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/09/08 12:36:41  ID:Xvh/PpT+.net(8)
>932

>854 を参照。

a→1/a とすれば
 a^b ≦ 1-b+ab

1<b のときは不等号が逆向き。

a=1+x、b=r

934
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/09/08 12:59:14  ID:Xvh/PpT+.net(8)
>931

>930 より
a^(2a)+ b^(2b)≧ a^(2b)+ b^(2a),
巡回的にたして AM-GMする。
a^(2a)+ b^(2b)+ c^(2a)≧{a^(2b)+ b^(2c)+ c^(2a)}/2 +{a^(2c)+ b^(2a)+ c^(2b)}/2
≧ √{a^(2b)+ b^(2c)+ c^(2a)} √{a^(2c)+ b^(2a)+ c^(2b)} ……(★)
コメント4件

935
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/09/08 14:38:39  ID:iwl1FmH8.net(20)
>928
> ≧ 2^{abc√(ab)} + 2^{abc√(bc)} + 2^{abc√(ca)}

≧ 2^{√(abc√(ab))} + 2^{√(abc√(bc))} + 2^{√(abc√(ca))}
の間違いだな。

936
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/09/08 14:38:44  ID:Xvh/PpT+.net(8)
>930 >934

〔補題〕
0<a≦b, 0<c≦d のとき
a^c + b^d ≧ a^d + b^c,

(略証)
m =(c+d)/2,h=(d-c)/2 > 0 とおく。
題意より、0 < a^m < b^m,0 < a^h < b^h,
よって
a^c - a^d - b^c + b^d
= a^(m-h)- a^(m+h)- b^(m-h)+ b^(m+h)
= a^m{a^(-h)- a^h}+ b^m{b^h - b^(-h)}
≧ a^m(b^h - a^h){1 +(ab)^(-h)}
≧ 0,
簡単だった...
コメント6件

937
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/09/08 14:40:27  ID:iwl1FmH8.net(20)
>934
むむむ…。すると >930 の補題の 0<a,b≦1 のときが示されれば解決ですか。

938
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/09/08 14:48:12  ID:iwl1FmH8.net(20)
>936
キタ━(゚∀゚)━!!!

939
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/09/08 16:10:35  ID:iwl1FmH8.net(20)
検索したら…

面白スレ六問目 208 (出題のみ解答なし)
a, b >0 のとき、(a^b+b^a)/(a^a+b^b) のとりうる範囲を求めよ。

940
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/09/08 16:24:51  ID:iwl1FmH8.net(20)
>930
> >925
> 上は対数とってチェビシェフで。

私は (a-b)(log a - log b) ≧0 を巡回させて加えて整理しますた。

チェビシェフって、具体的にどうやるんですか? きっと前スレも同じ方法。

> 正の数a,b,cに対して (a^b)(b^c)(c^a)≦(a^a)(b^b)(c^c) を示せ。
> 対数とってチェビシェフ
コメント2件

941
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/09/08 18:03:30  ID:iwl1FmH8.net(20)
>930
> 〔補題〕
> a,b>0 のとき a^a + b^b ≧ a^b + b^a,

この間からずっと探していて、先程手書きメモから発掘。そのメモによると、

 a,b,c,d>0 かつ ab≧cd かつ b = min{a,b,c,d} のとき、a+b ≧ c+d ……(☆)

 対称性から a≧b として、(a^a)(b^b) ≧ (a^b)(b^a) かつ a^a, a^b, b^a ≧ b^b で、(☆)を適用。

とだけ書きなぐってあった。例によって出典メモもなく、数学板の過去ログを検索してもヒットせず。
コメント2件

942
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/09/08 22:02:47  ID:iwl1FmH8.net(20)
>936と、第2章 466-467 より、
a, b >0 に対して、a^a + b^b ≧ a^b + b^a >1

第3章 109-111 より、
a, b, c >0 に対して、a^b + b^c + c^a >1

[疑問]
次式は成り立ちそうだけど、証明が分かりませぬ。
a^a + b^b + c^c ≧ a^b + b^c + c^a

943
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/09/08 23:40:24  ID:iwl1FmH8.net(20)
>940
もしかして、並べ替え不等式のことを言っているのかな?
 同順序積の和 ≧ 乱順序積の和 ≧ 逆順序積の和

チェビシェフは、
 同順序積の和の平均 ≧ 平均の積 ≧ Σ 乱順序積の和の平均

944
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/09/09 00:56:44  ID:fG3xA4Le.net(4)
>936
簡単ぢゃなかった......orz
0<a,b≦1 のときは?だった。

凡例 0<a<1/3,b=2a,c=1, d=2,(c/a = d/b ≧3)

大風呂敷 広げすぎたけど、 c/a = d/b ≦ e に限れば成り立つかも。

懲りずに作るでござる。

〔補題〕
0<a,b,0≦k≦e のとき
 a^(ka)+ b^(kb)≧ a^(kb)+ b^(ka),

>941
 a≧b ⇒ a^a,b^a ≧ b^b が成立たないところが…

945
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/09/09 07:38:47  ID:PPAy6pZb.net(6)
>930
左側 (a^b + b^a)≦ 1 + ab はどうやって出すんですか?

 1 + ab = (1-b+ab) + b

と分けて、ベルヌーイを使うのかなと思ったら、

 a^b ≧ 1-b+ab
 b^a ≦ b

で不等号の向きが揃わない…

946
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/09/09 09:14:36  ID:PPAy6pZb.net(6)
>930
> ・0<a≦1≦b のとき、ベルヌーイより、
> (左辺)≦ 1 + ab ≦ a + b ≦(右辺),

ここですが、a^a ≧ a^b、b^a ≧ b^b だから、差をとれば終わりでは?

(a^a + b^b) - (a^b + b^a)
= (a^a - a^b) + (b^b - b^a)
≧0
コメント2件

947
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/09/09 17:18:16  ID:fG3xA4Le.net(4)
>946
その通りでつ。


>783 に追加

a,b,c>0 に対して、
(aa+bb+cc)^3 ≧(aa+2bb)(bb+2cc)(cc+2aa)≧(aa+ab+bb)(bb+bc+cc)(cc+ca+aa)≧…

>754 (1)(5)より
コメント4件

948
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/09/09 17:20:25  ID:+iIUOrjC.net(2)
トーフトの不等式

949
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/09/09 18:15:23  ID:PPAy6pZb.net(6)
>947
すまぬ、不等号の向きが逆でござる。
>757の証明では、修正済みですね。

>754 (1) 【訂正】
a, b, c >0 に対して、(ab+bc+ca)^3 ≦ (a^2 + 2b^2)(b^2 + 2c^2)(c^2 + 2a^2)
コメント2件

950
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/09/10 17:07:26  ID:GGGugCiK.net(2)
>949
>754 (1)

[第3章.727]より
(aa+2bb)(bb+2cc)(cc+2aa)≧(1/27){(a+2b)(b+2c)(c+2a)}^2 ≧(ab+bc+ca)^3,

951
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/09/11 02:33:18  ID:Ls/z+whG.net(22)
[第3章 843、845] より、

a≧b≧0,c≧d≧0のとき、

√(a^2+ad+d^2)+√(b^2+bc+c^2)≧√(a^2+ac+c^2)+√(b^2+bd+d^2)
コメント4件

952
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/09/11 07:41:49  ID:Ls/z+whG.net(22)
>951 の類題
[第1章 68、71] より、

実数x,y,zに対して √(x^2+y^2-xy)+√(y^2+z^2-yz) ≧ √(z^2+x^2+zx)
コメント4件

953
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/09/11 08:02:10  ID:Ls/z+whG.net(22)
>951は、根号内が負にならないように x, y, z >0 (≧0) とすべきだよな。
コメント4件

954
389[sage]   投稿日:2017/09/11 09:18:52  ID:Bpls46N5.net(2)
>389の不等式について

元の問題(>515)の2は、その対偶に当たる
∃k, ∀(x,y)>0, (x^v)(y^w)≦k((x^p)(y^q)+(x^r)(y^s)+(x^t)(y^u) ⇒ (Dが△ABCの内部および周上)
(>389の←)
を示せばよい?

近大発表の解答を探したが、既刊の2冊には載っていなかった

『21世紀無差別級数学バトル』
http://www.amazon.co.jp/dp/4894714248/
『白熱!無差別級数学バトル』
http://www.amazon.co.jp/dp/4535786720/
コメント4件

955
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/09/11 10:40:19  ID:Ls/z+whG.net(22)
>954
2009年の問題だから、数蝉2010年8月号P.60
近畿大学『数学コンテスト』/12年の歩みを振り返って/大野泰生+佐久間一浩
https://www.nippyo.co.jp/shop/magazine/5364.html

に解説があるやもしれぬ… ('A`)

956
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/09/11 14:27:23  ID:lLjA+cjN.net(6)
>952

3直線 OA、OB、OC を
 ∠AOB = ∠BOC = ∠AOC/2 = π/3,
となるようにとる。
OA上、座標xの点をX,
OB上、座標yの点をY,
OC上、座標zの点をZ とする。
このとき
 XY = √(xx-xy+yy),
 YZ = √(yy-yz+zz),
 ZX = √(zz+zx+xx),
 XY + YZ ≧ ZX,

等号成立条件は y(x+z)=xz.{x=z=2y も含む.}

>953 ?
コメント10件

957
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/09/11 14:33:07  ID:Ls/z+whG.net(22)
>956
問題文の x,y,z は実数だけど、実数でも成り立つのかな?
コメント2件

958
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/09/11 16:04:03  ID:CvOz8PAv.net(2)
>953
>957
非負でなくてはならない条件はつかってないと思うけどどういうこと?

959
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/09/11 16:19:08  ID:Ls/z+whG.net(22)
う〜ん、私が理解できていないだけみたい。

>956
> OA上、座標xの点をX,

この意味が分かりません。
コメント2件

960
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/09/11 16:28:39  ID:Ls/z+whG.net(22)
>42
> 〔問題216〕
> 実数a〜dについて
> (aa+ac+cc) (bb+bd+dd)≧(3/4) (ab+bc+cd)^2,
> (aa+ac+cc) (bb+bd+dd)≧(3/4) (ad-bc)^2,

上側
4(a^2 + ac + c^2)(b^2 + bd + d^2) - 3(ab + bc + cd)^2
= (ab - bc + cd + 2da)^2
≧ 0

下側は、Wolfram 先生に以下の2通りを処理させても、ずっと 『COMPUTING』 のまま結果を出さない。

factor 4(a^2 + ac + c^2)(b^2 + bd + d^2) - 3(ad - bc)^2
expand 4(a^2 + ac + c^2)(b^2 + bd + d^2) - 3(ad - bc)^2

つまり因数分解できないんだろうけど、長い式は展開してくれないのかな?
平方和になるのかな?
コメント2件

961
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/09/11 16:38:45  ID:Ls/z+whG.net(22)
手計算で展開してから、Wolfram先生に因数分解してもらった。

4(a^2 + ac + c^2)(b^2 + bd + d^2) - 3(ad - bc)^2
= 4(a^2b^2 + b^2c^2 + c^2d^2 + d^2a^2 + a^2bd + ab^2c + acd^2 + bc^2d + abcd) - 3(a^2d^2 - 2abcd + b^2c^2)
= 4a^2b^2 + b^2c^2 + 4c^2d^2 + d^2a^2 + 4a^2bd + 4ab^2c + 4acd^2 + 4bc^2d + 10abcd
= (2ab+ad+bc+2cd)^2
≧0

962
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/09/11 17:20:43  ID:IDWqxmZH.net(2)
>959
OAを,Oを原点とする座標軸みたいに考えて言ってる

要するに 直線OA=直線OXであって |OX|=x となるような点Xを取りなさいということ.
コメント2件

963
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/09/11 17:22:26  ID:lLjA+cjN.net(6)
>956
直線OAをx軸とし、OAの向きを正とします。
もちろん、x軸,y軸,z軸は直交しません(斜交軸)


>960-961

>47-48 から
(aa+ac+cc)(bb+bd+dd)=(ad-bc)^2 +(ad-bc)(ab+bc+cd)+(ab+bc+cd)^2,
これと
xx+xy+yy ≧(3/4)xx,(3/4)yy
から出ますけど...
コメント2件

964
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/09/11 17:52:18  ID:lLjA+cjN.net(6)
>952
では図に頼らず代数的に...

LHS^2 - RHS^2 = 2√(xx-xy+yy)√(yy-yz+zz)+(2yy-t)
={4(xx-xy+yy)(yy-yz+zz)-(2yy-t)^2}/{2√(xx-xy+yy)√(yy-yz+zz)-2yy+t}
= 3DD /{2√(xx-xy+yy)√(yy-yz+zz)-2yy+t}
≧ 0,
ここに、t = xy+yz+zx,
等号成立条件は D = xy+yz-zx = 0,

965
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/09/11 18:32:41  ID:Ls/z+whG.net(22)
>962-963
ありがとうございます! 今から考えてみます。


>963
じゃあ xx+xy+yy ≧3xy だから、次式も成り立ちますね。
(aa+ac+cc) (bb+bd+dd)≧ 3(ad-bc)(ab+bc+cd)

966
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/09/11 21:29:10  ID:Ls/z+whG.net(22)
>956
たとえば x>0, y<0 のときに、
XY = √(xx-xy+yy) じゃなく
XY = √(xx+xy+yy) になりませんか?
コメント2件

967
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/09/11 21:30:28  ID:Ls/z+whG.net(22)
いやいやいや、>966は忘れてくだされ。負のときは角度が変わるから、大丈夫なんだね。

968
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/09/12 02:14:22  ID:YsdDbYfo.net(6)
>389 >954

⇒ は簡単なんでつが… >568

三角形を回して考えるのかな。
p’,r’,t’< v’ ならば x→∞
p’,r’,t’ > v’ ならば x→0
q’,s’,u’< w’ ならば y→∞
q’,s’,u’ > w’ ならば y→0
として反例を探す。

969
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/09/12 03:54:04  ID:YsdDbYfo.net(6)
>947

AM-GM で
(aa+2bb)(bb+2cc)(cc+2aa)-(aa+ab+bb)(bb+bc+cc)(cc+ca+aa)
={(aabb+c^4)/2 +2ccaa}(a-b)^2 +{(bbcc+a^4)/2 +2aabb}(b-c)^2 +{(ccaa+b^4)/2 +2bbcc}(c-a)^2 + 2abc
≧ 2ccaa(a-b)^2 + 2aabb(b-c)^2 + 2bbcc(c-a)^2 +2abc
= 2abc{(ca/b)(a-b)^2 +(ab/c)(b-c)^2 +(bc/a)(c-a)^2 + }
≧ 0,
ここに、 =(a-b)(b-c)(c-a),

〔補題〕
-1/2 < /{(ca/b)(a-b)^2 +(ab/c)(b-c)^2 +(bc/a)(c-a)^2}≦(7-3√3)/22 = 0.0819930717

左側は(a,b,c)=(a,1,1/a)で a→∞ のとき近づく。
さて、どうやって示すんでしょうね...
コメント2件

970
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/09/12 09:02:09  ID:bjO3mpkI.net(2)
和積版並べ替え不等式で一発

971
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/09/12 14:13:31  ID:YsdDbYfo.net(6)
>969

AM-GMで
(aabb+c^4)/2(a-b)^2 +(bbcc+a^4)/2(b-c)^2 +(ccaa+b^4)/2(c-a)^2 + abc
≧ abc{c(a-b)^2 + a(b-c)^2 + b(c-a)^2 + }
= 2(abb+bcc+caa - 3abc)
≧ 0,     [第4章.626]
を使うと、
(aa+2bb)(bb+2cc)(cc+2aa)-(aa+ab+bb)(bb+bc+cc)(cc+ca+aa)
≧ abc{2(ca/b)(a-b)^2 + 2(ab/c)(b-c)^2 + 2(bc/a)(c-a)^2 + },

972
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/09/12 20:07:31  ID:bmf0+g5o.net(7)
【問題】 (出典 2016 TOT)
a, b, c >0 に対して、a + (ab)^(1/2) + (abc)^(1/3) ≦ (4/3)*(a+b+c)

TOTって何ぞや?

       ___ 
彡     /  ≧ \    彡 ビュゥ……
  彡   |:::  \ ./ |  彡
      |:::: (● (●|    書店で立ち読み中に
      ヽ::::......ワ...ノ    見かけた問題でござる
        人つゝ 人,,         
      Yノ人 ノ ノノゞ⌒〜ゞ    
    .  ノ /ミ|\、    ノノ ( 彡
     `⌒  .U~U`ヾ    丿
             ⌒〜⌒
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973
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/09/12 20:10:11  ID:bmf0+g5o.net(7)
【おまけ】 難易度:鼻くそ
a,b,c,d,e>0 に対して、a^2 + b^2 + c^2 + d^2 + e^2 ≧ (a+b+c+d)e
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974
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/09/12 23:02:36  ID:bmf0+g5o.net(7)
>972 を改造しようとして、λの最小値を出そうとしたが、挫折したでござる。

a, b, c, d >0 に対して、a + (ab)^(1/2) + (abc)^(1/3) + (abcd)^(1/4) ≦ λ*(a+b+c+d)
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975
不等式ヲタ ( ゚∀゚)[sage]   投稿日:2017/06/25 17:20:59  ID:dLSgUfzK.net(18)
ある人は蝶を集め、ある人は切手を収集し、ある人は不等式を集める…
          ___          ----- 参考文献 和書[3] P.65 -----
    |┃三 ./  ≧ \   
    |┃   |::::  \ ./ | 
    |┃ ≡|::::: (● (● |  不等式と聞ゐちゃぁ
____.|ミ\_ヽ::::... .ワ......ノ     黙っちゃゐられねゑ!
    |┃=__    \           ハァハァ…
    |┃ ≡ )  人 \ ガラッ

まとめWiki http://wiki.livedoor.jp/loveinequality/

過去スレ
・不等式スレッド (第1章)数学板の別スレッドへ
・不等式への招待 第2章 数学板の別スレッドへ
・不等式への招待 第3章 数学板の別スレッドへ
・不等式への招待 第4章 不等式への招待 第4章
・不等式への招待 第5章 不等式への招待 第5章
・不等式への招待 第6章 不等式への招待 第6章
・不等式への招待 第7章 不等式への招待 第7章
・過去スレのミラー置き場 http://cid-d357afbb34f5b26f.skydrive.live.com/browse.aspx/.Public/

姉妹サイト(?)
キャスフィ 高校数学板 不等式スレ2
http://www.casphy.com/bbs/test/read.cgi/highmath/1359202700/l50
Yahoo! 掲示板 トップ > 科学 > 数学
http://messages.yahoo.co.jp/bbs?action=t&;board=1835554&sid=1835554&type=r&first=1
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976
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/06/25 17:21:50  ID:dLSgUfzK.net(18)
不等式の和書
[1] 不等式(数学クラシックス11),ハーディ・リトルウッド・ポリヤ,シュプリンガー,2003年
   http://amazon.jp/o/ASIN/4431710566
[2] 不等式(数学選書),大関信雄・青木雅計,槇書店,1967年(絶版)
[3] 不等式への招待(数学ゼミナール6),大関信雄・大関清太,近代科学社,1987年
   http://amazon.jp/dp/4844372661
[4] 不等式入門(数学のかんどころシリーズ9),大関清太,共立出版,2012年
   http://www.kyoritsu-pub.co.jp/bookdetail/9784320019898
[5] 不等式入門(数学ライブラリー教養篇4),渡部隆一,森北出版,2005年
   http://amazon.jp/o/ASIN/4627010494
[6] 不等式の工学への応用、海津聰、森北出版,2004年
   http://amazon.jp/o/ASIN/4627075812
[7] 不等式(モノグラフ4),染取弘,科学新興新社,1990年
   http://amazon.jp/o/ASIN/4894281740
[8] 不等式 〜 21世紀の代数的不等式論 〜,安藤哲哉,数学書房,2012年
  http://amazon.jp/dp/4903342700
[9] 美しい不等式の世界: 数学オリンピックの問題を題材として,佐藤淳郎(訳),朝倉書店,2013年
  http://amazon.jp/dp/4254111371
[10] 思考力を鍛える不等式(大学への数学・別冊)、栗田哲也、東京出版、2014年
  http://www.amazon.co.jp/dp/4887422091/
コメント1件

977
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/06/25 17:22:38  ID:dLSgUfzK.net(18)
不等式の項目を含む和書
[1] 数学トレッキングツアー第3章「相加平均≧相乗平均」,東京理科大学数学教育研究所,教育出版,2006年
   http://amazon.jp/o/ASIN/4316801988
[2] 獲得金メダル! 国際数学オリンピック第1章「不等式」,小林一章,朝倉書店,2011年
   http://www.asakura.co.jp/books/isbn/978-4-254-11132-3/
[3] 数学オリンピック事典,数学オリンピック財団,朝倉書店,2001年
   http://amazon.jp/o/ASIN/4254110871
[4] 三角法の精選103問(シリーズ:数学オリンピックへの道 2),T.アンドレースク・Z.フェン著,朝倉書店,2010年
   http://www.asakura.co.jp/books/isbn/978-4-254-11808-7/
[5] 最大値と最小値の数学,P.J.ナーイン,シュプリンガー,2010年
   http://amazon.jp/dp/4621062131
[6] 最大・最小(数学one Point双書24),服部泰,共立出版,1979年
   http://amazon.jp/dp/4320012445

不等式の洋書
[1] The Cauchy-Schwarz Master Class: An Introduction to the Art of Mathematical Inequalities,J. M. Steele,Cambridge Univ. Pr.,2004年
   http://amazon.jp/o/ASIN/052154677X
[2] Inequalities: A Mathematical Olympiad Approach,Birkhaeuser Basel,2009年
   http://amazon.jp/dp/3034600496
[3] Inequalities: Theorems (Techniques and Selected Problems),Zdravko Cvetkovski,Springer,2012年
   http://amazon.jp/gp/product/3642237916
[4] Analytic Inequalities,Xingzhi Zhan,Dragoslav S., Dr. Mitrinovic,Springer,1970年
   http://www.amazon.co.jp/dp/3642999727/
[5] Matrix Inequalities (Lecture Notes in Mathematics, No.1790),Xingzhi Zhan,Springer,2002年
   http://amazon.jp/dp/3540437983
[6] Matrix Analysis (Graduate Texts in Mathematics),Rajendra Bhatia,Springer,1996年
   http://amazon.jp/dp/0387948465
コメント1件

978
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/06/25 17:23:11  ID:dLSgUfzK.net(18)
不等式の記事
[1] 特集 「現代の不等式」 (数理科学 No.386) ,サイエンス社,1995年8月号(絶版)
[2] 特集 「不等式の世界」 (数学セミナー No.2-569) ,日本評論社,2009年2月号
   http://amazon.jp/o/ASIN/B001O9UIZ8
[3] 連載 「不等式の骨組み」 (大学への数学 vol.53,全12回,各4ページ),栗田哲也,東京出版,2009年4月号-2010年3月号,2014年に書籍化(不等式の和書[10])
   http://www.tokyo-s.jp/index.shtml

不等式の埋蔵地
[1] RGMIA http://rgmia.vu.edu.au/
[2] Crux Mathematicorum Synopses http://www.journals.cms.math.ca/CRUX/synopses/
[3] Maths problems http://www.kalva.demon.co.uk/
[4] Mathematical Inequalities & Applications http://www.ele-math.com/
[5] American Mathematical Monthly http://www.maa.org/pubs/monthly.html
[6] Problems in the points contest of K&ouml;MaL http://www.komal.hu/verseny/feladatok.e.shtml
[7] IMO リンク集 http://imo.math.ca/
[9] Mathematical Olympiads Correspondence Program http://www.cms.math.ca/Competitions/MOCP/
[10] Mathematical Excalibur http://www.math.ust.hk/excalibur/
[11] MathLinks Contest http://www.mathlinks.ro/Forum/contest.html
[12] MATH PROBLEM SOLVING WEB PAGE http://www.math.northwestern.edu/~mlerma/problem_solving/#proposed_problems (要自動登録)
[13] Wolfram MathWorld http://mathworld.wolfram.com/
[14] GRA20 Problem Solving Group http://www.mat.uniroma2.it/~tauraso/GRA20/main.html
[15] American Mathematical Monthly Problems http://www.mat.uniroma2.it/~tauraso/AMM/amm.html
[16] Journal of Inequalities and Applications http://www.hindawi.com/journals/jia/
[17] すうじあむ http://suseum.jp/gd/all_berry_list/3504

海外不等式ヲタの生息地
[1] Journal of Inequalities in Pure and Applied Mathematics http://jipam.vu.edu.au/
[2] MIA Journal http://www.mia-journal.com/
[3] MathLinks Math Forum http://www.mathlinks.ro/Forum/forum-55.html

979
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/06/25 17:23:50  ID:dLSgUfzK.net(18)
  いいぜ ヘ(^o^)ヘ
        |∧
        /

てめえが
不等式を
集めるってなら

         /
      (^o^)/
     /( )
    / / >

   (^o^) 三
   (\\ 三
   < \ 三

`\
(/o^)
( / まずは
/く そのふざけた
   不等式を証明するッ!
コメント4件

980
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/06/25 17:30:41  ID:dLSgUfzK.net(18)
     ///////
    ///////____________
    ///////  ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄| ̄ ̄
   ///////      ___    (~) チリンチリン
   ///////     /  ≧ \  ノ,,
  ///////     |::::: (● (● |    
  ///////      ヽ::::... .ワ.....ノ    日本の夏
 ///////      (つ へへ つ      不等式の夏

981
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/06/25 18:09:14  ID:dLSgUfzK.net(18)
         \     不等式と言えば?         / Schurムズ… Jensen最強  Lehmusって
          \        ∧_∧ ∩AM-GMだろ / ∧_∧     ∧_∧      ∧_∧
Markovの不等式 \      ( ・∀・)ノ______  /  ( ;・∀・)    (; ´Д`)    (´Д`; )
の証明おしえて ∧ ∧\    (入   ⌒\つ  /|. /  ⊂   ⊂ )    ( つ ⊂ )    ( ⊃   ⊃
         (゚Д゚ )_\    ヾヽ  /\⌒)/  |/     〉 〉\\   〉 〉 く く   //( (
     / ̄ ̄∪ ∪ /| \  || ⌒| ̄ ̄ ̄|    /     (__) (_)  (_.)(_)  (_) (__)
   /∧_∧Polyaを読め \    ∧∧∧∧ /           
  / (;´∀` )_/       \  < 不    > レスの半分は自作自演、残りはなりすましでできてるよ
 || ̄(     つ ||/         \< 等 ま >  集めた不等式を同化し改良するから、抵抗は無意味だよ
 || (_○___)  ||            < 式    > 群生体だから無限の知識と無尽蔵の体力を持ってるよ
――――――――――――――― .< ヲ た >―――――――――――――――――――――
         ∧_∧ いつもながら < タ   >    ∧_∧テヘッ∧_∧   / ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄
         ( ;´∀`) 見事じゃのぉ <か  > \   ( ´∀`)  (´∀` )<不等式(大関・青柳)
    _____(つ_ と)___       ./∨∨∨ 不\ (    )__(    )  \__復刊キボンヌ!
 . / \        ___ \キタァ  /  ∧_∧等 \∧ ∧   ∧ ∧  ̄ ̄ ̄/.//| ̄ ̄ ̄ ̄ ̄
 .<\※ \____.|i\___ヽ.ウヒョ ./γ(⌒)・∀・ ) 式 \   ;) (     ;)   / ┃| |
  ヽ\ ※ ※ ※|i i|.====B|i.ヽ  /(YYて)ノ   ノ  ヲ  \↑ ̄ ̄↑\)_/     |__|/
    \`ー──-.|\.|_|◎_|_.i‐>/ \  ̄ ̄ ̄ ̄\  タ   \数ヲタ  | | ┃
      ̄ ̄ ̄ ̄|. | ̄ ̄ ̄ ̄| / ||ヽ|| ̄ ̄ ̄ ̄||  め    \   .|_)
コメント2件

982
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/06/25 18:09:37  ID:dLSgUfzK.net(18)
三角不等式
AM-GM不等式
Cauchyの不等式
Chebyshevの不等式
Holderの不等式
Jensenの不等式
並べ替え不等式
Maclaurinの不等式
Newtonの不等式
Power Mean不等式
Minkovskiの不等式
Bernoulliの不等式
Muirheadの不等式
Karamataの不等式
ぬるぽビッチの不等式

983
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/06/25 18:37:41  ID:MnGS57Na.net(2)
>7
不等式(大関・青柳)
復刊キボンヌ!

不等式への招待
は尼でオンデマンド版が買えるけど

984
[sage]   投稿日:2017/06/25 18:45:17  ID:i2ZaylUY.net(4)
★★★忖度と処世術に汚染された日本人:権威主義的な支配と損したくない人達★★★
  〜〜〜芳雄氏が言う『研究者としての基本的態度』とは一体何だろうか〜〜〜

佐藤幹夫:自分自身の素朴な疑問に真剣に耳を傾ける。⇒不滅の金字塔を打ち立てる。
糞父芳雄:人間関係を駆使し他人を操り根回しを行う。⇒ハリボテお教授として君臨。

隠蔽の財務省、嘘吐きの文科省、そして問答無用に屈服させる官邸。コレでも先進国?

(佐藤師がしてたのは本物の研究だ。だが)芳雄氏がしてたのはケケケ、ケンキュウ。
外見を繕って偉そう見せさえすれば何でもヨロシ。ほんで教授になりさえすれば研究の
中身なんて何でもヨロシ。そもそも論文なんてモンは、外国の権威ある雑誌に掲載され
さえすれば、その中身のギロンなんて何でもヨロシ。そやし適当に書いてしまえ〜〜〜
中身がダメだと知ってて、ソレでもSTAP論文を外国に投稿して受理される。発覚したら
適当に言い逃れる醜い態度。オツムのダメな大学院生に「虚偽の良品ラベル」を貼って
世間に出荷するハリボテ大学は詐欺行為そのもの。世間に媚びを売って客商売に徹し、
『売れさえすれば学生の脳の質なんて何でもヨロシ』と居直る大学。そしてブランド名
だけを見て仕入れる世間。●●は一流大学やさかい、きっと優秀なエリートやろwww

中身を何も説明しないで、問答無用に上から押し付ける。ソレをイチャモンで騒いで、
そして邪魔して潰そうとする周囲の下々。大学教員も国会議事堂も、そして馬鹿板人の
遣ってる事も皆同じだ。日本人はバカ民族であり、今は外国にもちゃんとバレてるので
海外からも軽蔑されるだけであり、そのうちにどの国からも信用されなくなるだろう。

近視眼的で打算的な人生観を息子に押し付ける父親と、大脳に栄養が足りてない連中が
跋扈する永田町や霞が関に支配される国に住む不幸、一体どうしてくれるというのか。

■■■馬鹿板を続けたらオツムがスポンジ脳になるのでサッサと足を洗うべき。■■■


コメント1件

985
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/06/25 18:45:50  ID:dLSgUfzK.net(18)
>9
( ゚∀゚)つ [2] 不等式(数学選書),大関信雄・青木雅計,槇書店,1967年(絶版)

986
[sage]   投稿日:2017/06/25 18:49:54  ID:i2ZaylUY.net(4)
★★★忖度と処世術に汚染された日本人:権威主義的な支配と損したくない人達★★★
  〜〜〜芳雄氏が言う『研究者としての基本的態度』とは一体何だろうか〜〜〜

佐藤幹夫:自分自身の素朴な疑問に真剣に耳を傾ける。⇒不滅の金字塔を打ち立てる。
糞父芳雄:人間関係を駆使し他人を操り根回しを行う。⇒ハリボテお教授として君臨。

隠蔽の財務省、嘘吐きの文科省、そして問答無用に屈服させる官邸。コレでも先進国?

(佐藤師がしてたのは本物の研究だ。だが)芳雄氏がしてたのはケケケ、ケンキュウ。
外見を繕って偉そう見せさえすれば何でもヨロシ。ほんで教授になりさえすれば研究の
中身なんて何でもヨロシ。そもそも論文なんてモンは、外国の権威ある雑誌に掲載され
さえすれば、その中身のギロンなんて何でもヨロシ。そやし適当に書いてしまえ〜〜〜
中身がダメだと知ってて、ソレでもSTAP論文を外国に投稿して受理される。発覚したら
適当に言い逃れる醜い態度。オツムのダメな大学院生に「虚偽の良品ラベル」を貼って
世間に出荷するハリボテ大学は詐欺行為そのもの。世間に媚びを売って客商売に徹し、
『売れさえすれば学生の脳の質なんて何でもヨロシ』と居直る大学。そしてブランド名
だけを見て仕入れる世間。●●は一流大学やさかい、きっと優秀なエリートやろwww

中身を何も説明しないで、問答無用に上から押し付ける。ソレをイチャモンで騒いで、
そして邪魔して潰そうとする周囲の下々。大学教員も国会議事堂も、そして馬鹿板人の
遣ってる事も皆同じだ。日本人はバカ民族であり、今は外国にもちゃんとバレてるので
海外からも軽蔑されるだけであり、そのうちにどの国からも信用されなくなるだろう。

近視眼的で打算的な人生観を息子に押し付ける父親と、大脳に栄養が足りてない連中が
跋扈する永田町や霞が関に支配される国に住む不幸、一体どうしてくれるというのか。

■■■馬鹿板を続けたらオツムがスポンジ脳になるのでサッサと足を洗うべき。■■■


987
132人目の素数さん[]   投稿日:2017/06/26 00:45:51  ID:69lL3x+q.net(2)
>12 こんの、ハゲーーーっ!!
コメント1件

988
132人目の素数さん[]   投稿日:2017/06/26 02:02:42  ID:WMgNNINg.net(2)
1001 1001 Over 1000 Thread
このスレッドは1000を超えました。
もう書けないので、新しいスレッドを立ててくださいです。。。
life time: 1569日 3時間 9分 28秒

約4年かかってて草

989
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/06/26 03:33:28  ID:ChRIm5Q7.net(2)
全国521駅「10年累計鉄道自殺数」ランキング
2016年06月22日
西八王子駅(東京)……39件
桶川駅(埼玉)…………34件
川崎駅(神奈川)………31件
新小岩駅(東京)………30件
新宿駅(東京)…………30件
八王子駅(東京)………30件
http://toyokeizai.net/articles/-/123503


JR川崎駅前にマタハリー(ピア、サントロぺ)のパチンコ台が約1800台、パチスロ台が約1000台ほどある。

その台はすべて、遠隔操作されています。

大勝ちしてる人のほとんどが内子です(ピアは内子の人数が日本一多い、詐欺犯罪組織です)。

今は大手のパチンコ店の大当たりはすべて遠隔大当たりなんです。

大当たりはアホ幹部がパソコンを1、3回クリックして大当たりさせています。

借金が原因で自殺してる人が多いけど、その原因は遠隔大当たりしかないパチンコ、パチスロなんです。

新小岩と新宿にはマルハンとエスパスがあります(エスバスは新宿歌舞伎町で一番大きなパチンコ店)。

西八王子駅の隣駅の八王子駅にはピアがあります(八王子駅にはパチンコ店がたくさんあります)。

990
[sage]   投稿日:2017/06/26 04:42:31  ID:dYpMJpMg.net(20)

991
[sage]   投稿日:2017/06/26 04:42:55  ID:dYpMJpMg.net(20)

992
[sage]   投稿日:2017/06/26 04:43:15  ID:dYpMJpMg.net(20)

993
[sage]   投稿日:2017/06/26 04:43:33  ID:dYpMJpMg.net(20)

994
[sage]   投稿日:2017/06/26 04:43:50  ID:dYpMJpMg.net(20)

995
[sage]   投稿日:2017/06/26 04:44:07  ID:dYpMJpMg.net(20)

996
[sage]   投稿日:2017/06/26 04:44:23  ID:dYpMJpMg.net(20)

997
[sage]   投稿日:2017/06/26 04:44:42  ID:dYpMJpMg.net(20)

998
[sage]   投稿日:2017/06/26 04:45:01  ID:dYpMJpMg.net(20)

999
[sage]   投稿日:2017/06/26 04:45:19  ID:dYpMJpMg.net(20)

1000
132人目の素数さん[]   投稿日:2017/06/28 11:25:43  ID:GT7HZs9l.net(2)
Σ(a_i)^2≧(1/n)(Σ(a_i))^2

和は1からnまで
a_iは実数です

これって成り立ちますかね?


a^2+b^2≧(1/2)(a+b)^2
a^2+b^2+c^2≧(1/3)(a+b+c)^2
みたいな感じです

成り立つならその証明を、成り立たないなら反例をおしえてほしいです

1001
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/06/28 12:26:25  ID:/JHIATvZ.net(2)
>26
まずは、ageるな。
ageると、¥が荒らしに来るから。

1002
[sage]   投稿日:2017/06/28 13:00:59  ID:A63zUC8I.net(2)

1003
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/06/28 13:01:24  ID:qKgfuKoo.net(6)
>26
成り立つことの証明は
分からない問題はここに書いてね428
の>116に書いてあるよ。

1004
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/06/28 13:05:44  ID:qKgfuKoo.net(6)
>26
B=2Σ_{1≦i<j≦n}(a_i・a_j)
から各積 a_i・a_j 1≦i<j≦n を取り出すときは
B の 2Σ_{1≦i<j≦n}(a_i・a_j) の部分から取るという話ね。

1005
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/06/28 13:08:44  ID:qKgfuKoo.net(6)
>26
>30の訂正:
B の 2Σ_{1≦i<j≦n}(a_i・a_j) の部分 → B の Σ_{1≦i<j≦n}(a_i・a_j) の部分

1006
[sage]   投稿日:2017/06/29 01:28:16  ID:0RPSduFk.net(24)

1007
[sage]   投稿日:2017/06/29 01:28:36  ID:0RPSduFk.net(24)

1008
[sage]   投稿日:2017/06/29 01:28:54  ID:0RPSduFk.net(24)

1009
[sage]   投稿日:2017/06/29 01:29:13  ID:0RPSduFk.net(24)

1010
[sage]   投稿日:2017/06/29 01:29:30  ID:0RPSduFk.net(24)

1011
[sage]   投稿日:2017/06/29 01:29:50  ID:0RPSduFk.net(24)

1012
[sage]   投稿日:2017/06/29 01:30:08  ID:0RPSduFk.net(24)

1013
[sage]   投稿日:2017/06/29 01:30:25  ID:0RPSduFk.net(24)

1014
[sage]   投稿日:2017/06/29 01:30:46  ID:0RPSduFk.net(24)

1015
[sage]   投稿日:2017/06/29 01:31:03  ID:0RPSduFk.net(24)

1016
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/06/29 11:27:16  ID:W3RXb80R.net(2)
〔問題216〕
実数a〜dについて
(aa+ac+cc) (bb+bd+dd)≧(3/4) (ab+bc+cd)^2,
(aa+ac+cc) (bb+bd+dd)≧(3/4) (ad-bc)^2,

1017
[sage]   投稿日:2017/06/29 11:34:45  ID:0RPSduFk.net(24)

1018
[sage]   投稿日:2017/06/29 13:26:08  ID:0RPSduFk.net(24)

1019
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/06/29 14:31:35  ID:6Aq4M2nP.net(2)
わざわざほかのスレに貼るのやめろよ

1020
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/06/29 17:22:36  ID:VBt2ub+o.net(2)
うむ、他スレで見かけた不等式を収集するのは別だが。

1021
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/06/30 18:19:38  ID:g/dkToLH.net(4)
>42
左辺が pp+pq+qq の形になるのは、アイゼンシュタイン整数Z[ω]のノルムみたいなもの?

ナゴヤ△と関係あるの賀茂鴨

1022
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/06/30 18:39:42  ID:g/dkToLH.net(4)
>47
 z1 = a - cω,
 z2 = d - bω  (a〜d∈Z)
をアイゼンシュタイン整数とすると、
 z1・z2 = (ad-bc) - (ab+bc+cd)ω,

1023
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/07/04 01:40:04  ID:Wi3Yphfr.net(2)
>47

ナゴヤ△ = ノルムが平方数であるアイゼンシュタイン整数

1024
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/07/06 11:31:49  ID:TXO3PlHQ.net(2)
>47-49
ナゴヤ△は、乗法について閉じている。

1025
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/07/06 20:49:24  ID:nv6IrYms.net(2)
実数 x,y,z が x^2 + y^2 + z^2 =1 をみたすとき、
(x-y)(y-z)(z-x)、(2x-y)(2y-z)(2z-x) の最大値を求めよ。

1026
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/07/07 01:47:29  ID:aKMbWmCY.net(2)
>51
右:
y は x、z の中間にある、とする。
y を x、z の中間で動かすとき、
|x-y| |y-z| ≦ (1/4)|z-x|^2,
∴y=(x+z)/2(等間隔)のとき最大で
(与式)≦(1/4)|z-x|^3 ≦ 1/√2,
等号成立は(x,y,z)=(±1/√2, 0, 干1/√2)

1027
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/07/07 16:59:21  ID:A1/MZg5M.net(2)
B.4599
Solve the equation (sin x)^5 + (cos x)^5 + (sin x)^4 = 2.
https://www.komal.hu/verseny/feladat.cgi?a=honap&;h=201401&t=mat&l=en

この問題を過去スレで改造手術してなかったっけ? うまく見つけられなかった。
 -1 ≦ (sin x)^5 + (cos x)^5 + (sin x)^4 ≦ 2

いい証明方法ない蟹?

1028
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/07/08 03:52:44  ID:E7CWjLAg.net(8)
>53

sin(x) + cos(x) = y とおく。
1 - sin(x)^5 - cos(x)^5
 = (1/2) {1-sin(x)} {1-cos(x)} F(sin(x)+cos(x))
 = (1/4) (1-y)^2 F(y)
 ≧0,

F(y) = 4+3y+2yy+y^3 ≧ 8 - 5√2 > 0,

1 + sin(x)^5 + cos(x)^5
 = (1/2) {1+sin(x)} {1+cos(x)} F(sin(x)+cos(x))
 = (1/4) (1+y)^2 F(-y),
 ≧ 0,

F(-y) = 4-3y+2yy-y^3 ≧ F(√2) = 8 - 5√2 > 0,

を使うとか。

1029
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/07/08 12:59:39  ID:E7CWjLAg.net(8)
>54 

補足
F(y) = F(-√2) + (√2 +y) {2 + (1 -(1/√2) +y)^2}
≧ F(-√2)
= 8 -5√2,

訂正
1 + sin(x)^5 + cos(x)^5
 = (1/2) {1+sin(x)} {1+cos(x)} F(−sin(x)−cos(x))
 = (1/4) (1+y)^2 F(-y),
 ≧ 0,

1030
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/07/08 13:38:17  ID:E7CWjLAg.net(8)
>47-50

7 =|5+8ω|=|5ω+8|  … ナゴヤ

ただし、1+ω+ω^2 =0.


>52
(x,y,z) は単位球面上の点。
x,zを止めてyだけ動かすのは無理

1031
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/07/08 18:05:35  ID:E7CWjLAg.net(8)
>47-50

 |a - bω| = c,
 aa+ab+bb = cc,
とする。
ピタゴラス数との類推により
 a = mm-nn,
 b = (2m+n)n,
 c = mm+mn+nn,
と表わせる。

http://www.geocities.jp/ikuro_kotaro/koramu/2570_b9.htm
http://akademeia.info/index.php?アイゼンシュタイン三角形
http://ameblo.jp/knife1968/entry-10319197699.html

1032
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/07/09 17:40:44  ID:hraGPmBR.net(2)
〔Golden-Thompsonの不等式〕
A、Bがエルミート行列のとき、
 tr{exp(A+B)}≦ tr{exp(A)exp(B)}

S.Golden(1965)、C.J.Thompson(1965)
数セミ増刊「数学の問題 第(2)集」日本評論社(1978)No.96

No.96

1033
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/07/10 03:41:28  ID:pArAdsTp.net(2)
>956 (3)

{Σ[n=1〜∞] (x/n)^n}^(1/x)≒ e^(1/e + 4/x + …)

Lim[x→∞]{Σ[n=1〜∞] (x/n)^n}^(1/x)= e^(1/e)= 1.444667861

1034
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/07/12 23:08:45  ID:4DpnFpJn.net(2)
       |
   \  __  /
   _ (m) _ピコーンの等式
      |ミ|
    /  `´  \
     ('A`)
     ノヽノヽ
       くく

1035
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/07/13 00:13:50  ID:aYclV8OY.net(18)

1036
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/07/13 00:58:04  ID:oVTfqBd/.net(12)
>60
http://ja.wikipedia.org/wiki/ピコーンの等式

>61
http://ja.wikipedia.org/wiki/オノの不等式

1037
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/07/13 01:04:00  ID:aYclV8OY.net(18)
>62
オノの不等式
> 1914年に T.オノはこの式が任意の三角形について成り立つと予想したが、
> 1916年に Balitrand によって予想が誤りであることと、鋭角三角形であればこの式が成り立つことが示された。

T.オノって何者だ?

1038
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/07/13 01:06:35  ID:aYclV8OY.net(18)
Ono Inequality
鋭角三角形の3辺の長さを a, b, c, 面積を S とするとき、
27(b^2 + c^2 - a^2)(c^2 + a^2 - b^2)(a^2 + b^2 - c^2) ≦ (4S)^2

1039
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/07/13 01:19:17  ID:aYclV8OY.net(18)
不等式スレの第1章より前から集めているコレクションから引っ張り出してきた。
(つい最近まで出典をメモする習慣がなかったことを激しく後悔…)

実数 a,b,c に対して、
(b^2 + c^2 - a^2)(c^2 + a^2 - b^2)(a^2 + b^2 - c^2) ≦ {(b+c-a)(c+a-b)(a+b-c)}^2

さて、a,b,cを鋭角三角形の3辺の長さとして、この右辺と Ono Inequality の右辺の大小とか定まるかな?

1040
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/07/13 01:22:59  ID:aYclV8OY.net(18)
任意の三角形の3辺の長さ a,b,c に対して、
(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b) ≦ abc
(a+b-c)^a*(b+c-a)^b*(c+a-b)^c ≦ a^a*b^b*c^c

       |
   \  __  /
   _ (m) _ピコーン、コンナノ アッタナァ
      |ミ|
    /  `´  \
     (゚∀゚)
     ノヽノヽ
       くく

1041
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/07/13 03:52:28  ID:oVTfqBd/.net(12)
>65
a,b,cが鋭角△をなすとき
(bb+cc-aa)(cc+aa-bb)(aa+bb-cc) ≦ {(b+c-a)(c+a-b)(a+b-c)}^2 ≦(4S/√3)^3 ≦ (2s/3)^6,
S=△ABC、 s=(a+b+c)/2.

(左)
(bb+cc-aa)(cc+aa-bb)=(cc)^2 -(aa-bb)^2
=[c^2 - (a-b)^2]^2 - 2(aa+bb-cc)(a-b)^2
≦[c^2 - (a-b)^2]^2     (←鋭角)
=[(b+c-a)(c+a-b)]^2,
循環的に掛けて平方根。

(中)
相加-相乗平均より
 a+b+c ≧ 3{(b+c-a)(c+a-b)(a+b-c)}^(1/3),
 s ≧ 3{(s-a)(s-b)(s-c)}^(1/3),

S^2 = s(s-a)(s-b)(s-c)   (←ヘロンの公式)
 ≧ 3{(s-a)(s-b)(s-c)}^(4/3),

∴{(b+c-a)(c+a-b)(a+b-c)}^2 ≦ (4S/√3)^3,

(右)
S^2 = s(s-a)(s-b)(s-c) ≦ 3(s/3)^4,

∴(4S/√3)^3 ≦(2s/3)^6.

1042
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/07/13 04:08:19  ID:oVTfqBd/.net(12)
>66

a+b-c=2z,b+c-a=2x,c+a-b=2y とおく。(*)
x,y,zは任意の正数。
abc - (a+b-c)(b+c-a)(c+a-b) = (y+z)(z+x)(x+y) - 8xyz
 = x(y-z)^2 + y(z-x)^2 + z(x-y)^2
 ≧ 0,
等号は x=y=z、つまり a=b=c (正△)

* Ravi変換とかいうらしい。

1043
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/07/13 05:10:22  ID:aYclV8OY.net(18)
(1)
正の数 a,b,c に対して、
(a+b+c)^5 ≧ 27(ab+bc+ca)(ab^2 + bc^2 +ca^2)

(2)
ab+bc+ca=3 をみたす正の数 a,b,c に対して、
a+b+c ≧ abc+1

(3)
a+b+c=3 をみたす正の数 a,b,c に対して、
(a^2 + bc^4)(b^2 + ca^4)(c^2 + ab^4) ≦ 64
____________________
  <〇√
   ‖
  くく



関係ないが、27って よく出てくるよな。

[第6章.908]
a,b,c>0のとき、{(a+b+c)(ab+bc+ca)}^2≧27abc(a^3+b^3+c^3)

[第5章.560]
a,b,cが三角形の三辺の長さのとき、
8/27 ≦ (a+b)(b+c)(c+a)/{(a+2b)(b+2c)(c+2a)},

[第5章.573]
1/4<(a+b)(b+c)(c+a)/(a+b+c)^3≦8/27 [1991 IMO]

[第5章.667]
正の数a、b、c、dに対して
 2(ab + ac + ad + bc + bd + cd)^3 ≧ 27(abc + abd + acd + bcd)^2

[第2章.144]
a, b, c≧0、a+b+c=1 のとき、a^2b+b^2c+c^2a ≦ 4/27 [1999 CMO]

1044
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/07/13 05:12:12  ID:aYclV8OY.net(18)
>69の訂正

(2)
ab+bc+ca=3 をみたす正の数 a,b,c に対して、
a+b+c ≧ abc+2

1045
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/07/13 07:03:58  ID:aYclV8OY.net(18)
(4)
正の数 a,b,c に対して、
{(b+c)/a}^3 + {(c+a)/b}^3 + {(a+b)/c}^3 ≧ 24

1046
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/07/13 10:54:34  ID:aYclV8OY.net(18)
B.3989
https://www.komal.hu/verseny/feladat.cgi?a=honap&;h=200703&t=mat&l=en

a, b, c are positive numbers, such that a^2 + b^2 + c^2 + abc = 4. Prove that a+b+c<3.

A.422、B3987 にも不等式があるね。

1047
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/07/13 17:42:43  ID:oVTfqBd/.net(12)
>71
(4)
(b+c)/a=x, (c+a)/b=y, (a+b)/c=z とおく。

x^3 + y^3 + z^3 = {(x+y+z)^3 +5s(ss-3t) +3(s^3-4st+9u)}/9 ≧ (1/9)(x+y+z)^3,

x+y+z = 6+(a/b+b/a-2)+(b/c+c/b-2)+(c/a+a/c-2)≧ 6,

>72

B.3987
 中の b+c に注目する。
 (a+b+c)(b+c+d)=(b+c)(a+b+c+d)+ ad
 ≧(b+c){(a+b)+(c+d)}
 ≧ 2{√(a+b)}(b+c){√(c+d)},
 循環的に掛ける。

B.3989
 a=2cos(A),b=2cos(B),c=2cos(C) とおく。A+B+C=π
 cos(x)は下に凸だから
 a+b+c = 2{cos(A)+cos(B)+cos(C)}≦ 6cos((A+B+C)/3)= 6cos(π/3) = 3,

ご参考
 http://ameblo.jp/ineqfebot-sol/

1048
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/07/13 17:54:31  ID:oVTfqBd/.net(12)
>73 訂正

B.3989
 cos(x)は|x|<π/2 で上に凸でした。

(別解)
 a=2sin(A/2),b=2sin(B/2),c=2sin(C/2) とおく。以下同様

1049
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/07/13 18:37:29  ID:oVTfqBd/.net(12)
>72

A.422
Σ[i=1,n] x(i) = x(n+1) = S とおく。
Σ[i=1,n] x(i)^2 ≧ SS/n,
y=√x は上に凸だから
(左辺)^2 ≦ n{ Σ[i=1,n] x(i) [S -x(i)] }
  = n{ SS -Σ[i=1,n] x(i)^2 }
  ≦ n (SS - SS/n)}
  = (n-1) SS,

(右辺)^2 = SΣ[i=1,n] [S - x(i)]
  = S (n S - S)
  = (n-1) SS,

1050
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/07/14 01:59:14  ID:54s0BI7v.net(12)
>72

A.422
(左辺)^2 ≦ n{Σ[i=1,n] x(i)[S-x(i)] }
  ≦{Σ[i=1,n] x(i)} {Σ[j=1,n] [S-x(j)]} (チェビシェフ)
  = S・(n-1)S
でもいいか...

〔B.3987.改〕
n個の正数{a,b,c, …,z}がある。
連続するk項の和を巡回的に掛けたものを P_k とおく。
P_1 = abcd…z,
P_2 =(a+b)(b+c)(c+d)……(z+a),
P_3 = (a+b+c)(b+c+d)……(z+a+b),
P_4 = (a+b+c+d)(b+c+d+e)……(z+a+b+c),
このとき、
 (P_k)^2 ≧ P_{k-1}・P_{k+1},
 P_{mn} ≧ (m^n)P_n,
を示せ。

1051
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/07/14 02:41:47  ID:5qutPAyo.net(2)
>72
蒐集癖に火がついたでござる ( ゚∀゚) ハァハァ…

以下、a, b, c は a^2 + b^2 + c^2 + abc = 4 をみたす正の実数とする。←非負実数でいいよね?多分…
(1) a+b+c ≧ ab+bc+ca
(2) abc+2 ≧ ab+bc+ca ≧ abc
(3) a+b+c<3
(4) (2+a)(2+b)(2+c) ≧27abc
(5) sqrt{(2-a)/(2+a)} + sqrt{(2-b)/(2+b)} + sqrt{(2-c)/(2+c)} ≧ 3

(5)は、リンク先を見ると
sqrt{(2-a)/(2+a)} + sqrt{(2-b)/(2+b)} + sqrt{(2-c)/(2+c)} ≧ 3sqrt{3} ≧ sqrt(4-a^2) + sqrt(4-b^2) + sqrt(4-b^2)
と書いている者もいる。証明は未確認。


民明書房刊 「不等式ヲタの異常な蒐集癖、または私は如何にして心配するのを止めて不等式を愛するようになったか」より
(1) 出典のmemoがないでござる。過去スレにあるかも…
(2) USAMO 2001 https://artofproblemsolving.com/wiki/index.php?title=2001_USAMO_Problems/Prob...
(3) >72 B.3989 https://www.komal.hu/verseny/feladat.cgi?a=honap&;h=200703&t=mat&l=en
(4) https://artofproblemsolving.com/community/c6h527320p2994128
(5) https://artofproblemsolving.com/community/c6h527320s1_a2b2c2abc4_two_inequali...

1052
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/07/14 04:47:25  ID:54s0BI7v.net(12)
>77

(3) はイランMO-2002、A16 かな?

Solution 見ても出典が無い。ほんとに KoMaL


「博士の愛した不等式」慎重文庫(2005)

1053
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/07/14 04:54:42  ID:54s0BI7v.net(12)
>76

〔B.3987.改〕
k≦L のとき、P_k・P_L ≦ P_{k-1}・P_{L+1}

1054
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/07/14 10:25:53  ID:54s0BI7v.net(12)
>66

a+b-c=z,b+c-a=x,c+a-b=y とおく。(*)
x,y,zは任意の正数。
a+b+c = x+y+z,
xy = cc-(a-b)^2 ≦ cc,
yz = aa-(b-c)^2 ≦ aa,
zx = bb-(c-a)^2 ≦ bb,

log(左辺)= a log(z)+ b log(x)+ c log(y)
 = (y/2)log(yz) + (z/2)log(zx) + (x/2)log(xy)
 ≦ y log(a) + z log(b) + x log(c)
 ≦ a log(a) + b log(b) + c log(c)  (←チェビシェフ)
 = log(右辺),

1055
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/07/14 13:02:23  ID:54s0BI7v.net(12)
>69

[第5章.667]
a+b+c+d = s,ab+ac+ad+bc+bd+cd = t,abc+abd+acd+bcd = u とおく。
 2tt - (9/2)su =(ab-cd)^2 + (ac-bd)^2 + (ad-bc)^2 + (1/4)(aa+bb)(c-d)^2 + … ≧ 0,
 2st - 12u =(a+b)(c-d)^2 + (a+c)(b-d)^2 + … + (c+d)(a-b)^2 ≧ 0,
∴ 2t^3 ≧ 27uu,

1056
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/07/14 18:29:25  ID:54s0BI7v.net(12)
〔B.3987.改〕の略証を

>76
 a_2 + a_3 + … + a_k = s とおく。
 (a_1+a_2+…+a_k)(a2+a3+…+a(k+1)) = (a_1 + s)(s + a_(k+1)) > s{a_1 + s + a_(k+1)}
 巡回的に掛ける。

>79
 k=L のときは >76
 k<L のときも
 {P_k P_L}/{P_(k-1) P_(L+1)}={(P_k)^2/P_(k-1)P_(k+1)}×{(P_(k+1))^2/P_k P_(k+2)}×
…… ×{(P_L)^2/P_(L-1)P_(L+1)} > 1,

1057
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/07/15 03:33:48  ID:jZ3tY0g5.net(6)
>69

[第2章.144]
0 ≦ a ≦b,c としてよい。
4(a+b+c)^3 - 27(aab+bbc+cca+abc) = 9a(aa+bb+cc-ab-bc-ca) + (4b+c-5a)(a+b-2c)^2 ≧0,
等号成立は (a,b,c) = (0,2/3,1/3) とその rotation

カナダMO-1995 A.5
安藤哲哉:「不等式」数学書房(2012) 例題2.2.12(7)

1058
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/07/15 03:52:45  ID:jZ3tY0g5.net(6)
>69

[第6章.908]
s = a+b+c, t = ab+bc+ca, u = abc とおく。
st = (aaa+bbb+ccc)+(abb+bcc+caa)+(aab+bbc+cca) = S+p+q ≧ 3(Spq)^(1/3),
pq = T+uS+3uu ≧ 3(3STU)^(1/3) ≧ 3√(3SU),
∴ S+p+q ≧ 3(Spq)^(1/3) ≧ 3√(3Su),
ここに、S=aaa+bbb+ccc、T=(ab)^3+(bc)^3+(ca)^3、U=(abc)^3.

Casphy!-不等式2-177

1059
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/07/15 04:39:34  ID:yYh8jteX.net(4)
そういえば、数蝉2017.08のエレガント第2問が、関数の最大最小値問題だったね。締切まで答えは書けないけど。

1060
132人目の素数さん[]   投稿日:2017/07/15 07:59:24  ID:OkWeDr+1.net(2)
学コンの答えを締切前に発表したら刑事事件に発展するの?
業務妨害?

1061
[sage]   投稿日:2017/07/15 08:12:09  ID:qAOI4WFY.net(46)
■■■輝かしい日本の未来の学問は、馬鹿板をしない国民一人一人が作るもの。■■■


1062
[sage]   投稿日:2017/07/15 09:04:11  ID:qAOI4WFY.net(46)

1063
[sage]   投稿日:2017/07/15 09:04:30  ID:qAOI4WFY.net(46)

1064
[sage]   投稿日:2017/07/15 09:04:51  ID:qAOI4WFY.net(46)

1065
[sage]   投稿日:2017/07/15 09:05:10  ID:qAOI4WFY.net(46)

1066
[sage]   投稿日:2017/07/15 09:05:28  ID:qAOI4WFY.net(46)

1067
[sage]   投稿日:2017/07/15 09:05:46  ID:qAOI4WFY.net(46)

1068
[sage]   投稿日:2017/07/15 09:06:04  ID:qAOI4WFY.net(46)

1069
[sage]   投稿日:2017/07/15 09:06:28  ID:qAOI4WFY.net(46)

1070
[sage]   投稿日:2017/07/15 09:06:47  ID:qAOI4WFY.net(46)

1071
[sage]   投稿日:2017/07/15 09:07:05  ID:qAOI4WFY.net(46)

1072
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/07/15 09:30:51  ID:yYh8jteX.net(4)
学コン厨がage荒らしをして、¥が荒らす。
面白スレや数セミスレでもよく見かける数学板の風物詩。

1073
[sage]   投稿日:2017/07/15 09:53:34  ID:qAOI4WFY.net(46)
■■■輝かしい日本の未来の学問は、馬鹿板をしない国民一人一人が作るもの。■■■


1074
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/07/15 14:30:48  ID:jZ3tY0g5.net(6)
>84 の訂正...

(a+b+c)(aa+bb+cc) = (aaa+bbb+ccc) + (abb+bcc+caa) + (aab+bbc+cca) = S+p+q ≧ 3(Spq)^(1/3),

1075
[sage]   投稿日:2017/07/15 15:08:09  ID:qAOI4WFY.net(46)
◆◆◆馬鹿板をスルと脳が馬鹿汁漬けになってアホになります。そやし止めるべき。◆◆◆


1076
[sage]   投稿日:2017/07/15 18:44:30  ID:qAOI4WFY.net(46)

1077
[sage]   投稿日:2017/07/15 18:44:49  ID:qAOI4WFY.net(46)

1078
[sage]   投稿日:2017/07/15 18:45:08  ID:qAOI4WFY.net(46)

1079
[sage]   投稿日:2017/07/15 18:45:26  ID:qAOI4WFY.net(46)

1080
[sage]   投稿日:2017/07/15 18:45:44  ID:qAOI4WFY.net(46)

1081
[sage]   投稿日:2017/07/15 18:46:03  ID:qAOI4WFY.net(46)

1082
[sage]   投稿日:2017/07/15 18:46:20  ID:qAOI4WFY.net(46)

1083
[sage]   投稿日:2017/07/15 18:46:47  ID:qAOI4WFY.net(46)

1084
[sage]   投稿日:2017/07/15 18:47:07  ID:qAOI4WFY.net(46)

1085
[sage]   投稿日:2017/07/15 18:47:25  ID:qAOI4WFY.net(46)

1086
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/07/16 08:39:47  ID:v1J8xk3o.net(2)
>70 (2)

s = st/9 + 2s/3 ≧ u + 2√(t/3) = u + 2,

1087
[sage]   投稿日:2017/07/16 09:31:15  ID:lJ3jPa7S.net(4)
◇◇◇希望に満ちた明るい日本の将来は、馬鹿板を許さないネット社会の実現から。◇◇◇


1088
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/07/16 10:49:30  ID:kYKIO7xV.net(20)
x,y,z>0に対して、{(x+y)/z}^3 + {(y+z)/x}^3 + {(z+x)/y}^3 ≧ 24

少しずつ未整理の不等式コレクションを整理中。相変わらず出典不明。
引越し前のダンボールから出てきた紙なので、2009〜2010頃の入試問題だろうと思う。
もしかしたら海外の出題サイトから見つけたのかもしれないが…。
出典分かる人いたら教えて栗。

   ∩ _ _   ≡=−
   ミ(゚∀゚ ) ≡=−分数不等式! 巡回不等式! ヒャッホー!
    ミ⊃ ⊃    ≡=−
     (⌒ __)っ   ≡=−
     し'´≡=−

1089
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/07/16 10:54:46  ID:kYKIO7xV.net(20)
>114
ごめん、>71と同じ問題だった。

1090
[sage]   投稿日:2017/07/16 11:10:58  ID:lJ3jPa7S.net(4)
◇◇◇希望に満ちた明るい日本の将来は、馬鹿板を許さないネット社会の実現から。◇◇◇


1091
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/07/16 11:20:30  ID:kYKIO7xV.net(20)

1092
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/07/16 11:36:46  ID:kYKIO7xV.net(20)
>77 追加

a,b,c≧0、a^2 + b^2 + c^2 + abc = 4のとき、

(6) (a+b)^(1/2) + (b+c)^(1/3) + (c+a)^(1/4) < 4
(7) 4(ab+bc+ca?abc) ≧ (a^2b+c)(b^2c+a)(c^2a+b)

(6) https://math.stackexchange.com/questions/1805719/prove-sqrt2xy-sqrt3yz-sqrt4...
(7) https://math.stackexchange.com/questions/1444454/inequality-with-x2y2z2xyz-4...;lq=1

1093
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/07/16 11:38:50  ID:kYKIO7xV.net(20)
(A) a,b,c>0 の AM,GM,HMをA,G,Hで表すとき、A+H ≧5*(G/6)^(1/3)
(B) a,b,c>0、a+b+c=3 のとき、a^(ab)b + b^(bc)c + c^(ca)a ≧ 5^(1/6)

(A) https://math.stackexchange.com/questions/1806146/prove-fracxyz3-frac3-frac1x...;lq=1
(B) https://math.stackexchange.com/questions/1774767/prove-aabbbbccccaa-geqslant...

1094
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/07/16 11:45:07  ID:kYKIO7xV.net(20)
条件不等式のデータベースを作りたいね。
たとえば、上のような a^2 + b^2 + c^2 + abc = 4 かつ a,b,c>0 のときに成り立つ不等式がいろいろあるけど、
条件を代入して検索したら、それをみたす不等式がずらーっと出てくるような。

1095
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/07/16 11:51:59  ID:kYKIO7xV.net(20)
>118
(誤) (7) 4(ab+bc+ca?abc) ≧ (a^2b+c)(b^2c+a)(c^2a+b)
(正) (7) 4(ab+bc+ca-abc) ≧ (a^2b+c)(b^2c+a)(c^2a+b)

1096
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/07/16 12:54:40  ID:kYKIO7xV.net(20)
>70
結局、a,b,c>0 かつ ab+bc+ca=3 のとき、a+b+c≧3 と 1≧abc が成立し、それをコッソリ使っていたのか…。
 a+b+c ≧ 3 ≧ 2+abc

種明かしされると何でもないけど、a+b+c≧2+abc をパッと見たとき、次数を合わせるために、
左辺と右辺の第1項に ab+bc+ca、右辺第2項に 3 を掛けてみて…、ずっと悩んでいた。

1097
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/07/16 13:44:04  ID:kYKIO7xV.net(20)
>70 の別解。

c = (3-ab)/(a+b) より、
(左辺)-(右辺) = [(ab-1)^2 + (a-1)^2 + (b-1)^2}/(a+b) ≧ 0.

1098
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/07/16 13:46:47  ID:kYKIO7xV.net(20)
>123
対称性を崩したくないのと、計算が面倒そうで、一文字消去は考えもしなかった。

1099
[sage]   投稿日:2017/07/17 04:52:16  ID:PMZXT70X.net(52)

1100
[sage]   投稿日:2017/07/17 04:52:36  ID:PMZXT70X.net(52)

1101
[sage]   投稿日:2017/07/17 04:52:56  ID:PMZXT70X.net(52)

1102
[sage]   投稿日:2017/07/17 04:53:12  ID:PMZXT70X.net(52)

1103
[sage]   投稿日:2017/07/17 04:53:30  ID:PMZXT70X.net(52)

1104
[sage]   投稿日:2017/07/17 04:53:48  ID:PMZXT70X.net(52)

1105
[sage]   投稿日:2017/07/17 04:54:06  ID:PMZXT70X.net(52)

1106
[sage]   投稿日:2017/07/17 04:54:32  ID:PMZXT70X.net(52)

1107
[sage]   投稿日:2017/07/17 04:54:49  ID:PMZXT70X.net(52)

1108
[sage]   投稿日:2017/07/17 04:55:11  ID:PMZXT70X.net(52)

1109
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/07/17 09:27:21  ID:2cOdQU+V.net(4)
>118 (6)
最大になる位置は
(a,b,c)=(1.16745、1.83254、0)≒(7/6、11/6、0)
の辺りなので、
a+b≒3、b+c≒11/6、c+a≒7/6、
を利用して相乗-相加平均する。
(a+b)^(1/2)≦{(a+b)+ 3}/(2 √3)= 0.288675(a+b)+ 0.8660254,
(b+c)^(1/3)≦{(b+c)+(11/6)+(11/6)}/{3 (11/6)^(2/3)}= 0.222528(b+c)+ 0.815935
(c+a)^(1/4)≦{(c+a) +(7/6)+(7/6)+(7/6)}/{4 (7/6)^(3/4)}= 0.222705(c+a)+ 0.7794674

(左辺)≦ 0.511380 (a+b+c) + 2.4614278 ≦ 3.995568  (← a+b+c≦3)

ただし、条件 a+b+c≦3 を使い、出題よりも広い範囲で考えている。

出題の最大値 〜 3.9147720586
(a,b,c)=(1.17121、1.35653、0.396885)

1110
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/07/17 10:01:47  ID:SY6Y6f40.net(14)
[2009 大阪教育大]
(1) 実数 a,b が、a>0、ab≧4 をみたすとき、a+b≧4 を示せ。
(2) 実数 x,y が、x>0、(x^8)(y-x^2)≧4 をみたすとき、x(x+y)≧4 を示せ。

(1)のヒントがなかったら、(2)はどうするんだろう。(1)があってもムズいが…。

1111
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/07/17 10:21:27  ID:SY6Y6f40.net(14)
>136
(2)の結論の式は、等号は成り立たんよなあ。

1112
[sage]   投稿日:2017/07/17 10:36:15  ID:PMZXT70X.net(52)
▼▼▼馬鹿板からは身を引き、日々学問に真剣に取り組む姿勢こそが人の道である。▼▼▼


1113
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/07/17 13:05:29  ID:2cOdQU+V.net(4)
>136

(1) (a+b)^2 = 4ab + (a-b)^2 ≧ 4ab ≧ 4^2

(2) y ≧ xx + 4/x^8 = 4/x^3 + (x - 2/x^4)^2 ≧ 4/x^3,

  x(x+y) ≧ x(x + 4/x^3) = xx + 4/xx = 4 + (x - 2/x)^2 ≧ 4,

1114
[sage]   投稿日:2017/07/17 14:25:41  ID:PMZXT70X.net(52)
▼▼▼馬鹿板からは身を引き、日々学問に真剣に取り組む姿勢こそが人の道である。▼▼▼


1115
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/07/17 15:40:07  ID:SY6Y6f40.net(14)
>77
> a, b, c は a^2 + b^2 + c^2 + abc = 4 をみたす正の実数とする。
> (1) a+b+c ≧ ab+bc+ca
>
> 出典のmemoがないでござる。過去スレにあるかも…

過去スレを漁ってみたら、たぶん、以下の問題と混同してしまったっぽい。
条件式が ab+bc+ca+abc=4 で違う。申し訳ないでござる。
反例をうまく見つけられんけど、 a^2 + b^2 + c^2 + abc = 4 のときには成り立つのかな?


[不等式スレ第4章 701]
> 701 名前:132人目の素数さん[sage] 投稿日:2010/08/29(日) 23:19:11
> a,b,c≧0、ab+bc+ca+abc=4のとき、a+b+c≧ab+bc+caを示せ
> 「大学への数学 2010-7 宿題」
>
> (解1) b+c=s、bc=t とおくと、a=(4-s)/(1+t)で、
> 0 < t ≦ (s^2)/4 で f(t) = -t^2+(s-1)t+s^2-4s+4 ≧ 0 を示す
>
> (解2 >143) a≦b≦c とおくと a≦1≦c で、
> a+b+c-(ab+bc+ca) = {ac(1-a)(c-1)+(a+c-2)^2}/(1+ac) ≧ 0
>
> 解説には、「今のところ対称性を崩さない綺麗なジャイアンは見つかっていない」とある

1116
[sage]   投稿日:2017/07/17 16:26:18  ID:PMZXT70X.net(52)
▼▼▼馬鹿板からは身を引き、日々学問に真剣に取り組む姿勢こそが人の道である。▼▼▼


1117
[sage]   投稿日:2017/07/17 17:35:37  ID:PMZXT70X.net(52)

1118
[sage]   投稿日:2017/07/17 17:35:56  ID:PMZXT70X.net(52)

1119
[sage]   投稿日:2017/07/17 17:36:15  ID:PMZXT70X.net(52)

1120
[sage]   投稿日:2017/07/17 17:36:34  ID:PMZXT70X.net(52)

1121
[sage]   投稿日:2017/07/17 17:36:54  ID:PMZXT70X.net(52)

1122
[sage]   投稿日:2017/07/17 17:37:14  ID:PMZXT70X.net(52)

1123
[sage]   投稿日:2017/07/17 17:37:32  ID:PMZXT70X.net(52)

1124
[sage]   投稿日:2017/07/17 17:38:01  ID:PMZXT70X.net(52)

1125
[sage]   投稿日:2017/07/17 17:38:17  ID:PMZXT70X.net(52)

1126
[sage]   投稿日:2017/07/17 17:38:42  ID:PMZXT70X.net(52)

1127
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/07/17 19:35:16  ID:SY6Y6f40.net(14)
[不等式スレ 第3章 343、第4章 627]
> cos(sinx)>sin(cosx) をしめせ。 (xは任意の実数)

改造せずにはいられない。
-π/2 < x < π/2 のとき、cos(sin x) > cos x > sin(cos x)

  ∧,,∧
 (;`・ω・)  。・゚・⌒)  不等式 改造するよ!!
 /   o━ヽニニフ))
 しー-J

1128
[sage]   投稿日:2017/07/17 19:52:08  ID:PMZXT70X.net(52)
▼▼▼馬鹿板からは身を引き、日々学問に真剣に取り組む姿勢こそが人の道である。▼▼▼


1129
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/07/17 20:16:54  ID:SY6Y6f40.net(14)
>77(4)
2+a = 1+1+a ≧ 3*a^(1/3)
2+b = 1+1+b ≧ 3*b^(1/3)
2+c = 1+1+c ≧ 3*c^(1/3)
∴(2+a)(2+b)(2+c) ≧ 27*(abc)^(1/3)

ところで、a,b,c>0 かつ a^2 + b^2 + c^2 + abc = 4 のときに、
「Easy to get that abc≦1」 とあるけど、どのようにして分かるんでせうか?
http://artofproblemsolving.com/community/c6h527320p2994128

1130
[sage]   投稿日:2017/07/17 20:24:26  ID:PMZXT70X.net(52)
▼▼▼馬鹿板からは身を引き、日々学問に真剣に取り組む姿勢こそが人の道である。▼▼▼


1131
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/07/17 20:34:26  ID:SY6Y6f40.net(14)
>155

     |
 \  __  /
 _ (m) _ピコーン
    |ミ|
 /___\ 
 ./  ≧ \ 
 |::::  \ ./ | 
 |::::: (● (● | < 相加! 相乗か!
 ヽ::::... .ワ.....ノ

1132
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/07/17 21:08:58  ID:SY6Y6f40.net(14)
>77 (2)
改造せずにはいられない。
a^2 + b^2 + c^2 ≧ abc+2 ≧ ab+bc+ca ≧ abc


               ゚・ 。  ・。
               。・゚・⌒)
  −=≡       o━ヽニニフ ))
 −=≡   ( ゚∀゚)彡。・゚。・⌒)
−=≡   ⊂   o━ヽニニフ ))
 −=≡   ( ⌒)  改造! 改造!
  −=≡  c し'

1133
¥氏 [sage]   投稿日:2017/07/17 21:23:39  ID:PMZXT70X.net(52)

1134
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/07/18 03:40:55  ID:bAXQRDUT.net(2)
>77 追加

a,b,c≧0、a^2 + b^2 + c^2 + abc = 4のとき、

(8) bc/a + ca/b + ab/c + a + b + c ≧6
(9) sqrt(bc/a) + sqrt(ca/b) + sqrt(ab/c) ≧ sqrt(8+abc)
(10) sqrt(a/(bc)) + sqrt(b/(ca)) + sqrt(c/(ab)) ≧ 1 + 2/sqrt(abc)

https://artofproblemsolving.com/community/c6h527320s1_a2b2c2abc4_two_inequali...

どうやるんだろう…

1135
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/07/18 04:49:04  ID:gmN7VRE9.net(2)
>153
各辺が周期πをもつばあいは、(最寄りの mπ から π/2 以内にあるとして)mπずらすことが可能でござる。
(オリジナルの周期は2πゆえ)たとえば絶対値を付けて
 cos(sin(x))≧|cos(x)|≧ |sin(cos(x))|,

1136
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/07/19 04:31:14  ID:OXFuyCoZ.net(10)
>153 (続き)

-π/2 ≦ x ≦π/2 に対して
 cos(sin(x))≧|cos(x)|≧|sin(cos(x))|
ゆえ、任意の実数に対して成り立つ。
 左の等号 x=mπ
 右の等号 x=mπ±π/2


〔類題〕
 0.107126944873 ≦ cos(sin(x))-|sin(cos(x))|≦ cos(1)〜 0.54030230
 左の等号 x=mπ±0.692728570
 右の等号 x=mπ±π/2

1137
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/07/19 05:59:21  ID:3YGTFP1s.net(10)
>69 (1)
> 正の数 a,b,c に対して、
> (a+b+c)^5 ≧ 27(ab+bc+ca)(ab^2 + bc^2 +ca^2)

基本対称式 s,t,u に置き換えても、うまく証明できんでござる。

1138
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/07/19 06:06:03  ID:3YGTFP1s.net(10)
>160 (9)(10)
sqrt(x)は上に凸だから、Jensenは使えんのよなあ。

1139
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/07/19 07:03:54  ID:3YGTFP1s.net(10)
[不等式 第7章]
> 241 名前:132人目の素数さん[sage] 投稿日:2014/09/18(木) 00:44:36.72
> 0<x<y<π/2の時
> (tanx/x)^x+(siny/y)^y<(tany/y)^y+(sinx/x)^x
> を示せ

これも証明できていない…

1140
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/07/19 08:55:53  ID:3YGTFP1s.net(10)
ASU 1969.14 の巡回不等式を探そうとしたら消えていた。他も殆ど見れなくなっている… ('A`)ヴォエァ!
https://mks.mff.cuni.cz/kalva/index2.html

1141
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/07/19 08:58:35  ID:OXFuyCoZ.net(10)
>69 (1)
>163
 0 ≦ a ≦ b, c としてよい。
 この場合は基本対称式よりも b+c-2a = x の方がいいんぢゃね?

(左辺)=(a+b+c)^5 =(3a+x)^5
    = 243a^5 + 405a^4x + 270aaaxx + 90aaxxx + 15ax^4 + x^5,

 ab+bc+ca = 3aa + 2a(b+c-2a)+(b-a)(c-a)≦ 3aa + 2ax +(1/4)xx,
 abb+bcc+caa = 3aaa+3aa(b+c-2a)+a(b+c-2a)^2+(b-a)(c-a)^2 ≦ 3aaa+3aax+axx+(4/27)xxx,
(右辺)=27(ab+bc+ca)(abb+bcc+caa)≦243a^5+405a^4x+(1053/4)aaaxx+(345/4)aaxxx+(59/4)ax^4+x^5,

(左辺)-(右辺)≧ a(27aa+15ax+xx)xx/4 ≧ 0,

1142
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/07/19 09:58:00  ID:OXFuyCoZ.net(10)
>69 (1)
>163
 3a = A, b+c-2a = x とおくと…

(左辺)/243 ={(a+b+c)/3}^5 =(A+x)^5
   = A^5 + 5A^4・x + 10AAAxx + 10AAxxx + 5Ax^4 + x^5,

 ab+bc+ca ≦ {AA + 2Ax + (3/4)xx}/3,
 abb+bcc+caa ≦{AAA +3AAx +3Axx +(4/3)xxx}/9,
(右辺)/243 = (ab+bc+ca)(abb+bcc+caa)/9
   ≦ A^5 + 5A^4・x +(9.75)AAAxx +(9.58333…)AAxxx +(4.91666…)Ax^4 + x^5,

(左辺)-(右辺)≧ A(3AA+5Ax+xx)xx/12 ≧ 0,

>167 と同じだが…

1143
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/07/19 10:37:49  ID:OXFuyCoZ.net(10)
>137

x(x+y) ≧ 4.283918322582003
(x=1.1960916895833343 y=2.3855052397246037)
 3x^10 + 2x^9 - 28 = 0 の正根

1144
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/07/19 17:31:41  ID:3YGTFP1s.net(10)
>167
さんくす。今夜読んでみます。

Shapiroの巡回不等式のn=6のときの証明を、>2 [4] を見ながらやってみたけど、途中で詰まったでござる。
n=3のときは、f(x)=x/(s-x) に Jensenでok?

1145
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/07/19 19:52:03  ID:OXFuyCoZ.net(10)
>170
>2 [3] 「不等式への招待」(1987)p.28-30 を読むと

 B_i = x_{i+1} + x_{i+2}
とおく。ただし x_{n+1} = x_1, x_{n+2} = x_2

コーシーより
 Σ[i=1,n] x_i / B_i ≧ (Σ[i=1,n] x_i)^2 / {Σ[j=1,n] x_j B_j},

ゆえ
 (Σ[i=1,n] x_i)^2 -(n/2)Σ[j=1,n] x_j B_j ≧ 0
を言えばよい。

n=3,5 の場合は
 {1/(n-1)}Σ[1≦i<j≦n] (xi-xj)^2 ≧ 0,

n=4 のとき
 (x1-x3)^2 + (x2-x4)^2 ≧ 0,

n=6 のとき
 (1/2){(y1-y2)^2 + (y2-y3)^2 + (y3-y1)^2} ≧ 0,
 ここに、y1=x1+x4、y2=x2+x5、y3=x3+x6
と思うけど…

1146
132人目の素数さん[]   投稿日:2017/07/20 01:52:11  ID:Oabzsbx8.net(4)
>170

n=3(Nesbitt)の方はそれで おk ですね。ほかにも
 
a/(b+c)=(1/2){(a+b)/(b+c) -1 +(c+a)/(a+b)}
を巡回的にたして相加-相乗平均する。

a/(b+c)=(a+b+c)/(b+c) - 1
を巡回的にたして相加-調和平均する。

など種々ありますね。
http://mathtrain.jp/nesbitt

1147
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/07/20 02:37:10  ID:Oabzsbx8.net(4)
ピコーン太郎が歌う…

I have a function u(x) which satisfies{p1(x) u '(x)}' + q1(x)u(x) = 0.

I have a function v(x) which satisfies{p2(x) v '(x)}' + q2(x)v(x) = 0.

mmmmmmmmmmmmmm

Picone identity

{1/u(x)^2}{u(x)[p1(x)u '(x) - p2(x)u(x)v'(x)/v(x)]} ' = {q2(x)-q1(x)} + {p1(x)-p2(x)}{u '(x)/u(x)}^2 + p2(x){u '(x)/u(x) - v '(x)/v(x)}^2,

1148
[sage]   投稿日:2017/07/20 07:08:31  ID:R+taoMN8.net(68)

1149
[sage]   投稿日:2017/07/20 07:08:49  ID:R+taoMN8.net(68)

1150
[sage]   投稿日:2017/07/20 07:09:09  ID:R+taoMN8.net(68)

1151
[sage]   投稿日:2017/07/20 07:09:31  ID:R+taoMN8.net(68)

1152
[sage]   投稿日:2017/07/20 07:09:50  ID:R+taoMN8.net(68)

1153
[sage]   投稿日:2017/07/20 07:10:08  ID:R+taoMN8.net(68)

1154
[sage]   投稿日:2017/07/20 07:10:25  ID:R+taoMN8.net(68)

1155
[sage]   投稿日:2017/07/20 07:10:45  ID:R+taoMN8.net(68)

1156
[sage]   投稿日:2017/07/20 07:11:06  ID:R+taoMN8.net(68)

1157
[sage]   投稿日:2017/07/20 07:11:26  ID:R+taoMN8.net(68)

1158
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/07/20 17:09:09  ID:27eqirM3.net(12)
>167-168
難しいです…。 検索して別のを見つけたが、bを中央の項としたとき、
なぜ 4(a^2+ac+c^2)(ab+bc+ca) ≦ (a+c)^2*(a+b+c)^2 となるのか分かりませぬ。
https://artofproblemsolving.com/community/c6h1235638p6275527

さらに強い不等式が載っている。
a,b,c>0 のとき、108(a+b+c)^5 ≧ (ab+bc+ca)(3125(a^2b+b^2c+c^2a)-627abc)

>171
n=6の式変形が神。
分かってて変形しないと出来そうにない。

1159
[sage]   投稿日:2017/07/20 17:16:33  ID:R+taoMN8.net(68)
★★★馬鹿板は悪い習慣であり、大脳が劣化します。なので早く止めましょう。★★★


1160
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/07/20 17:16:57  ID:27eqirM3.net(12)
>62-63
小野ちゃんの不等式から、三角形絡みの不等式を検索して、フランダースの不等式に辿り着いた。
ところが過去スレを検索すると、既に初代スレに載っていたでござった…。全く記憶にござらぬ…。

[不等式 第1章]
> 668 名前:580[sage] 投稿日:04/11/22(月) 11:39:24
> 【補題】A+B+C=π, 0<A,B,C<π のとき、
>  0 < sin(A)sin(B)sin(C) ≦ {(3√3)/2π}^3 ABC ≦ (3√3)/8.
>  -1 < cos(A)cos(B)cos(C) ≦ [1-cos(A)][1-cos(B)][1-cos(C)] ≦ 1/8.
>
>  フランダースの不等式 とか言うらしい...
>  http://mathworld.wolfram.com/FlandersInequality.html
> ぬるぽ


   ,.-─-、
   / /_wゝ-∠l
   ヾ___ノ,. - >
   /|/(ヽY__ノミ
  .{   rイ  ノ
パトラッシュ、疲れたろう。
僕も疲れたんだ…
何だかとても眠いんだ…パトラ…

1161
[sage]   投稿日:2017/07/20 17:22:58  ID:R+taoMN8.net(68)
★★★忖度と処世術に汚染された日本人:権威主義的な支配と損したくない人達★★★
  〜〜〜芳雄氏が言う『研究者としての基本的態度』とは一体何だろうか〜〜〜

佐藤幹夫:自分自身の素朴な疑問に真剣に耳を傾ける。⇒不滅の金字塔を打ち立てる。
糞父芳雄:人間関係を駆使し他人を操り根回しを行う。⇒ハリボテお教授として君臨。

隠蔽の財務省、嘘吐きの文科省、そして問答無用に屈服させる官邸。コレでも先進国?

(佐藤師がしてたのは本物の研究だ。だが)芳雄氏がしてたのはケケケ、ケンキュウ。
外見を繕って偉そう見せさえすれば何でもヨロシ。ほんで教授になりさえすれば研究の
中身なんて何でもヨロシ。そもそも論文なんてモンは、外国の権威ある雑誌に掲載され
さえすれば、その中身のギロンなんて何でもヨロシ。そやし適当に書いてしまえ〜〜〜
中身がダメだと知ってて、ソレでもSTAP論文を外国に投稿して受理される。発覚したら
適当に言い逃れる醜い態度。オツムのダメな大学院生に「虚偽の良品ラベル」を貼って
世間に出荷するハリボテ大学は詐欺行為そのもの。世間に媚びを売って客商売に徹し、
『売れさえすれば学生の脳の質なんて何でもヨロシ』と居直る大学。そしてブランド名
だけを見て仕入れる世間。●●は一流大学やさかい、きっと優秀なエリートやろwww

中身を何も説明しないで、問答無用に上から押し付ける。ソレをイチャモンで騒いで、
そして邪魔して潰そうとする周囲の下々。大学教員も国会議事堂も、そして馬鹿板人の
遣ってる事も皆同じだ。日本人はバカ民族であり、今は外国にもちゃんとバレてるので
海外からも軽蔑されるだけであり、そのうちにどの国からも信用されなくなるだろう。

近視眼的で打算的な人生観を息子に押し付ける父親と、大脳に栄養が足りてない連中が
跋扈する永田町や霞が関に支配される国に住む不幸、一体どうしてくれるというのか。

■■■馬鹿板をスルと稲田朋美みたいな嘘吐きになります。そやし止めなさい。■■■


1162
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/07/20 17:34:38  ID:27eqirM3.net(12)
>69 (1)
https://math.stackexchange.com/questions/709654/inequality-problem-abc5-geq2...

いろんな解法を使いこなせるようになりたいものでござる。演習不足。

    ウワァァ!!
    (>'A`)>
    ( ヘヘ

1163
[sage]   投稿日:2017/07/20 17:41:27  ID:R+taoMN8.net(68)
★★★馬鹿板は悪い習慣であり、大脳が劣化します。なので早く止めましょう。★★★


1164
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/07/20 17:47:02  ID:27eqirM3.net(12)
ageるとコピペ荒らしが来るから、sage進行で行きましょう。
まぁ Jane Style を使っているから、荒らし自体は あぼーんされて見えないけど、
無駄にレスが消費されて、すぐに次スレを立てないといけなくなるから。

1165
[sage]   投稿日:2017/07/20 18:20:47  ID:R+taoMN8.net(68)

1166
[sage]   投稿日:2017/07/20 18:21:11  ID:R+taoMN8.net(68)

1167
[sage]   投稿日:2017/07/20 18:21:31  ID:R+taoMN8.net(68)

1168
[sage]   投稿日:2017/07/20 18:21:50  ID:R+taoMN8.net(68)

1169
[sage]   投稿日:2017/07/20 18:22:09  ID:R+taoMN8.net(68)

1170
[sage]   投稿日:2017/07/20 18:22:26  ID:R+taoMN8.net(68)

1171
[sage]   投稿日:2017/07/20 18:22:44  ID:R+taoMN8.net(68)

1172
[sage]   投稿日:2017/07/20 18:23:10  ID:R+taoMN8.net(68)

1173
[sage]   投稿日:2017/07/20 18:23:29  ID:R+taoMN8.net(68)

1174
[sage]   投稿日:2017/07/20 18:23:48  ID:R+taoMN8.net(68)

1175
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/07/20 18:39:18  ID:27eqirM3.net(12)
>188
Wlog、bを中央の項として、
c(a-b)(b-c)≧0 ⇔ b(a^2+ac+c^2) ≧ a^2b+b^2c+c^2a

(a+b+c)^5
= (1/8)*{2b + (a+c) + (a+c)}^3*(a+b+c)^2
≧ (27/4)*b(a+c)^2*(a+b+c)^2
= (27/4)*b*{(a^2+ac+c^2) + (ab+bc+ca)}^2
≧ 27b(a^2+ac+c^2)(ab+bc+ca)
≧ 27(a^2b+b^2c+c^2a)(ab+bc+ca)

  ┏━━━┓
  ┃ Q.E.D. ┃
  ┗━┳━┛
( ゚∀゚) ノ

1176
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/07/20 18:40:59  ID:27eqirM3.net(12)
>184
> さらに強い不等式が載っている。
> a,b,c>0 のとき、108(a+b+c)^5 ≧ (ab+bc+ca)(3125(a^2b+b^2c+c^2a)-627abc)

難しすぎて ズコー
        ∧∧
       ヽ(・ω・)/   
      \(.\ ノ
    、ハ,,、  ̄
     ̄

1177
[sage]   投稿日:2017/07/20 19:07:22  ID:R+taoMN8.net(68)
★★★忖度と処世術に汚染された日本人:権威主義的な支配と損したくない人達★★★
  〜〜〜芳雄氏が言う『研究者としての基本的態度』とは一体何だろうか〜〜〜

佐藤幹夫:自分自身の素朴な疑問に真剣に耳を傾ける。⇒不滅の金字塔を打ち立てる。
糞父芳雄:人間関係を駆使し他人を操り根回しを行う。⇒ハリボテお教授として君臨。

隠蔽の財務省、嘘吐きの文科省、そして問答無用に屈服させる官邸。コレでも先進国?

(佐藤師がしてたのは本物の研究だ。だが)芳雄氏がしてたのはケケケ、ケンキュウ。
外見を繕って偉そう見せさえすれば何でもヨロシ。ほんで教授になりさえすれば研究の
中身なんて何でもヨロシ。そもそも論文なんてモンは、外国の権威ある雑誌に掲載され
さえすれば、その中身のギロンなんて何でもヨロシ。そやし適当に書いてしまえ〜〜〜
中身がダメだと知ってて、ソレでもSTAP論文を外国に投稿して受理される。発覚したら
適当に言い逃れる醜い態度。オツムのダメな大学院生に「虚偽の良品ラベル」を貼って
世間に出荷するハリボテ大学は詐欺行為そのもの。世間に媚びを売って客商売に徹し、
『売れさえすれば学生の脳の質なんて何でもヨロシ』と居直る大学。そしてブランド名
だけを見て仕入れる世間。●●は一流大学やさかい、きっと優秀なエリートやろwww

中身を何も説明しないで、問答無用に上から押し付ける。ソレをイチャモンで騒いで、
そして邪魔して潰そうとする周囲の下々。大学教員も国会議事堂も、そして馬鹿板人の
遣ってる事も皆同じだ。日本人はバカ民族であり、今は外国にもちゃんとバレてるので
海外からも軽蔑されるだけであり、そのうちにどの国からも信用されなくなるだろう。

近視眼的で打算的な人生観を息子に押し付ける父親と、大脳に栄養が足りてない連中が
跋扈する永田町や霞が関に支配される国に住む不幸、一体どうしてくれるというのか。

■■■馬鹿板をスルと稲田朋美みたいな嘘吐きになります。そやし止めなさい。■■■


1178
[sage]   投稿日:2017/07/20 20:07:19  ID:R+taoMN8.net(68)

1179
[sage]   投稿日:2017/07/20 20:07:42  ID:R+taoMN8.net(68)

1180
[sage]   投稿日:2017/07/20 20:08:02  ID:R+taoMN8.net(68)

1181
[sage]   投稿日:2017/07/20 20:08:21  ID:R+taoMN8.net(68)

1182
[sage]   投稿日:2017/07/20 20:08:41  ID:R+taoMN8.net(68)

1183
[sage]   投稿日:2017/07/20 20:09:00  ID:R+taoMN8.net(68)

1184
[sage]   投稿日:2017/07/20 20:09:17  ID:R+taoMN8.net(68)

1185
[sage]   投稿日:2017/07/20 20:09:36  ID:R+taoMN8.net(68)

1186
[sage]   投稿日:2017/07/20 20:09:55  ID:R+taoMN8.net(68)

1187
[sage]   投稿日:2017/07/20 20:10:14  ID:R+taoMN8.net(68)

1188
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/07/21 03:35:42  ID:aIensghT.net(8)
>184

(a+c)(a+b+c) = (aa+ac+cc) + (ab+bc+ca)だから

{(a+c)(a+b+c)}^2 ≧ 4(aa+ac+cc)(ab+bc+ca).

bが a,c の中間になくてもいいんぢゃね?

1189
[sage]   投稿日:2017/07/21 04:02:09  ID:9Y4dp9MH.net(22)

1190
[sage]   投稿日:2017/07/21 04:02:28  ID:9Y4dp9MH.net(22)

1191
[sage]   投稿日:2017/07/21 04:02:47  ID:9Y4dp9MH.net(22)

1192
[sage]   投稿日:2017/07/21 04:03:05  ID:9Y4dp9MH.net(22)

1193
[sage]   投稿日:2017/07/21 04:03:22  ID:9Y4dp9MH.net(22)

1194
[sage]   投稿日:2017/07/21 04:03:41  ID:9Y4dp9MH.net(22)

1195
[sage]   投稿日:2017/07/21 04:04:00  ID:9Y4dp9MH.net(22)

1196
[sage]   投稿日:2017/07/21 04:04:21  ID:9Y4dp9MH.net(22)

1197
[sage]   投稿日:2017/07/21 04:04:40  ID:9Y4dp9MH.net(22)

1198
[sage]   投稿日:2017/07/21 04:05:00  ID:9Y4dp9MH.net(22)

1199
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/07/21 07:34:08  ID:aIensghT.net(8)
>184 >202

3a=A、b-a=y、c-a=z とおく。(x=y+z)

 a+b+c = A+x,
 ab+bc+ca =(AA +2Ax +3yz)/3,
 abc = (AAA +3AAx +9Ayz)/27,
 aab+bbc+cca = (AAA +3AAx +3Axx +9yyz)/9,

(a+b+c)^5 = (A+x)^5 = A^5 + 5A^4・x + 10AAAxx + 10AAxxx + 5Ax^4 + x^5,

27(ab+bc+ca)(abb+bcc+caa) = A^5 + 5A^4・x + AAA(9xx+3yz) + AA(6xxx+9xyz+9yyz) + A(9x+18y)xyz + 27yyyzz,

81(ab+bc+ca)abc = A^5 + 5A^4・x + AAA(6xx+12yz) + 27AAxyz + 27Ayyzz + 0,

A^i の係数の差(A^0 の項が 27yyyzz ≦ (2916/3125) x^5 であること等)を考慮して適当な重みを定める。

1200
[sage]   投稿日:2017/07/21 09:11:09  ID:9Y4dp9MH.net(22)
★★★忖度と処世術に汚染された日本人:権威主義的な支配と損したくない人達★★★
  〜〜〜芳雄氏が言う『研究者としての基本的態度』とは一体何だろうか〜〜〜

佐藤幹夫:自分自身の素朴な疑問に真剣に耳を傾ける。⇒不滅の金字塔を打ち立てる。
糞父芳雄:人間関係を駆使し他人を操り根回しを行う。⇒ハリボテお教授として君臨。

隠蔽の財務省、嘘吐きの文科省、そして問答無用に屈服させる官邸。コレでも先進国?

(佐藤師がしてたのは本物の研究だ。だが)芳雄氏がしてたのはケケケ、ケンキュウ。
外見を繕って偉そう見せさえすれば何でもヨロシ。ほんで教授になりさえすれば研究の
中身なんて何でもヨロシ。そもそも論文なんてモンは、外国の権威ある雑誌に掲載され
さえすれば、その中身のギロンなんて何でもヨロシ。そやし適当に書いてしまえ〜〜〜
中身がダメだと知ってて、ソレでもSTAP論文を外国に投稿して受理される。発覚したら
適当に言い逃れる醜い態度。オツムのダメな大学院生に「虚偽の良品ラベル」を貼って
世間に出荷するハリボテ大学は詐欺行為そのもの。世間に媚びを売って客商売に徹し、
『売れさえすれば学生の脳の質なんて何でもヨロシ』と居直る大学。そしてブランド名
だけを見て仕入れる世間。●●は一流大学やさかい、きっと優秀なエリートやろwww

中身を何も説明しないで、問答無用に上から押し付ける。ソレをイチャモンで騒いで、
そして邪魔して潰そうとする周囲の下々。大学教員も国会議事堂も、そして馬鹿板人の
遣ってる事も皆同じだ。日本人はバカ民族であり、今は外国にもちゃんとバレてるので
海外からも軽蔑されるだけであり、そのうちにどの国からも信用されなくなるだろう。

近視眼的で打算的な人生観を息子に押し付ける父親と、大脳に栄養が足りてない連中が
跋扈する永田町や霞が関に支配される国に住む不幸、一体どうしてくれるというのか。

■■■馬鹿板をスルと稲田朋美みたいな嘘吐きになります。そやし止めなさい。■■■


1201
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/07/21 12:10:20  ID:hHnI1U1h.net(6)
>71 (4)
AM-GMを2回。ユルユルでござった。改造の余地ありまくリング。

>225
>201のようなカラクリはないのかな?

>166
> 14. Prove that for any positive numbers a1, a2, ... , an we have:
> a1/(a2+a3) + a2/(a3+a4) + ... + an-1/(an+a1) + an/(a1+a2) > n/4
http://webee.technion.ac.il/people/aditya/www.kalva.demon.co.uk/soviet/so...

Shapiroよりユルユルだから、エレガントな証明方法があるんかなあ?

1202
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/07/21 12:59:17  ID:aIensghT.net(8)
>227

>225 のようにバラバラに砕いたのは、「エレガントなカラクリ」を知らぬが故でござる。(最終兵器)
  ご存知なれば、伝授願いたいぐらい。

14.
[初代スレ.497-502] のことでござるか?
されば n/3 に改良する習わし也。

(補題)
 a/(b+c) +2b/(c+d) > (a+b)/(b+c) + (b+c)/(c+d) -1.

1203
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/07/21 13:32:43  ID:aIensghT.net(8)
>227 (続き)

14. Shapiro
[初代スレ.497-502]
[第2章.284-285]
[第3章.172-173, 218-220]
[第4章.463-470]

n≦6の解法
[第2章.889-890]
[第8章.170-172]

1204
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/07/21 20:28:46  ID:hHnI1U1h.net(6)
作ってみたけど、簡単な証明あるかな? ( ゚∀゚) ウヒョッ!

a,b,c>0 に対して、{ a/sqrt(b+c) + b/sqrt(c+a) + c/sqrt(a+b) }^2 ≧ 3(a+b+c)/2

1205
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/07/21 20:29:28  ID:hHnI1U1h.net(6)
>229
さんくす。過去スレは宝箱ですなあ。

1206
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/07/22 15:48:14  ID:G0nvuSlz.net(4)
>230

(解1)
a+b+c=s とおく。
f(X) = X/√(s-X)= s/√(s-X) - √(s-X)
は下に凸ゆえ Jensen で
f(a)+ f(b)+ f(c)≧ 3f(s/3)= √(3s/2),

(解2)
x=b+c, y=c+a, z=a+b とおく。
 a/√(b+c)=(y+z-x)/(2√x)≧{2√(yz) -x}/(2√x),
したがって、
 a/√(b+c)+ b/√(c+a)+ c/√(a+b)
 ≧{√(yz/x)+ √(zx/y)+ √(xy/z)}/2     …(*)
 = (xy+yz+zx)/(2√xyz),

(左辺) ≧ (xy+yz+zx)^2 /(4xyz)≧ 3(x+y+z)/4   …(**)
 = 3(a+b+c)/2,


*){√(yz)-x}/√x +{√(zx)-y}/√y +{√(xy)-z}/√z
 ={(xy+yz+zx)-x√(yz) -y√(zx)-z√(xy)}/√(xyz)
 ={x(√y-√z)^2 + y(√z-√x)^2 + z(√x-√y)^2}/(2√xyz)
 ≧0,

**)(xy+yz+zx)^2 - 3xyz(x+y+z)={xx(y-z)^2 + yy(z-x)^2 + zz(x-y)^2}≧ 0,

1207
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/07/22 16:03:11  ID:G0nvuSlz.net(4)
さて、本題に戻って…

(a+b+c)^5 ≧(ab+bc+ca){27(K+1)(aab+bbc+cca) -81K・abc}

とおいて、A^i の係数を求めます。 >225

A^3 の係数から
 K ≦ 1/3,

A^2 の係数から
 K ≦ 0.182688493788
 (等号成立は y/z = 1.52984518)

A^1 の係数から
 K ≦ 0.07648328329
 (等号成立は y/z = 1.5765615)

A^0 の係数から
 27yyyzz = (2916/3125)(5y/3)^3 (5z/2)^2 ≦ (2916/3125)(y+z)^5 = (2916/3125)x^5,
 K ≦(3125/2916)- 1 =(209/2916)= 0.0716735…
 (等号成立は y/z = 3/2)

なんか上限がだんだん下がって来て窮屈ですが・・・
 K =(209/2916)とすれば OKです。

------------------------------------------------
(訂正)
27(ab+bc+ca) (aab+bbc+cca)= A^5 + 5A^4・x + …

1208
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/07/23 09:39:32  ID:p7xlQ3BC.net(4)
>232
さすがなり。 >230の元になった問題は以下。
https://math.stackexchange.com/questions/1483425/olympiad-inequality-problem...

 a,b,c>0、a+b+c+abc=4 に対して、
 (ab+bc+ca)*{ a/sqrt(b+c) + b/sqrt(c+a) + c/sqrt(a+b) }^2 ≧ (1/2)*(4-abc)^3

条件 a+b+c+abc=4 は、右辺を難しそうに見せるだけのノイズと見て削除して、

 a,b,c>0 に対して、
 (ab+bc+ca)*{ a/sqrt(b+c) + b/sqrt(c+a) + c/sqrt(a+b) }^2 ≧ (1/2)*(a+b+c)^3

これは一般化されたヘルダーの不等式から出てくるが、他に易しい証明ないかな?
この右辺を弄って >230 を得る。

1209
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/07/23 09:50:23  ID:p7xlQ3BC.net(4)
>234
>  a,b,c>0 に対して、
>  (ab+bc+ca)*{ a/sqrt(b+c) + b/sqrt(c+a) + c/sqrt(a+b) }^2 ≧ (1/2)*(a+b+c)^3
>
> これは一般化されたヘルダーの不等式から出てくるが、

について、蛇足。

{a(b+c)+b(c+a)+c(a+b)}^(1/3)*{ a/sqrt(b+c) + b/sqrt(c+a) + c/sqrt(a+b) }^(2/3) ≧ a+b+c

1210
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/07/23 10:08:15  ID:yTyAIG7a.net(6)
>225 >233
 参考のため残しておきまつ。

(a+b+c)^5 -(ab+bc+ca){27(1+K)(aab+bbc+cca)- 81K・abc}における

A^3 の係数:
 (1-3K)(yy-yz+zz),

A^2 の係数:
 (4-6K)yyy -(6+9K)yyz + 3yzz +(4-6K),

A^1 の係数:
 5y^4 -(7+27K)y^3・z -(6+9K)yyzz + (11-9K)yz^3 + 5z^4,

A^0 の係数:
 (y+z)^5 - 27(1+K)yyyzz,

y≧0、z≧0 において上記がすべて非負となるような K≧0
を取れば十分でござる。
(x=y+z を使った)

1211
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/07/23 11:15:00  ID:yTyAIG7a.net(6)
>234-235
 コーシーで一発でしたか... 参ったでござる。

1212
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/07/23 19:25:31  ID:yTyAIG7a.net(6)
>184 >201 >214 を改造...

a+b+c = s、ab+bc+ca = t とおく。

{(a+c)s}^2 - 4(aa+ac+cc)t = (aa+ac+cc - t)^2 = δ

ss - 3t ={(a-c)^2・t + δ}/(a+c)^2 ≧ t|(a-c)/(a+c)|^2,

1213
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/07/24 10:30:53  ID:mq+pfYuQ.net(16)
>232
> *){√(yz)-x}/√x +{√(zx)-y}/√y +{√(xy)-z}/√z

{2√(yz)-x}/2√x +{2√(zx)-y}/2√y +{2√(xy)-z}/2√z を計算しないといけないのでは?

1214
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/07/24 13:11:01  ID:mq+pfYuQ.net(16)
0 ≦ x ≦ π/2 に対して、2^{(sin x)*(cos x)} ≦ sinx + cos x ≦ sqrt(2)

1215
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/07/24 14:26:58  ID:mq+pfYuQ.net(16)
>240 をプチ改造。
> 0 ≦ x ≦ π/2 に対して、2*sqrt{(sin x)*(cos x)} ≦ 2^{(sin x)*(cos x)} ≦ sinx + cos x ≦ sqrt(2)

1216
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/07/24 15:01:01  ID:qItz5GdJ.net(4)
>238
(大意)
ss/t の値は、a,b,c が似たり寄ったりのときは3よりチョト大きいだけだが、
a,b,c が極端に違うときは(2変数値の)4に近いよ。


>239
略しすぎた…
{2√(yz) -x}/(2√x) = {√(yz)}/(2√x) + {√(yz) - x}/(2√x),
のように分けたのでござる。
後ろの項は 巡回和すれば ≧0 でござる。(*)

ついでながら(**)の方も 1/2 が抜けてますな。トホホ

1217
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/07/24 15:54:27  ID:qItz5GdJ.net(4)
>240-241

t = 2sin(x)cos(x)とおくと、0≦t≦1

一方、f(t)= 2^t は下に凸で f(0)=1, f(1)=2, f(2)=4 を通る。

0≦t≦1 では
(t=1、t=2 の割線)より上で、(t=0、t=1 の割線)より下。
∴  2t ≦ f(t) ≦ 1 + t ≦ 2,
4sin(x)cos(x)≦ 2^{2sin(x)cos(x)}≦ 1 + 2sin(x)cos(x)≦ 2,
各辺≧0 ゆえ平方根をとる。

1218
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/07/24 16:08:03  ID:mq+pfYuQ.net(16)
>243
実にエレガント!

元ネタは [数蝉NOTE (2005.08締切分)]
x, y≧0 かつ x^2 + y^2=1 のとき、2^(xy) ≦ x+y ≦ sqrt(2).

まず、0 ≦ (x-y)^2 = 1-2xy より、0 ≦ xy ≦ 1/2 だから、

右 : (x+y)^2 = 1+2xy ≦ 2.
左 : (x+y)^{1/(xy)} = (1+2xy)^{1/(2xy)} ≧ 1 + 2xy*{1/(2xy)} = 2.

ベルヌーイの不等式を用いて、鶏を割くに焉んぞ牛刀を用いん…。

1219
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/07/24 16:37:45  ID:mq+pfYuQ.net(16)
まぁ、いろんな証明方法が身につくから褒め言葉なんですがね → 牛刀。

1220
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/07/24 16:38:56  ID:dN93W7ZJ.net(2)
夏休みだから賑わってるのかな?

1221
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/07/24 16:49:08  ID:mq+pfYuQ.net(16)
>246
君も混ざれ!

1222
132人目の素数さん[]   投稿日:2017/07/24 19:10:05  ID:DNnE4oh/.net(2)
おめでとう
君は質問スレと面白スレの次くらいに人がいるスレを見つけた!!

1223
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/07/24 19:10:56  ID:mq+pfYuQ.net(16)
>248
上げるなよ。コピペ荒らしの被害を受けるだろうが! 迷惑な奴め!

1224
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/07/24 19:31:23  ID:mq+pfYuQ.net(16)
どうしてそういう嫌がらせをするのかな? やる気なくすわ…。

1225
[sage]   投稿日:2017/07/25 00:56:07  ID:1OMr9h78.net(20)

1226
[sage]   投稿日:2017/07/25 00:56:24  ID:1OMr9h78.net(20)

1227
[sage]   投稿日:2017/07/25 00:56:40  ID:1OMr9h78.net(20)

1228
[sage]   投稿日:2017/07/25 00:56:56  ID:1OMr9h78.net(20)

1229
[sage]   投稿日:2017/07/25 00:57:13  ID:1OMr9h78.net(20)

1230
[sage]   投稿日:2017/07/25 00:57:30  ID:1OMr9h78.net(20)

1231
[sage]   投稿日:2017/07/25 00:57:46  ID:1OMr9h78.net(20)

1232
[sage]   投稿日:2017/07/25 00:58:11  ID:1OMr9h78.net(20)

1233
[sage]   投稿日:2017/07/25 00:58:37  ID:1OMr9h78.net(20)

1234
[sage]   投稿日:2017/07/25 00:58:53  ID:1OMr9h78.net(20)

1235
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/07/27 23:44:58  ID:1T4+Oazx.net(2)
〔問題1.96改〕
x, y, z ≧ 0 のとき
 x^3 + y^3 + z^3 -3xyz ≧ 4|(x-y)(y-z)(z-x)|,

ルーマニアMO-2007(改)
[9] 佐藤、演習問題1.96(改) >2

-------------------------------
(略証)
yはxとzの中間にあるとする。
(x-y)(y-z)≧0,
 xx+yy+zz-xy-yz-zx =(x-y)^2 +(x-y)(y-z)+(y-z)^2,
 x+y+z ≧ |x-y| + |y-z| + min{|x-y|,|y-z|},
辺々掛けて
 x^3 + y^3 + z^3 -3xyz ≧(|x-y| + |y-z|)^3
 = |x-z|^3
 ≧4|(x-y)(y-z)(z-x)|,

1236
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/07/28 00:01:37  ID:j+jikqys.net(4)
〔楠瀬の不等式〕
x, y, z≧0 のとき
x^3 + y^3 + z^3 -3xyz ≧ k|(x-y)(y-z)(z-x)|,
 但し k = √(9+6√3)= 4.403669475・・・・・

数セミ創刊30周年記念『エレガントな問題をもとむ』【優秀賞】受賞問題2
 出題: 1992年4月, p.79
 解説: 1992年7月, p.59-60
 [初代スレ.836-869]

1237
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/07/28 00:35:42  ID:KBT/ECMI.net(14)
なんで k の値が、上では 4 なのに、下では4より大きくなってるん? 上では等号は成立しないの?

1238
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/07/28 11:59:01  ID:j+jikqys.net(4)
>263

 >261 は少しユルいのですが、簡単・便利な式です。
 x=y=z のときは等号が成立します。

 >262 のkの値は「限界」で、もうこれ以上改良できません。

1239
132人目の素数さん[]   投稿日:2017/07/28 12:45:15  ID:O9aq1xVP.net(8)
今高2で不等式をうまく使えるようになりたいのですが不等式の入門書?的なものはありますか?
一応高校数学の範囲は全部終わっています

1240
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/07/28 12:45:54  ID:KBT/ECMI.net(14)
>265
ageるなよ!

1241
[sage]   投稿日:2017/07/28 12:52:31  ID:tqhSG1tp.net(46)
###政治家が愚かなのと同様に馬鹿板を行うのも愚かな行為。そやし止めるべき。###


1242
[sage]   投稿日:2017/07/28 13:49:57  ID:tqhSG1tp.net(46)

1243
[sage]   投稿日:2017/07/28 13:50:20  ID:tqhSG1tp.net(46)

1244
[sage]   投稿日:2017/07/28 13:50:43  ID:tqhSG1tp.net(46)

1245
[sage]   投稿日:2017/07/28 13:51:00  ID:tqhSG1tp.net(46)

1246
[sage]   投稿日:2017/07/28 13:51:18  ID:tqhSG1tp.net(46)

1247
[sage]   投稿日:2017/07/28 13:51:36  ID:tqhSG1tp.net(46)

1248
[sage]   投稿日:2017/07/28 13:51:55  ID:tqhSG1tp.net(46)

1249
[sage]   投稿日:2017/07/28 13:52:14  ID:tqhSG1tp.net(46)

1250
[sage]   投稿日:2017/07/28 13:52:45  ID:tqhSG1tp.net(46)

1251
[sage]   投稿日:2017/07/28 13:53:03  ID:tqhSG1tp.net(46)

1252
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/07/28 15:28:25  ID:KBT/ECMI.net(14)
>265
馬鹿がageるから、コピペに荒らされる・・・

1253
[sage]   投稿日:2017/07/28 15:33:55  ID:tqhSG1tp.net(46)
###政治家が愚かなのと同様に馬鹿板を行うのも愚かな行為。そやし止めるべき。###


1254
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/07/28 15:36:12  ID:KBT/ECMI.net(14)
中身のある書き込みがあると 中身のないレスでageる奴が現れるような気がする。

1255
132人目の素数さん[]   投稿日:2017/07/28 16:19:13  ID:O9aq1xVP.net(8)
今高2で不等式をうまく使えるようになりたいのですが不等式の入門書?的なものはありますか?
一応高校数学の範囲は全部終わっています

1256
132人目の素数さん[]   投稿日:2017/07/28 16:19:42  ID:O9aq1xVP.net(8)
今高2で不等式をうまく使えるようになりたいのですが不等式の入門書?的なものはありますか?
一応高校数学の範囲は全部終わっています

1257
132人目の素数さん[]   投稿日:2017/07/28 16:20:00  ID:O9aq1xVP.net(8)
今高2で不等式をうまく使えるようになりたいのですが不等式の入門書?的なものはありますか?
一応高校数学の範囲は全部終わっています

1258
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/07/28 16:59:03  ID:KBT/ECMI.net(14)
上げるなボケ!

1259
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/07/28 16:59:48  ID:KBT/ECMI.net(14)
質問スレに逝けよ

1260
132人目の素数さん[]   投稿日:2017/07/28 17:01:45  ID:Zm1hbnDt.net(4)
>284
すまんこ

1261
132人目の素数さん[]   投稿日:2017/07/28 17:01:56  ID:Zm1hbnDt.net(4)
>285
許してクレメンス

1262
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/07/28 18:21:20  ID:bsIbQPNs.net(2)
>262
以前>261を改良して得たけど既にやられてたんだね
エレガントな解放が知りたい

1263
[sage]   投稿日:2017/07/28 18:55:12  ID:tqhSG1tp.net(46)

1264
[sage]   投稿日:2017/07/28 18:55:30  ID:tqhSG1tp.net(46)

1265
[sage]   投稿日:2017/07/28 18:55:46  ID:tqhSG1tp.net(46)

1266
[sage]   投稿日:2017/07/28 18:56:03  ID:tqhSG1tp.net(46)

1267
[sage]   投稿日:2017/07/28 18:56:20  ID:tqhSG1tp.net(46)

1268
[sage]   投稿日:2017/07/28 18:56:37  ID:tqhSG1tp.net(46)

1269
[sage]   投稿日:2017/07/28 18:56:57  ID:tqhSG1tp.net(46)

1270
[sage]   投稿日:2017/07/28 18:57:14  ID:tqhSG1tp.net(46)

1271
[sage]   投稿日:2017/07/28 18:57:32  ID:tqhSG1tp.net(46)

1272
[sage]   投稿日:2017/07/28 18:57:56  ID:tqhSG1tp.net(46)

1273
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/07/28 23:18:23  ID:KBT/ECMI.net(14)
>261
まずココが分かりません。
>  x+y+z ≧ |x-y| + |y-z| + min{|x-y|,|y-z|}

次にココ。辺々掛けたら |x-y|^3 + |y-z|^3 + C にならないかな?
> 辺々掛けて x^3 + y^3 + z^3 -3xyz ≧(|x-y| + |y-z|)^3

最後にココ。AM-GMでもないし何だろう?
>  |x-z|^3 ≧ 4|(x-y)(y-z)(z-x)|

1274
[sage]   投稿日:2017/07/28 23:22:27  ID:tqhSG1tp.net(46)
###政治家が愚かなのと同様に馬鹿板を行うのも愚かな行為。そやし止めるべき。###


1275
[sage]   投稿日:2017/07/29 01:25:06  ID:2P2kn60N.net(66)

1276
[sage]   投稿日:2017/07/29 01:25:25  ID:2P2kn60N.net(66)

1277
[sage]   投稿日:2017/07/29 01:25:43  ID:2P2kn60N.net(66)

1278
[sage]   投稿日:2017/07/29 01:26:01  ID:2P2kn60N.net(66)

1279
[sage]   投稿日:2017/07/29 01:26:20  ID:2P2kn60N.net(66)

1280
[sage]   投稿日:2017/07/29 01:26:45  ID:2P2kn60N.net(66)

1281
[sage]   投稿日:2017/07/29 01:27:04  ID:2P2kn60N.net(66)

1282
[sage]   投稿日:2017/07/29 01:27:21  ID:2P2kn60N.net(66)

1283
[sage]   投稿日:2017/07/29 01:27:43  ID:2P2kn60N.net(66)

1284
[sage]   投稿日:2017/07/29 01:28:01  ID:2P2kn60N.net(66)

1285
132人目の素数さん[261]   投稿日:2017/07/29 10:40:59  ID:0o5qwo4/.net(2)
>299
それでは|x-y|= a,|y-z|= b とおきましょう。

まず
0≦x≦y≦z のとき
 x+y+z = 3x + 2(y-x)+(z-y)≧ 2(y-x)+(z-y) = 2a + b,
x≧y≧z≧0 のとき
 x+y+z =(x-y)+ 2(y-z)+ 3z ≧(x-y)+ 2(y-z)= a + 2b,

次に、辺々掛けると
 (2a+b)(aa+ab+bb)= a^3 +(a+b)^3 ≧(a+b)^3,
 (a+2b)(aa+ab+bb)=(a+b)^3 + b^3 ≧(a+b)^3,

最後は、
 (a+b)^2 = 4ab +(a-b)^2 ≧ 4ab,

1286
132人目の素数さん[]   投稿日:2017/07/29 11:10:20  ID:f+sckW2v.net(2)
sage厨が湧いてくるぞ

1287
[sage]   投稿日:2017/07/29 11:11:33  ID:2P2kn60N.net(66)
###政治家が愚かなのと同様に馬鹿板を行うのも愚かな行為。そやし止めるべき。###


1288
[sage]   投稿日:2017/07/29 12:06:46  ID:2P2kn60N.net(66)

1289
[sage]   投稿日:2017/07/29 12:07:05  ID:2P2kn60N.net(66)

1290
[sage]   投稿日:2017/07/29 12:07:24  ID:2P2kn60N.net(66)

1291
[sage]   投稿日:2017/07/29 12:07:42  ID:2P2kn60N.net(66)

1292
[sage]   投稿日:2017/07/29 12:08:00  ID:2P2kn60N.net(66)

1293
[sage]   投稿日:2017/07/29 12:08:20  ID:2P2kn60N.net(66)

1294
[sage]   投稿日:2017/07/29 12:08:38  ID:2P2kn60N.net(66)

1295
[sage]   投稿日:2017/07/29 12:09:04  ID:2P2kn60N.net(66)

1296
[sage]   投稿日:2017/07/29 12:09:22  ID:2P2kn60N.net(66)

1297
[sage]   投稿日:2017/07/29 12:09:42  ID:2P2kn60N.net(66)

1298
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/07/29 13:11:06  ID:7AgJghW0.net(2)
>312
荒らしが逆切れすんなよ

1299
[sage]   投稿日:2017/07/29 13:37:43  ID:2P2kn60N.net(66)
###政治家が愚かなのと同様に馬鹿板を行うのも愚かな行為。そやし止めるべき。###


1300
132人目の素数さん[]   投稿日:2017/07/29 16:33:20  ID:N79FPBpM.net(2)
ageる奴ってほんま糞だな
ケツに「>」をぶち込んで拡張してやりたい

1301
[sage]   投稿日:2017/07/29 16:38:28  ID:2P2kn60N.net(66)
###政治家が愚かなのと同様に馬鹿板を行うのも愚かな行為。そやし止めるべき。###


1302
[sage]   投稿日:2017/07/29 19:53:14  ID:2P2kn60N.net(66)

1303
[sage]   投稿日:2017/07/29 19:53:30  ID:2P2kn60N.net(66)

1304
[sage]   投稿日:2017/07/29 19:53:47  ID:2P2kn60N.net(66)

1305
[sage]   投稿日:2017/07/29 19:54:04  ID:2P2kn60N.net(66)

1306
[sage]   投稿日:2017/07/29 19:54:19  ID:2P2kn60N.net(66)

1307
[sage]   投稿日:2017/07/29 19:54:39  ID:2P2kn60N.net(66)

1308
[sage]   投稿日:2017/07/29 19:54:59  ID:2P2kn60N.net(66)

1309
[sage]   投稿日:2017/07/29 19:55:16  ID:2P2kn60N.net(66)

1310
[sage]   投稿日:2017/07/29 19:55:33  ID:2P2kn60N.net(66)

1311
[sage]   投稿日:2017/07/29 19:55:54  ID:2P2kn60N.net(66)

1312
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/07/31 03:54:33  ID:XzE3duxv.net(4)
[数蝉2014.07, p.51]
△ABCに対して、
|sin (A-B)/2|*(cos A/2)*(cos B/2) + |sin (B-C)/2|*(cos B/2)*(cos C/2) ≧ |sin (C-A)/2|*(cos C/2)*(cos A/2)

  ○ < ショウメイ スルマデ アガッテ クルナ!
 く|)へ
  〉 ヾ○シ
 ̄ ̄7 ヘ/
  /  ノ
  |
 /
`|

1313
[sage]   投稿日:2017/07/31 04:14:36  ID:M76QQSs2.net(20)

1314
[sage]   投稿日:2017/07/31 04:14:53  ID:M76QQSs2.net(20)

1315
[sage]   投稿日:2017/07/31 04:15:10  ID:M76QQSs2.net(20)

1316
[sage]   投稿日:2017/07/31 04:15:26  ID:M76QQSs2.net(20)

1317
[sage]   投稿日:2017/07/31 04:15:44  ID:M76QQSs2.net(20)

1318
[sage]   投稿日:2017/07/31 04:16:01  ID:M76QQSs2.net(20)

1319
[sage]   投稿日:2017/07/31 04:16:20  ID:M76QQSs2.net(20)

1320
[sage]   投稿日:2017/07/31 04:16:37  ID:M76QQSs2.net(20)

1321
[sage]   投稿日:2017/07/31 04:16:57  ID:M76QQSs2.net(20)

1322
[sage]   投稿日:2017/07/31 04:17:14  ID:M76QQSs2.net(20)

1323
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/07/31 23:55:08  ID:XzE3duxv.net(4)
任意の実数 x, y に対して、(1 + x^2 + y^2)/{1 + x^2 + (x-y)^2} の最大値を求めよ。

  Σ○
   く|)へ。
    〉   〉
 ̄ ̄   ○ノ 道連れッホォォ!
.  /  <ヽ
   |  /, |
 /
 |

1324
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/08/01 11:40:49  ID:MADJ3GR6.net(6)
>349

φ =(1+√5)/2 = 1.618034 とおくと、

φ(1+xx+yy)-(φ-1){1+xx+(x-y)^2}= 1 + (x/φ + y)^2 ≧ 1,

上限は
 (1+xx+yy)/{1+xx+(x-y)^2}< φ/(φ-1)= φ+1 = (3+√5)/2,


なお、蛇足だが
φ{1+xx+(x-y)^2}-(φ-1)(1+xx+yy)= 1 + (φx - y)^2 ≧ 1,

下限は
 (1+xx+yy)/{1+xx+(x-y)^2}>(φ-1)/φ = 2-φ = (3-√5)/2,

1325
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/08/01 11:53:02  ID:MADJ3GR6.net(6)
>350 訂正

次の同値な2式を入れ替えてください。

φ{1+xx+(x-y)^2}-(φ-1)(1+xx+yy)= 1 + (φx - y)^2 ≧ 1,

φ(1+xx+yy)-(φ-1){1+xx+(x-y)^2}= 1 + (x/φ + y)^2 ≧ 1,

スマソ.

1326
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/08/01 14:40:16  ID:XEmVHg+K.net(4)
最大最小といえば、高校のときに解けなかった以下を思い出す。係数はうろ覚え。

任意の実数 x, y に対して、(x+2y+3)/(x^2 + 2y^2 + 3) のとりうる値の範囲を求めよ。

    
 ̄ ̄ \○ノ テヲ ハナセ!
.  /  <ヽ
   |  / |
 /  (○ノ コトワルッ!
 |    ( )
/   / |

1327
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/08/01 15:08:14  ID:MADJ3GR6.net(6)
>352
 (xx+2yy+3) - 2(√2 -1)(x+2y+3) = (x+1-√2)^2 + 2(y+1-√2)^2 ≧ 0,
 (xx+2yy+3) + 2(√2 +1)(x+2y+3) = (x+1+√2)^2 + 2(y+1+√2)^2 ≧ 0,
両辺を xx+2yy+3 >0 で割って
 -(√2 -1)/2 ≦ (x+2y+3)/(xx+2yy+3) ≦ (√2 +1)/2,
でござるか。

1328
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/08/01 15:25:30  ID:XEmVHg+K.net(4)
>353
問題自体うろ覚えなので…。

1329
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/08/02 01:25:07  ID:RQb3zemz.net(10)
[元ネタ不明]
任意の実数 x, y, z に対して、次式の最小値を求めよ。
sqrt{x^2 + (y-1)^2} + sqrt{y^2 + (z-1)^2} + sqrt{z^2 + (x-1)^2}


ウリャッ!
 Oノ
. ノ\_・'ヽO.
  └ _ノ ヽ
      〉
     ヾ○シ
 ̄ ̄7 ヘ/
  /  ノ
 /
 |

1330
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/08/02 01:35:57  ID:iuzeTNl6.net(12)
>353

3(xx+2yy) = (x+2y)^2 + 2(x-y)^2 ≧(x+2y)^2,

 等号成立は x=y のとき。

x+2y+3 = s とおくと、
(分母)≧(ss-6s+18)/3,

-(√2 -1)/2 ≦ 3s/(ss-6s+18)≦(√2 +1)/2,

でも出ますが...

1331
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/08/02 01:47:54  ID:iuzeTNl6.net(12)
>355

√{xx + (1-y)^2}≧(|x|+|1-y|)/√2、etc.
等号成立は|x|=|1-y|、|y|=|1-z|、|z|=|1-x|

△不等式 |x|+|1-x|≧ 1、etc.
等号成立は 0≦x,y,z≦1

より、3/√2。(x=y=z=1/2のとき)

1332
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/08/02 04:05:52  ID:RQb3zemz.net(10)
0 ≦ x, y, z ≦1 のとき、(x+y+z)/3 + sqrt{x(1-x) + y(1-y) + z(1-z)} の最大値を求めよ。

  Σ○
   ノ()へ。
    〉   〉
 ̄ ̄ \○ノ 道連れッホォォ!
   /  ( )
   |  / |
 /  (○ノ ヒャッホォォォゥ!
 |    ( )
/   / |

1333
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/08/02 04:16:32  ID:RQb3zemz.net(10)
巡回不等式のコレクションが少ないことに気づいた2017の夏。

正の数 a, b, c に対して、a^3/b^2 + b^3/c^2 + c^3/a^2 ≧ a+b+c を示せ。

    
 ̄ ̄ \○ノ テヲ ハナセ!
.  /  <ヽ
   |  / |
 /  (○ノ コトワルッ!
 |    ( )
/   / |
    (○ノ ザケンナヨ!
     ( )
    / |

1334
132人目の素数さん[sage]   投稿日:2017/08/02 13:10:06  ID:iuzeTNl6.net(12)
>358
相加平均(x+y+z)/3 =